Résolution d'équations linéaires à l'aide de la méthode gaussienne. Méthode de Gauss : description de l'algorithme de résolution d'un système d'équations linéaires, exemples, solutions
Carl Friedrich Gauss, le plus grand mathématicien pendant longtemps hésita, choisissant entre la philosophie et les mathématiques. C’est peut-être précisément cet état d’esprit qui lui a permis de laisser un « héritage » aussi remarquable dans la science mondiale. Notamment, en créant la « Méthode Gauss »…
Depuis près de 4 ans, les articles de ce site traitaient de l'enseignement scolaire, principalement du point de vue de la philosophie, des principes de (mal)compréhension introduits dans l'esprit des enfants. Le temps vient pour plus de détails, d'exemples et de méthodes... Je crois que c'est exactement l'approche du familier, déroutant et important domaines de la vie donne de meilleurs résultats.
Nous, les gens, sommes conçus de telle manière que peu importe combien nous en parlons pensée abstraite, Mais compréhension Toujours se passe à travers des exemples. S'il n'y a pas d'exemples, alors il est impossible d'en saisir les principes... Tout comme il est impossible d'atteindre le sommet d'une montagne autrement qu'en parcourant toute la pente depuis le pied.
Idem à l'école : pour l'instant histoires vivantes Il ne suffit pas que nous continuions instinctivement à le considérer comme un lieu où l’on apprend aux enfants à comprendre.
Par exemple, enseigner la méthode gaussienne...
La méthode Gauss en 5ème
Je fais une réserve tout de suite : la méthode de Gauss a une application beaucoup plus large, par exemple pour résoudre systèmes équations linéaires . Ce dont nous allons parler se déroule en 5e année. Ce commencé, après avoir compris lesquelles, il est beaucoup plus facile de comprendre les « options les plus avancées ». Dans cet article, nous parlons Méthode de Gauss (méthode) pour trouver la somme d'une série
Voici un exemple que j'ai ramené de l'école le plus jeune fils, fréquentant la 5e année d'un gymnase de Moscou.
Démonstration scolaire de la méthode Gauss
Professeur de mathématiques utilisant tableau blanc interactif (méthodes modernes formation) a montré aux enfants une présentation de l'histoire de la « création de la méthode » par le petit Gauss.
L'instituteur a fouetté le petit Karl (une méthode dépassée, peu utilisée dans les écoles de nos jours) parce qu'il
au lieu d'ajouter séquentiellement des nombres de 1 à 100, trouvez leur somme remarqué que des paires de nombres équidistants des bords d’une progression arithmétique totalisent le même nombre. par exemple, 100 et 1, 99 et 2. Après avoir compté le nombre de ces paires, le petit Gauss a résolu presque instantanément le problème proposé par le professeur. Pour lequel il a été exécuté devant un public étonné. Pour que les autres soient découragés de réfléchir.
Qu'a fait le petit Gauss ? développé sens des nombres? Remarqué une fonctionnalité série de nombres à pas constant (progression arithmétique). ET c'est exactement ce que plus tard, il devint un grand scientifique, capable de remarquer, ayant sentiment, instinct de compréhension.
C'est pourquoi les mathématiques sont précieuses, développant capacité de voir en général en particulier - pensée abstraite. Par conséquent, la plupart des parents et des employeurs considère instinctivement les mathématiques comme une discipline importante ...
« Il faut alors enseigner les mathématiques, car elles mettent de l'ordre dans l'esprit.
M.V. Lomonossov".
Cependant, les adeptes de ceux qui fouettaient les futurs génies avec des bâtons ont transformé la Méthode en quelque chose de contraire. Comme mon superviseur l’a dit il y a 35 ans : « La question a été apprise. » Ou comme mon plus jeune fils l’a dit hier à propos de la méthode de Gauss : « Peut-être que ça ne vaut pas la peine d’en faire une grande science, hein ?
Les conséquences de la créativité des « scientifiques » sont visibles dans le niveau des mathématiques scolaires actuelles, le niveau de leur enseignement et la compréhension de la « Reine des sciences » par la majorité.
Cependant, continuons...
Méthodes pour expliquer la méthode Gauss en 5ème
Un professeur de mathématiques dans un gymnase de Moscou, expliquant la méthode Gauss selon Vilenkin, a compliqué la tâche.
Et si la différence (pas) d'une progression arithmétique n'était pas un, mais un autre nombre ? Par exemple, 20.
Le problème qu'il a posé aux élèves de cinquième année :
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Avant de nous familiariser avec la méthode du gymnase, faisons un tour sur Internet : comment font les professeurs des écoles et les professeurs de mathématiques ?
Méthode gaussienne : explication n°1
Un tuteur bien connu sur sa chaîne YOUTUBE donne le raisonnement suivant :
"Écrivons les nombres de 1 à 100 comme suit :
d'abord une série de nombres de 1 à 50, et juste en dessous une autre série de nombres de 50 à 100, mais dans l'ordre inverse"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Attention : la somme de chaque paire de nombres des rangées du haut et du bas est la même et est égale à 101 ! Comptons le nombre de paires, il est 50 et multiplions la somme d'une paire par le nombre de paires ! Voila : Le la réponse est prête!"
« Si vous ne comprenez pas, ne vous inquiétez pas ! » a répété le professeur à trois reprises pendant l’explication. "Vous suivrez cette méthode en 9e !"
Méthode gaussienne : explication n°2
Un autre tuteur, moins connu (à en juger par le nombre de vues) utilise davantage approche scientifique, proposant un algorithme de solution composé de 5 points qui doivent être complétés séquentiellement.
Pour les non-initiés, 5 est l’un des nombres de Fibonacci traditionnellement considérés comme magiques. Une méthode en 5 étapes est toujours plus scientifique qu’une méthode en 6 étapes par exemple. ...Et ce n'est pas vraiment un accident, l'auteur est très probablement un adepte caché de la théorie de Fibonacci.
Dana progression arithmétique: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algorithme pour trouver la somme des nombres dans une série à l'aide de la méthode de Gauss :
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
En même temps, tu dois te rappeler plus une règle : il faut ajouter un au quotient résultant : sinon on obtiendra un résultat inférieur d'un au nombre vrai de paires : 42 + 1 = 43.
C'est la somme requise de la progression arithmétique de 4 à 256 avec une différence de 6 !
Méthode Gauss : explication en 5e année dans un gymnase de Moscou
Voici comment résoudre le problème de trouver la somme d’une série :
20+40+60+ ... +460+480+500
en 5e année d'un gymnase de Moscou, le manuel de Vilenkin (d'après mon fils).
Après avoir montré la présentation, le professeur de mathématiques a montré quelques exemples utilisant la méthode gaussienne et a demandé à la classe de trouver la somme des nombres d'une série par incréments de 20.
Cela nécessitait les éléments suivants :
Comme vous pouvez le constater, il s'agit d'une technique plus compacte et efficace : le chiffre 3 fait également partie de la séquence de Fibonacci.
Mes commentaires sur la version scolaire de la méthode Gauss
Le grand mathématicien aurait certainement choisi la philosophie s’il avait prévu ce que sa « méthode » allait devenir par ses disciples. professeur d'allemand, qui a fouetté Karl avec des verges. Il aurait vu le symbolisme, la spirale dialectique et la bêtise éternelle des « maîtres », essayer de mesurer l'harmonie de la pensée mathématique vivante avec l'algèbre du malentendu ....
Au fait : le saviez-vous. que notre système éducatif est ancré dans l'école allemande des XVIIIe et XIXe siècles ?
Mais Gauss a choisi les mathématiques.
Quelle est l’essence de sa méthode ?
DANS simplification. DANS observer et saisir des modèles simples de nombres. DANS transformer l'arithmétique scolaire sèche en intéressant et activité passionnante , activant dans le cerveau le désir de continuer, plutôt que de bloquer une activité mentale coûteuse.
Est-il possible de calculer la somme des nombres d'une progression arithmétique avec l'une des « modifications de la méthode » de Gauss données ? immédiatement? Selon les « algorithmes », le petit Karl serait assuré d'éviter la fessée, de développer une aversion pour les mathématiques et de supprimer dans l'œuf ses impulsions créatrices.
Pourquoi le tuteur a-t-il conseillé avec tant d'insistance aux élèves de cinquième année « de ne pas avoir peur des malentendus » sur la méthode, les convainquant qu'ils résoudraient « de tels » problèmes dès la 9e année ? Action psychologiquement analphabète. C'était une bonne décision de noter: "À bientôt déjà en 5ème année, tu peux résolvez des problèmes que vous ne résoudrez qu’en 4 ans ! Quel homme formidable tu es ! »
Pour utiliser la méthode Gaussienne, un niveau de classe 3 est suffisant, alors que les enfants normaux savent déjà additionner, multiplier et diviser des nombres à 2-3 chiffres. Des problèmes surviennent en raison de l'incapacité des enseignants adultes « déconnectés » d'expliquer les choses les plus simples dans un langage humain normal, sans parler des mathématiques... Ils sont incapables d'intéresser les gens aux mathématiques et découragent complètement même ceux qui le sont « capable".
Ou, comme mon fils l’a commenté : « en faire une grande science ».
Méthode Gauss, mes explications
Ma femme et moi avons expliqué cette « méthode » à notre enfant, semble-t-il, avant même l'école...
La simplicité au lieu de la complexité ou un jeu de questions et réponses
"Regardez, voici les nombres de 1 à 100. Que voyez-vous ?"
L’important n’est pas ce que voit exactement l’enfant. L'astuce est de l'amener à regarder.
"Comment peux-tu les assembler ?" Le fils s'est rendu compte que de telles questions ne sont pas posées « comme ça » et qu'il faut regarder la question « d'une manière ou d'une autre différemment, différemment de ce qu'il fait habituellement »
Peu importe si l'enfant voit la solution tout de suite, c'est peu probable. Il est important qu'il j'ai arrêté d'avoir peur de regarder, ou comme je dis : « j'ai déplacé la tâche ». C'est le début du voyage vers la compréhension
« Qu'est-ce qui est le plus simple : ajouter, par exemple, 5 et 6 ou 5 et 95 ? » Une question suggestive... Mais toute formation revient à « guider » une personne vers la « réponse » - d'une manière qui lui soit acceptable.
À ce stade, des suppositions peuvent déjà survenir sur la manière de « économiser » sur les calculs.
Nous n'avons fait qu'insinuer : la méthode de comptage « frontale, linéaire » n'est pas la seule possible. Si un enfant comprend cela, il proposera plus tard de nombreuses autres méthodes de ce type, parce que c'est intéressant !!! Et il évitera certainement les « malentendus » en mathématiques et n’en ressentira pas le dégoût. Il a eu la victoire !
Si enfant découvert qu'ajouter des paires de nombres dont la somme donne cent est un jeu d'enfant, alors "progression arithmétique avec différence 1"- une chose plutôt morne et sans intérêt pour un enfant - du coup lui a trouvé la vie . L’ordre est né du chaos, et cela suscite toujours l’enthousiasme : c'est comme ça que nous sommes faits!
Une question à laquelle il faut répondre : pourquoi, après la perspicacité qu'un enfant a reçu, devrait-il à nouveau être contraint dans le cadre d'algorithmes arides, qui sont également fonctionnellement inutiles dans ce cas ?!
Pourquoi forcer des réécritures stupides ? des numéros de séquence dans un cahier : pour que même les capables n'aient aucune chance de comprendre ? Statistiquement, bien sûr, mais l’éducation de masse est orientée vers les « statistiques »…
Où est passé le zéro ?
Et pourtant, additionner des nombres qui totalisent 100 est bien plus acceptable pour l’esprit que ceux dont la somme donne 101…
La « méthode scolaire Gauss » exige exactement ceci : plier sans réfléchir des paires de nombres équidistants du centre de la progression, peu importe quoi.
Et si tu regardais ?
Toujours zéro - la plus grande invention l'humanité, qui a plus de 2 000 ans. Et les professeurs de mathématiques continuent de l’ignorer.
Il est beaucoup plus facile de transformer une série de nombres commençant par 1 en une série commençant par 0. La somme ne changera pas, n’est-ce pas ? Vous devez arrêter de « penser dans les manuels » et commencer à chercher... Et voyez que les paires avec une somme de 101 peuvent être complètement remplacées par des paires avec une somme de 100 !
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Comment abolir la « règle du plus 1 » ?
Pour être honnête, j'ai entendu parler d'une telle règle pour la première fois par ce tuteur YouTube...
Que dois-je faire lorsque je dois déterminer le nombre de membres d’une série ?
Je regarde la séquence :
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
et lorsque vous êtes complètement fatigué, passez à une ligne plus simple :
1, 2, 3, 4, 5
et je me dis : si vous soustrayez un de 5, vous obtenez 4, mais je suis tout à fait clair Je vois 5 numéros ! Il faut donc en ajouter un ! Le sens du nombre développé dans école primaire, suggère : même s'il existe tout un Google de membres de la série (10 à la puissance centième), le modèle restera le même.
Quelles sont les règles ?..
Pour que dans quelques années, combler tout l'espace entre le front et l'arrière de la tête et arrêter de penser ? Comment gagner son pain et son beurre ? Après tout, nous entrons en rangs égaux dans l’ère de l’économie numérique !
En savoir plus sur la méthode scolaire de Gauss : « pourquoi en faire de la science ?.. »
Ce n'est pas pour rien que j'ai posté une capture d'écran du carnet de mon fils...
« Que s'est-il passé en classe ?
« Eh bien, j'ai tout de suite compté, j'ai levé la main, mais elle n'a pas demandé. Alors, pendant que les autres comptaient, j'ai commencé à faire mes devoirs en russe pour ne pas perdre de temps. Puis, quand les autres ont fini d'écrire ( ? ??), elle m'a appelé au tableau et j'ai dit la réponse.
"C'est vrai, montre-moi comment tu as résolu le problème", a déclaré le professeur. Je l'ai montré. Elle a dit : « C’est faux, vous devez compter comme je l’ai montré ! »
"C'est bien qu'elle ne m'ait pas donné une mauvaise note. Et elle m'a fait écrire dans mon cahier "le déroulement de la solution" à sa manière. Pourquoi en faire une grande science ?.."
Le crime principal d'un professeur de mathématiques
A peine après cet incident Carl Gauss éprouvait un grand respect pour son professeur de mathématiques. Mais s'il savait comment disciples de ce professeur dénaturera l'essence même de la méthode... il rugirait d'indignation et à travers organisation mondiale propriété intellectuelle L'OMPI a obtenu l'interdiction de l'utilisation de sa réputation dans les manuels scolaires !
En quoi erreur principale approche scolaire? Ou, comme je l’ai dit, un crime des professeurs de mathématiques des écoles contre les enfants ?
Algorithme d'incompréhension
Que font les méthodologistes scolaires, dont la grande majorité ne sait pas penser ?
Ils créent des méthodes et des algorithmes (voir). Ce une réaction défensive qui protège les enseignants de la critique (« Tout est fait selon... ») et les enfants de la compréhension. Et donc - de l'envie de critiquer les enseignants !(Le second dérivé de la « sagesse » bureaucratique, une approche scientifique du problème). Celui qui n’en saisit pas le sens blâmera plutôt sa propre incompréhension plutôt que la stupidité du système scolaire.
Voilà ce qui se passe : les parents blâment leurs enfants, et les enseignants… font de même pour les enfants qui « ne comprennent pas les mathématiques ! »
Êtes-vous intelligent?
Qu'a fait le petit Karl ?
Une approche totalement non conventionnelle d'une tâche formulée selon une formule. C’est l’essence de son approche. Ce la principale chose qui devrait être enseignée à l'école est de penser non pas avec des manuels, mais avec sa tête. Bien entendu, il existe également une composante instrumentale qui peut être utilisée... à la recherche de plus simple et méthodes efficaces comptes.
Méthode Gauss selon Vilenkin
À l'école, on enseigne que la méthode de Gauss consiste à
Quoi, si le nombre d'éléments de la série est impair, comme dans le problème qui a été assigné à mon fils ?..
Le "hic", c'est que dans ce cas vous devriez trouver un numéro « supplémentaire » dans la série et ajoutez-le à la somme des paires. Dans notre exemple ce nombre est 260.
Comment détecter ? Copier toutes les paires de nombres dans un cahier !(C'est pourquoi le professeur a fait faire aux enfants ce travail stupide d'essayer d'enseigner la « créativité » en utilisant la méthode gaussienne... Et c'est pourquoi une telle « méthode » est pratiquement inapplicable aux grandes séries de données, ET c'est pourquoi elle est pas la méthode gaussienne.)
Un peu de créativité dans la routine scolaire...
Le fils a agi différemment.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Pas difficile, non ?
Mais dans la pratique, cela est encore plus simple, ce qui vous permet de consacrer 2 à 3 minutes à la télédétection en russe, pendant que le reste « compte ». De plus, elle retient le nombre d’étapes de la méthode : 5, ce qui ne permet pas de reprocher à la démarche son caractère non scientifique.
Cette approche est évidemment plus simple, plus rapide et plus universelle, à la manière de la Méthode. Mais... non seulement le professeur ne m'a pas félicité, mais il m'a aussi forcé à le réécrire « de la bonne manière » (voir capture d'écran). Autrement dit, elle a fait une tentative désespérée pour étouffer l’impulsion créatrice et la capacité de comprendre les mathématiques à la racine ! Apparemment, pour pouvoir ensuite être embauchée comme tutrice... Elle a attaqué la mauvaise personne...
Tout ce que j'ai décrit de manière si longue et fastidieuse peut être expliqué à un enfant normal en une demi-heure maximum. Avec des exemples.
Et de telle manière qu'il ne l'oubliera jamais.
Et ce sera un pas vers la compréhension... pas seulement les mathématiciens.
Admettez-le : combien de fois dans votre vie avez-vous ajouté en utilisant la méthode gaussienne ? Et je ne l'ai jamais fait !
Mais instinct de compréhension, qui se développe (ou s'éteint) au cours du processus d'étude des méthodes mathématiques à l'école... Oh !.. C'est vraiment une chose irremplaçable !
Surtout à l’ère de la numérisation universelle, dans laquelle nous sommes entrés tranquillement sous la direction stricte du Parti et du gouvernement.
Quelques mots pour la défense des enseignants...
Il est injuste et erroné de rejeter l’entière responsabilité de ce style d’enseignement uniquement sur les enseignants. Le système est en vigueur.
Quelques les enseignants comprennent l’absurdité de ce qui se passe, mais que faire ? Loi sur l'éducation, normes éducatives de l'État fédéral, méthodes, cartes technologiques leçons... Tout doit être fait « conformément et sur la base de » et tout doit être documenté. Écartez-vous - faites la queue pour être renvoyé. Ne soyons pas hypocrites : les salaires des professeurs de Moscou sont très bons... S'ils vous licencient, où aller ?
C'est pourquoi ce site pas une question d'éducation. Il est sur éducation individuelle, le seul moyen possible de sortir de la foule génération Z ...
Depuis le début des XVIe et XVIIIe siècles, les mathématiciens ont commencé à étudier de manière intensive les fonctions, grâce auxquelles tant de choses ont changé dans nos vies. La technologie informatique n’existerait tout simplement pas sans cette connaissance. Divers concepts, théorèmes et techniques de résolution ont été créés pour résoudre des problèmes, des équations linéaires et des fonctions complexes. L'une de ces méthodes et techniques universelles et rationnelles pour résoudre des équations linéaires et leurs systèmes était la méthode de Gauss. Les matrices, leur rang, leur déterminant, tout peut être calculé sans recourir à des opérations complexes.
Qu'est-ce que SLAU
En mathématiques, il existe le concept de SLAE - un système de équations algébriques. Comment est-elle ? Il s'agit d'un ensemble de m équations avec les n quantités inconnues souhaitées, généralement notées x, y, z ou x 1, x 2 ... x n, ou d'autres symboles. Résoudre par la méthode gaussienne ce système- signifie trouver toutes les inconnues inconnues. Si le système a même numéro inconnues et équations, on parle alors d’un système d’ordre n.
Les méthodes les plus populaires pour résoudre les SLAE
DANS établissements d'enseignement Les élèves du secondaire étudient diverses méthodes pour résoudre de tels systèmes. Le plus souvent, il s'agit d'équations simples composées de deux inconnues, donc toute méthode existante pour trouver la réponse ne prendra pas beaucoup de temps. Cela peut ressembler à une méthode de substitution, lorsqu’une autre est dérivée d’une équation et remplacée par celle d’origine. Ou la méthode de soustraction et d’addition terme par terme. Mais la méthode de Gauss est considérée comme la plus simple et la plus universelle. Il permet de résoudre des équations avec un nombre quelconque d'inconnues. Pourquoi cette technique particulière est-elle considérée comme rationnelle ? C'est simple. L'avantage de la méthode matricielle est qu'elle ne nécessite pas de réécrire plusieurs fois les symboles inutiles sous forme d'inconnues ; il suffit d'effectuer des opérations arithmétiques sur les coefficients - et vous obtiendrez un résultat fiable.
Où les SLAE sont-ils utilisés dans la pratique ?
La solution aux SLAE réside dans les points d’intersection des lignes sur les graphiques de fonctions. À l'ère de l'informatique de haute technologie, les personnes étroitement associées au développement de jeux et d'autres programmes doivent savoir comment résoudre de tels systèmes, ce qu'ils représentent et comment vérifier l'exactitude du résultat obtenu. Le plus souvent, les programmeurs développent des programmes spéciaux de calcul d'algèbre linéaire, qui comprennent également un système d'équations linéaires. La méthode Gauss permet de calculer toutes les solutions existantes. D'autres formules et techniques simplifiées sont également utilisées.
Critère de compatibilité SLAU
Un tel système ne peut être résolu que s’il est compatible. Pour plus de clarté, représentons le SLAE sous la forme Ax=b. Il a une solution si rang(A) est égal à rang(A,b). Dans ce cas, (A,b) est une matrice de forme étendue qui peut être obtenue à partir de la matrice A en la réécrivant avec des termes libres. Il s'avère que résoudre des équations linéaires à l'aide de la méthode gaussienne est assez simple.
Peut-être que certains symboles ne sont pas tout à fait clairs, il est donc nécessaire de tout considérer avec un exemple. Disons qu'il existe un système : x+y=1 ; 2x-3 ans=6. Il se compose de seulement deux équations dans lesquelles il y a 2 inconnues. Le système n'aura de solution que si le rang de sa matrice est égal au rang de la matrice étendue. Qu'est-ce que le rang ? C'est le nombre de lignes indépendantes du système. Dans notre cas, le rang de la matrice est 2. La matrice A sera constituée de coefficients situés à proximité des inconnues, et les coefficients situés derrière le signe « = » rentrent également dans la matrice étendue.
Pourquoi les SLAE peuvent-elles être représentées sous forme matricielle ?
Sur la base du critère de compatibilité selon le théorème éprouvé de Kronecker-Capelli, un système d'équations algébriques linéaires peut être représenté sous forme matricielle. En utilisant la méthode de la cascade gaussienne, vous pouvez résoudre la matrice et obtenir une réponse unique et fiable pour l'ensemble du système. Si le rang d'une matrice régulière est égal au rang de sa matrice étendue, mais en même temps moins de quantité inconnues, alors le système a un nombre infini de réponses.
Transformations matricielles
Avant de passer à la résolution de matrices, vous devez savoir quelles actions peuvent être effectuées sur leurs éléments. Il existe plusieurs transformations élémentaires :
- En réécrivant le système sous forme matricielle et en le résolvant, vous pouvez multiplier tous les éléments de la série par le même coefficient.
- Afin de transformer la matrice sous forme canonique, vous pouvez échanger deux lignes parallèles. La forme canonique implique que tous les éléments de la matrice situés le long de la diagonale principale deviennent des uns et que les éléments restants deviennent des zéros.
- Les éléments correspondants de lignes parallèles de la matrice peuvent être additionnés les uns aux autres.
Méthode Jordan-Gauss
L'essence de la résolution de systèmes d'équations linéaires homogènes et inhomogènes à l'aide de la méthode gaussienne est d'éliminer progressivement les inconnues. Disons que nous avons un système de deux équations dans lequel il y a deux inconnues. Pour les trouver, vous devez vérifier la compatibilité du système. L'équation est résolue très simplement par la méthode de Gauss. Il faut noter les coefficients situés à proximité de chaque inconnue sous forme matricielle. Pour résoudre le système, vous devrez écrire la matrice étendue. Si l'une des équations contient un plus petit nombre d'inconnues, alors « 0 » doit être mis à la place de l'élément manquant. Tous s'appliquent à la matrice méthodes connues transformations : multiplication, division par un nombre, ajout d'éléments de série correspondants les uns aux autres et aux autres. Il s'avère que dans chaque ligne, il est nécessaire de laisser une variable avec la valeur « 1 », le reste doit être mis à zéro. Pour une compréhension plus précise, il est nécessaire de considérer la méthode de Gauss avec des exemples.
Un exemple simple de résolution d'un système 2x2
Pour commencer, prenons un système simple d'équations algébriques, dans lequel il y aura 2 inconnues.
Réécrivons-le dans une matrice étendue.
Pour résoudre ce système d’équations linéaires, seules deux opérations sont nécessaires. Nous devons amener la matrice sous forme canonique afin qu’il y en ait un le long de la diagonale principale. Ainsi, en transférant de la forme matricielle au système, nous obtenons les équations : 1x+0y=b1 et 0x+1y=b2, où b1 et b2 sont les réponses résultantes du processus de résolution.
- La première action lors de la résolution d'une matrice étendue sera la suivante : la première ligne doit être multipliée par -7 et ajouter les éléments correspondants à la deuxième ligne afin de se débarrasser d'une inconnue dans la deuxième équation.
- Puisque la résolution d'équations par la méthode de Gauss implique de réduire la matrice à une forme canonique, il est alors nécessaire d'effectuer les mêmes opérations avec la première équation et de supprimer la deuxième variable. Pour ce faire, nous soustrayons la deuxième ligne de la première et obtenons la réponse requise - la solution du SLAE. Ou, comme le montre la figure, nous multiplions la deuxième ligne par un facteur de -1 et ajoutons les éléments de la deuxième ligne à la première ligne. C'est la même chose.
Comme nous pouvons le voir, notre système a été résolu par la méthode Jordan-Gauss. On le réécrit sous la forme requise : x=-5, y=7.
Un exemple de solution SLAE 3x3
Supposons que nous ayons un système d’équations linéaires plus complexe. La méthode Gauss permet de calculer la réponse même pour le système le plus déroutant. Par conséquent, afin d'approfondir la méthodologie de calcul, vous pouvez passer à plus exemple complexe avec trois inconnues.
Comme dans l'exemple précédent, nous réécrivons le système sous la forme d'une matrice étendue et commençons à l'amener à sa forme canonique.
Pour résoudre ce système, vous devrez effectuer beaucoup plus d’actions que dans l’exemple précédent.
- Vous devez d’abord faire de la première colonne un élément unitaire et le reste des zéros. Pour ce faire, multipliez la première équation par -1 et ajoutez-y la deuxième équation. Il est important de se rappeler que nous réécrivons la première ligne sous sa forme originale et la seconde sous une forme modifiée.
- Ensuite, nous supprimons cette même première inconnue de la troisième équation. Pour cela, multipliez les éléments de la première ligne par -2 et ajoutez-les à la troisième ligne. Maintenant, les première et deuxième lignes sont réécrites dans leur forme originale et la troisième avec des modifications. Comme vous pouvez le voir sur le résultat, nous avons obtenu le premier au début de la diagonale principale de la matrice et les zéros restants. Encore quelques étapes et le système d'équations par la méthode gaussienne sera résolu de manière fiable.
- Vous devez maintenant effectuer des opérations sur d'autres éléments des lignes. Les troisième et quatrième actions peuvent être combinées en une seule. Nous devons diviser les deuxième et troisième lignes par -1 pour éliminer les moins sur la diagonale. Nous avons déjà amené la troisième ligne à la forme requise.
- Ensuite, nous mettons la deuxième ligne sous forme canonique. Pour ce faire, on multiplie les éléments de la troisième ligne par -3 et on les ajoute à la deuxième ligne de la matrice. D’après le résultat, il est clair que la deuxième ligne est également réduite à la forme dont nous avons besoin. Il reste à effectuer quelques opérations supplémentaires et à supprimer les coefficients des inconnues de la première ligne.
- Pour faire 0 à partir du deuxième élément d'une ligne, vous devez multiplier la troisième ligne par -3 et l'ajouter à la première ligne.
- La prochaine étape décisive sera d'ajouter les éléments nécessaires de la deuxième rangée à la première rangée. De cette façon, nous obtenons la forme canonique de la matrice et, par conséquent, la réponse.
Comme vous pouvez le constater, résoudre des équations à l'aide de la méthode de Gauss est assez simple.
Un exemple de résolution d'un système d'équations 4x4
Encore un peu systèmes complexes les équations peuvent être résolues par la méthode gaussienne en utilisant programmes informatiques. Il est nécessaire de saisir les coefficients des inconnues dans les cellules vides existantes, et le programme lui-même calculera étape par étape le résultat requis, décrivant en détail chaque action.
Décrit ci-dessous instructions étape par étape solutions à cet exemple.
Dans un premier temps, les coefficients libres et les nombres pour les inconnues sont saisis dans des cellules vides. Ainsi, nous obtenons la même matrice étendue que celle que nous écrivons manuellement.
Et toutes les opérations arithmétiques nécessaires sont effectuées pour amener la matrice étendue à sa forme canonique. Il faut comprendre que la réponse à un système d’équations n’est pas toujours un nombre entier. Parfois, la solution peut provenir de nombres fractionnaires.
Vérifier l'exactitude de la solution
La méthode Jordan-Gauss permet de vérifier l'exactitude du résultat. Afin de savoir si les coefficients sont calculés correctement, il suffit de substituer le résultat dans le système d'équations d'origine. Le côté gauche de l'équation doit correspondre côté droit, situé derrière le signe égal. Si les réponses ne correspondent pas, vous devez alors recalculer le système ou essayer de lui appliquer une autre méthode de résolution des SLAE que vous connaissez, telle que la substitution ou la soustraction et l'addition terme par terme. Après tout, les mathématiques sont une science qui comporte un grand nombre de diverses techniques solutions. Mais rappelez-vous : le résultat doit toujours être le même, quelle que soit la méthode de résolution que vous avez utilisée.
Méthode Gauss : les erreurs les plus courantes lors de la résolution des SLAE
Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires, des erreurs se produisent le plus souvent, telles qu'un transfert incorrect des coefficients sous forme matricielle. Il existe des systèmes dans lesquels certaines inconnues manquent dans l'une des équations, puis lors du transfert de données vers une matrice étendue, elles peuvent être perdues. Par conséquent, lors de la résolution de ce système, le résultat peut ne pas correspondre au résultat réel.
Une autre erreur majeure peut être de mal écrire le résultat final. Il faut bien comprendre que le premier coefficient correspondra à la première inconnue du système, le second à la seconde, et ainsi de suite.
La méthode Gauss décrit en détail la solution d'équations linéaires. Grâce à lui, il est facile d'effectuer les opérations nécessaires et de trouver le bon résultat. De plus, il s'agit d'un outil universel pour trouver une réponse fiable aux équations de toute complexité. C'est peut-être pour cela qu'il est si souvent utilisé pour résoudre les SLAE.
Dans cet article, la méthode est considérée comme une méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle permet d'écrire un algorithme de solution dans vue générale, puis remplacez-y les valeurs d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss, vous pouvez également travailler avec celles qui ont un nombre infini de solutions. Ou alors ils ne l'ont pas du tout.
Que signifie résoudre en utilisant la méthode gaussienne ?
Tout d’abord, nous devons écrire notre système d’équations. Cela ressemble à ceci. Prenons le système :
Les coefficients sont écrits sous forme de tableau et les termes libres sont écrits dans une colonne séparée à droite. La colonne contenant les termes libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui comprend cette colonne est appelée étendue.
Ensuite, la matrice principale avec les coefficients doit être réduite à une forme triangulaire supérieure. C’est le point principal de la résolution du système par la méthode gaussienne. En termes simples, après certaines manipulations, la matrice doit ressembler à ce que sa partie inférieure gauche ne contienne que des zéros :
Ensuite, si vous écrivez à nouveau la nouvelle matrice sous forme de système d’équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur de l’une des racines, qui est ensuite substituée dans l’équation ci-dessus, une autre racine est trouvée, et ainsi de suite.
Ceci est une description de la solution par la méthode gaussienne dans la forme la plus aperçu général. Que se passe-t-il si soudainement le système n’a plus de solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d’autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la résolution de la méthode gaussienne.
Matrices, leurs propriétés
Aucun sens caché pas dans la matrice. C'est simple moyen pratique enregistrer des données pour des opérations ultérieures avec eux. Même les écoliers n’ont pas besoin d’en avoir peur.
La matrice est toujours rectangulaire, car elle est plus pratique. Même dans la méthode Gauss, où tout se résume à construire une matrice de forme triangulaire, un rectangle apparaît dans l'entrée, uniquement avec des zéros aux endroits où il n'y a pas de nombres. Les zéros ne sont peut-être pas écrits, mais ils sont implicites.
La matrice a une taille. Sa « largeur » est le nombre de lignes (m), sa « longueur » est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (des lettres latines majuscules sont généralement utilisées pour les désigner) sera notée A m×n. Si m=n, alors cette matrice est carrée, et m=n est son ordre. En conséquence, tout élément de la matrice A peut être désigné par ses numéros de ligne et de colonne : a xy ; x - numéro de ligne, modifications, y - numéro de colonne, modifications.
B n'est pas le point principal de la décision. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais la notation sera beaucoup plus lourde et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.
Déterminant
La matrice a également un déterminant. C'est très caractéristique importante. Il n'est pas nécessaire de découvrir sa signification maintenant ; vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis indiquer quelles propriétés de la matrice il détermine. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant consiste à utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments situés sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont additionnés : diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe plus, avec une pente vers la gauche - avec un signe moins.
Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour matrice rectangulaire vous pouvez faire ce qui suit : à partir du nombre de lignes et du nombre de colonnes, sélectionnez le plus petit (que ce soit k), puis marquez au hasard k colonnes et k lignes dans la matrice. Les éléments à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées formeront une nouvelle matrice carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre non nul, on l'appelle la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.
Avant de commencer à résoudre un système d’équations à l’aide de la méthode gaussienne, cela ne fait pas de mal de calculer le déterminant. S'il s'avère nul, alors on peut immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit aucune. Dans un cas aussi triste, il faut aller plus loin et se renseigner sur le rang de la matrice.
Classement du système
Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (si l'on se souvient de mineur de base, on peut dire que le rang de la matrice est l'ordre de la base mineure).
En fonction de la situation du rang, le SLAE peut être divisé en :
- Articulation. U Dans les systèmes conjoints, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de termes libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, c'est pourquoi les systèmes communs sont en outre divisés en :
- - certain- avoir une seule solution. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, ce qui revient au même) sont égaux ;
- - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices dans de tels systèmes est inférieur au nombre d’inconnues.
- Incompatible. U Dans de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n’ont pas de solution.
La méthode de Gauss est bonne car lors de la solution elle permet d'obtenir soit une preuve sans ambiguïté de l'incohérence du système (sans calculer les déterminants des grandes matrices), soit une solution sous forme générale pour un système avec un nombre infini de solutions.
Transformations élémentaires
Avant de procéder directement à la résolution du système, vous pouvez le rendre moins encombrant et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé grâce à des transformations élémentaires - de telle sorte que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il convient de noter que certaines des transformations élémentaires données ne sont valables que pour les matrices dont la source était le SLAE. Voici une liste de ces transformations :
- Réorganisation des lignes. Évidemment, si vous modifiez l'ordre des équations dans l'enregistrement système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, les lignes de la matrice de ce système peuvent également être interverties, sans oublier bien sûr la colonne des termes libres.
- Multiplier tous les éléments d'une chaîne par un certain coefficient. Très utile ! Il peut être utilisé pour raccourcir gros chiffres dans la matrice ou supprimer les zéros. Comme d'habitude, de nombreuses décisions ne changeront pas, mais d'autres opérations deviendront plus pratiques. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
- Suppression des lignes avec des facteurs proportionnels. Cela découle en partie du paragraphe précédent. Si deux lignes ou plus d'une matrice ont des coefficients proportionnels, alors lorsque l'une des lignes est multipliée/divisée par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et les lignes supplémentaires peuvent être supprimées, laissant seulement un.
- Suppression d'une ligne nulle. Si, lors de la transformation, une ligne est obtenue quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le terme libre, sont nuls, alors une telle ligne peut être appelée zéro et expulsée de la matrice.
- Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments d'une autre (dans les colonnes correspondantes), multipliés par un certain coefficient. La transformation la plus discrète et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.
Ajouter une chaîne multipliée par un facteur
Pour faciliter la compréhension, il convient de décomposer ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :
une 11 une 12 ... une 1n | b1
un 21 un 22 ... un 2n | b2
Disons que vous devez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".
une" 21 = une 21 + -2×une 11
une" 22 = une 22 + -2×une 12
une" 2n = une 2n + -2×une 1n
Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.
une 11 une 12 ... une 1n | b1
une" 21 une" 22 ... une" 2n | b 2
Il convient de noter que le coefficient de multiplication peut être choisi de telle sorte que, suite à l'ajout de deux lignes, l'un des éléments nouvelle ligneétait égal à zéro. Il est donc possible d’obtenir une équation dans un système où il y aura une inconnue en moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra deux inconnues de moins. Et si à chaque fois vous transformez un coefficient en zéro pour toutes les lignes qui sont en dessous de celle d'origine, alors vous pouvez, comme des escaliers, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C’est ce qu’on appelle la résolution du système par la méthode gaussienne.
En général
Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Vous pouvez l'écrire ainsi :
La matrice principale est compilée à partir des coefficients du système. Une colonne de termes libres est ajoutée à la matrice étendue et, pour plus de commodité, séparée par une ligne.
- la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 /a 11) ;
- la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
- au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'ajout du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
- maintenant le premier coefficient dans nouvelle seconde la ligne est un 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont impliquées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par a 31. Puis tout se répète pour un 41,... un m1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est zéro. Maintenant, vous devez oublier la ligne numéro un et exécuter le même algorithme, en commençant par la ligne deux :
- coefficient k = (-a 32 /a 22) ;
- la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne « courante » ;
- le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, etc. lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
- dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.
L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m,m-1 /a mm) apparaisse. Cela signifie que dans dernière fois l'algorithme a été exécuté uniquement pour l'équation inférieure. La matrice ressemble désormais à un triangle ou a une forme en escalier. En fin de compte, il y a l’égalité a mn × x n = b m. Le coefficient et le terme libre sont connus, et la racine s'exprime à travers eux : x n = b m /a mn. La racine résultante est remplacée dans la ligne supérieure pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Et ainsi de suite par analogie : dans chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine et, après avoir atteint le « sommet » du système, vous pouvez trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.
Quand il n'y a pas de solutions
Si dans l'une des lignes de la matrice tous les éléments sauf le terme libre sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n’y a pas de solution. Et puisqu'une telle équation est incluse dans le système, alors l'ensemble des solutions de l'ensemble du système est vide, c'est-à-dire dégénéré.
Quand il existe un nombre infini de solutions
Il peut arriver que dans la matrice triangulaire donnée, il n'y ait pas de lignes avec un élément de coefficient de l'équation et un terme libre. Il n’y a que des lignes qui, une fois réécrites, ressembleraient à une équation avec deux variables ou plus. Cela signifie que le système possède un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d’une solution générale. Comment faire cela ?
Toutes les variables de la matrice sont divisées en variables de base et gratuites. Les plus basiques sont ceux qui se trouvent « au bord » des lignes de la matrice d’étapes. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites via des variables libres.
Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans un système d'équations. Ensuite, dans le dernier d’entre eux, où il ne reste exactement qu’une seule variable de base, elle reste d’un côté et tout le reste est transféré de l’autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, dans les équations restantes, lorsque cela est possible, l'expression obtenue est substituée à la variable de base. Si le résultat est à nouveau une expression contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite sous forme d'expression à variables libres. C'est ça solution générale SLAU.
Vous pouvez également trouver la solution de base du système - donner des valeurs aux variables libres, puis pour ce cas spécifique, calculer les valeurs des variables de base. Il existe un nombre infini de solutions particulières qui peuvent être proposées.
Solution avec des exemples spécifiques
Voici un système d'équations.
Pour plus de commodité, il vaut mieux créer immédiatement sa matrice
On sait que lorsqu'elle est résolue par la méthode gaussienne, l'équation correspondant à la première ligne restera inchangée à la fin des transformations. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations deviendront zéro. Cela signifie que dans la matrice compilée il sera avantageux de mettre la deuxième ligne à la place de la première.
deuxième ligne : k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
une" 21 = une 21 + k×une 11 = 3 + (-3)×1 = 0
une" 22 = une 22 + k×une 12 = -1 + (-3)×2 = -7
une" 23 = une 23 + k×une 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
troisième ligne : k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
une" 3 1 = une 3 1 + k×une 11 = 5 + (-5)×1 = 0
une" 3 2 = une 3 2 + k×une 12 = 1 + (-5)×2 = -9
une" 3 3 = une 33 + k×une 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Maintenant, pour ne pas vous tromper, vous devez écrire une matrice avec les résultats intermédiaires des transformations.
Évidemment, une telle matrice peut être rendue plus pratique pour la perception à l'aide de certaines opérations. Par exemple, vous pouvez supprimer tous les « moins » de la deuxième ligne en multipliant chaque élément par « -1 ».
Il convient également de noter que dans la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la ligne par ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps, pour supprimer valeurs négatives).
Ça a l'air beaucoup plus joli. Nous devons maintenant laisser de côté la première ligne et travailler avec les deuxième et troisième. La tâche consiste à ajouter la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par un coefficient tel que l'élément a 32 devienne égal à zéro.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si lors de certaines transformations la réponse ne s'avère pas être un nombre entier, il est recommandé de maintenir l'exactitude des calculs pour laisser il est « tel quel », sous la forme fraction commune, et seulement alors, lorsque les réponses sont reçues, décidez s'il faut arrondir et convertir vers une autre forme d'enregistrement)
une" 32 = une 32 + k×une 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
une" 33 = une 33 + k×une 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Comme vous pouvez le constater, la matrice résultante a déjà une forme échelonnée. Par conséquent, d’autres transformations du système utilisant la méthode gaussienne ne sont pas nécessaires. Ce que vous pouvez faire ici, c'est supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.
Maintenant, tout est beau. Il ne reste plus qu'à réécrire la matrice sous la forme d'un système d'équations et à calculer les racines
x + 2y + 4z = 12 (1)
7a + 11z = 24 (2)
L'algorithme par lequel les racines vont maintenant être trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode gaussienne. L'équation (3) contient la valeur z :
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Et la première équation nous permet de trouver x :
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Nous avons le droit de qualifier un tel système de commun, voire de définitif, c'est-à-dire d'avoir une solution unique. La réponse s'écrit sous la forme suivante :
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Un exemple de système incertain
L'option de résolution d'un certain système à l'aide de la méthode de Gauss a été analysée ; il est maintenant nécessaire de considérer le cas si le système est incertain, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peuvent être trouvées pour lui.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
L'apparence même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues est n = 5, et le rang de la matrice système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire l'ordre le plus élevé du carré déterminant est 4. Cela signifie qu'il existe un nombre infini de solutions et qu'il faut rechercher son apparence générale. La méthode Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.
Tout d'abord, comme d'habitude, une matrice étendue est compilée.
Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 /a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher à quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 /a 11) = -5
En multipliant tour à tour les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients et en les ajoutant aux lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante :
Comme vous pouvez le constater, les deuxième, troisième et quatrième rangées sont constituées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement identiques, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste peut être multiplié par le coefficient « -1 » et obtenir la ligne numéro 3. Et encore une fois, sur deux lignes identiques, laissez-en une.
Le résultat est une matrice comme celle-ci. Bien que le système n'ait pas encore été écrit, il est nécessaire de déterminer ici les variables de base - celles qui correspondent aux coefficients a 11 = 1 et a 22 = 1, et les variables libres - tout le reste.
Dans la deuxième équation, il n'y a qu'une seule variable de base - x 2. Cela signifie qu'il peut être exprimé à partir de là en l'écrivant via les variables x 3 , x 4 , x 5 , qui sont libres.
Nous substituons l'expression résultante dans la première équation.
Le résultat est une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1 . Faisons la même chose avec cela qu'avec x 2.
Toutes les variables de base, au nombre de deux, sont exprimées en termes de trois variables libres ; nous pouvons maintenant écrire la réponse sous forme générale ;
Vous pouvez également spécifier une des solutions particulières du système. Pour de tels cas, les zéros sont généralement choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse sera :
16, 23, 0, 0, 0.
Un exemple de système non coopératif
Solution systèmes incompatibleséquations par la méthode gaussienne - la plus rapide. Elle se termine immédiatement dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation sans solution. C'est-à-dire que l'étape de calcul des racines, qui est assez longue et fastidieuse, est éliminée. On considère le système suivant :
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Comme d'habitude, la matrice est compilée :
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Et cela se réduit à une forme pas à pas :
k1 = -2k2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme
sans solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse est l’ensemble vide.
Avantages et inconvénients de la méthode
Si vous choisissez la méthode pour résoudre les SLAE sur papier avec un stylo, la méthode discutée dans cet article semble la plus attrayante. Il est beaucoup plus difficile de se perdre dans les transformations élémentaires que si vous devez rechercher manuellement un déterminant ou une matrice inverse délicate. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes contiennent déjà des algorithmes permettant de calculer les principaux paramètres des matrices - déterminant, mineurs, inverse, etc. Et si vous êtes sûr que la machine calculera elle-même ces valeurs et ne fera pas d'erreurs, il est plus conseillé d'utiliser méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et matrices inverses.
Application
Puisque la solution gaussienne est un algorithme et que la matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais comme l'article se positionne comme un guide « pour les nuls », il faut dire que l'endroit le plus simple pour appliquer la méthode est les feuilles de calcul, par exemple Excel. Là encore, tout SLAE saisi dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il existe de nombreuses commandes intéressantes : addition (vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille !), multiplication par un nombre, multiplication de matrices (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées et, surtout , calculant le déterminant. Si cette tâche chronophage est remplacée par une seule commande, il est possible de déterminer beaucoup plus rapidement le rang de la matrice et donc d'établir sa compatibilité ou son incompatibilité.
Soit un système d'équations algébriques linéaires qui doit être résolu (trouver de telles valeurs des inconnues xi qui transforment chaque équation du système en une égalité).
On sait qu'un système d'équations algébriques linéaires peut :
1) N'avoir aucune solution (être non conjoint).
2) Avoir une infinité de solutions.
3) Ayez une seule solution.
Comme on s'en souvient, la règle de Cramer et la méthode matricielle ne conviennent pas dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incohérent. Méthode Gauss – l'outil le plus puissant et le plus polyvalent pour trouver des solutions à n'importe quel système d'équations linéaires, lequel dans tous les cas nous mènera à la réponse! L'algorithme de la méthode elle-même dans tout trois cas fonctionne de la même manière. Si les méthodes Cramer et matricielles nécessitent une connaissance des déterminants, alors pour appliquer la méthode de Gauss, vous n'avez besoin que de la connaissance des opérations arithmétiques, ce qui la rend accessible même aux élèves du primaire.
Transformations matricielles augmentées ( c'est la matrice du système - une matrice composée uniquement des coefficients des inconnues, plus une colonne de termes libres) systèmes d'équations algébriques linéaires dans la méthode de Gauss :
1) Avec troki matrices Peut réarrangerà certains endroits.
2) si des lignes proportionnelles (dans un cas particulier – identiques) apparaissent (ou existent) dans la matrice, alors vous devriez supprimer Toutes ces lignes proviennent de la matrice sauf une.
3) si une ligne zéro apparaît dans la matrice lors des transformations, alors elle doit également être supprimer.
4) une ligne de la matrice peut être multiplier (diviser)à n’importe quel nombre autre que zéro.
5) sur une ligne de la matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre, différent de zéro.
Dans la méthode de Gauss transformations élémentaires ne changez pas la solution du système d’équations.
La méthode Gauss comprend deux étapes :
- "Déplacement direct" - à l'aide de transformations élémentaires, amener la matrice étendue d'un système d'équations algébriques linéaires à une forme échelonnée "triangulaire": les éléments de la matrice étendue situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro (mouvement descendant). Par exemple, à ce type :
Pour ce faire, effectuez les étapes suivantes :
1) Considérons la première équation d'un système d'équations algébriques linéaires et le coefficient pour x 1 est égal à K. La deuxième, la troisième, etc. nous transformons les équations comme suit : nous divisons chaque équation (coefficients des inconnues, y compris les termes libres) par le coefficient de l'inconnue x 1, qui est dans chaque équation, et multiplions par K. Après cela, nous soustrayons le premier du deuxième équation (coefficients d'inconnues et termes libres). Pour x 1 dans la deuxième équation, nous obtenons le coefficient 0. De la troisième équation transformée, nous soustrayons la première équation jusqu'à ce que toutes les équations sauf la première, pour x 1 inconnu, aient un coefficient 0.
2) Passons à l'équation suivante. Soit la deuxième équation et le coefficient pour x 2 égal à M. Nous procédons avec toutes les équations « inférieures » comme décrit ci-dessus. Ainsi, « sous » l'inconnue x 2, il y aura des zéros dans toutes les équations.
3) Passer à l'équation suivante et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste une dernière inconnue et le terme libre transformé.
- Le « mouvement inverse » de la méthode de Gauss consiste à obtenir une solution à un système d’équations algébriques linéaires (le mouvement « ascendant »).
À partir de la dernière équation « inférieure », nous obtenons une première solution : l’inconnue x n. Pour ce faire, nous résolvons l'équation élémentaire A * x n = B. Dans l'exemple donné ci-dessus, x 3 = 4. Nous substituons la valeur trouvée dans l'équation suivante « supérieure » et la résolvons par rapport à la prochaine inconnue. Par exemple, x 2 – 4 = 1, c'est-à-dire x 2 = 5. Et ainsi de suite jusqu'à trouver toutes les inconnues.
Exemple.
Résolvons le système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss, comme le conseillent certains auteurs :
Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :
Nous regardons la « marche » en haut à gauche. Nous devrions y avoir une unité. Le problème est qu’il n’y a aucune unité dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne résoudra rien. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement se faire de plusieurs manières. Faisons ceci :
. À la première ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –1. Autrement dit, nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par –1 et ajouté la première et la deuxième ligne, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.
Maintenant en haut à gauche il y a « moins un », ce qui nous convient plutôt bien. Quiconque souhaite obtenir +1 peut effectuer une action supplémentaire : multiplier la première ligne par –1 (changer son signe).
Étape 2 . La première ligne, multipliée par 5, a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne, multipliée par 3, a été ajoutée à la troisième ligne.
Étape 3 . La première ligne a été multipliée par –1, en principe c'est pour la beauté. Le signe de la troisième ligne a également été modifié et déplacé à la deuxième place, de sorte que sur la deuxième « marche », nous ayons l'unité requise.
Étape 4 . La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par 2.
Étape 5 . La troisième ligne a été divisée par 3.
Un signe qui indique une erreur de calcul (plus rarement une faute de frappe) est un « mauvais » résultat. Autrement dit, si nous obtenons quelque chose comme (0 0 11 |23) ci-dessous et, par conséquent, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, alors avec un degré de probabilité élevé, nous pouvons dire qu'une erreur a été commise au cours de l'élémentaire transformations.
Faisons l’inverse : dans la conception des exemples, le système lui-même n’est souvent pas réécrit, mais les équations sont « tirées directement de la matrice donnée ». Le mouvement inverse, je vous le rappelle, fonctionne de bas en haut. DANS dans cet exemple il s'est avéré que c'était un cadeau :
x3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, donc x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Répondre:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Résolvons le même système en utilisant l'algorithme proposé. Nous obtenons
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Divisez la deuxième équation par 5 et la troisième par 3. Nous obtenons :
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
En multipliant les deuxième et troisième équations par 4, on obtient :
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
En soustrayant la première équation des deuxième et troisième équations, nous avons :
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Divisez la troisième équation par 0,64 :
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Multipliez la troisième équation par 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
En soustrayant la deuxième de la troisième équation, nous obtenons une matrice étendue « échelonnée » :
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Ainsi, puisque l'erreur s'est accumulée lors des calculs, on obtient x 3 = 0,96 soit environ 1.
x 2 = 3 et x 1 = –1.
En résolvant de cette manière, vous ne vous tromperez jamais dans les calculs et, malgré les erreurs de calcul, vous obtiendrez le résultat.
Cette méthode de résolution d'un système d'équations algébriques linéaires est facilement programmable et ne prend pas en compte les spécificités des coefficients à inconnues, car en pratique (dans les calculs économiques et techniques) on a affaire à des coefficients non entiers.
Je vous souhaite du succès ! Rendez-vous en classe ! Tuteur.
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1. Système d'équations algébriques linéaires
1.1 Le concept d'un système d'équations algébriques linéaires
Un système d'équations est une condition consistant en l'exécution simultanée de plusieurs équations par rapport à plusieurs variables. Un système d'équations algébriques linéaires (ci-après dénommé SLAE) contenant m équations et n inconnues est appelé un système de la forme :
où les nombres a ij sont appelés coefficients du système, les nombres b i sont appelés termes libres, un ij Et b je(i=1,…, m ; b=1,…, n) représentent des nombres connus, et x 1 ,…, xn- inconnu. Dans la désignation des coefficients un ij le premier indice i désigne le numéro de l'équation, et le second j est le numéro de l'inconnue auquel se situe ce coefficient. Les nombres x n doivent être trouvés. Il est pratique d’écrire un tel système sous forme matricielle compacte : AX=B. Ici A est la matrice des coefficients du système, appelée matrice principale ;
– vecteur colonne d'inconnues xj. est un vecteur colonne de termes libres bi.
Le produit des matrices A*X est défini, puisqu'il y a autant de colonnes dans la matrice A que de lignes dans la matrice X (n morceaux).
La matrice étendue d'un système est la matrice A du système, complétée par une colonne de termes libres
1.2 Résoudre un système d'équations algébriques linéaires
La solution d'un système d'équations est un ensemble ordonné de nombres (valeurs de variables), en les remplaçant à la place des variables, chacune des équations du système se transforme en une véritable égalité.
Une solution d'un système est constituée de n valeurs des inconnues x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, après substitution desquelles toutes les équations du système deviennent de vraies égalités. Toute solution du système peut être écrite sous forme de matrice de colonnes
Un système d’équations est dit cohérent s’il a au moins une solution, et incohérent s’il n’a aucune solution.
Un système cohérent est dit déterminé s’il a une seule solution, et indéfini s’il en a plusieurs. Dans ce dernier cas, chacune de ses solutions est appelée solution particulière du système. L’ensemble de toutes les solutions particulières est appelé la solution générale.
Résoudre un système, c’est découvrir s’il est compatible ou incohérent. Si le système est cohérent, trouvez sa solution générale.
Deux systèmes sont dits équivalents (équivalents) s'ils ont la même solution générale. En d’autres termes, les systèmes sont équivalents si toute solution de l’un d’eux est une solution de l’autre, et vice versa.
Transformation dont l'application transforme le système en nouveau système, équivalent à l'original, est appelé transformation équivalente ou équivalente. Des exemples de transformations équivalentes incluent les transformations suivantes : échanger deux équations d'un système, échanger deux inconnues avec les coefficients de toutes les équations, multiplier les deux côtés de toute équation d'un système par un nombre non nul.
Un système d'équations linéaires est dit homogène si tous les termes libres sont égaux à zéro :
Un système homogène est toujours cohérent, puisque x1=x2=x3=…=xn=0 est une solution du système. Cette solution est dite nulle ou triviale.
2. Méthode d'élimination gaussienne
2.1 L'essence de la méthode d'élimination gaussienne
La méthode classique de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires est la méthode d'élimination séquentielle des inconnues - Méthode gaussienne(on l'appelle aussi la méthode d'élimination gaussienne). Il s'agit d'une méthode d'élimination séquentielle de variables, lorsque, à l'aide de transformations élémentaires, un système d'équations est réduit à un système équivalent de forme pas à pas (ou triangulaire), à partir duquel toutes les autres variables sont trouvées séquentiellement, en commençant par la dernière (par nombre) variables.
Le processus de résolution utilisant la méthode de Gauss comprend deux étapes : des mouvements vers l'avant et vers l'arrière.
1. Course directe.
Dans la première étape, le mouvement dit direct est effectué lorsque, grâce à des transformations élémentaires sur les rangées, le système est amené à une forme en escalier ou triangulaire, ou qu'il est établi que le système est incompatible. À savoir, parmi les éléments de la première colonne de la matrice, un non nul est sélectionné, il est déplacé vers la position la plus haute en réorganisant les lignes, et la première ligne obtenue après le réarrangement est soustraite des lignes restantes, en la multipliant d'un montant égal au rapport du premier élément de chacune de ces lignes au premier élément de la première ligne, remettant ainsi à zéro la colonne située en dessous.
Une fois les transformations indiquées terminées, la première ligne et la première colonne sont mentalement barrées et continuées jusqu'à ce qu'il reste une matrice de taille nulle. Si à une itération il n'y a aucun élément non nul parmi les éléments de la première colonne, passez à la colonne suivante et effectuez une opération similaire.
Dans un premier temps (course directe), le système est réduit à une forme étagée (notamment triangulaire).
Le système ci-dessous a une forme pas à pas :
,
Les coefficients aii sont appelés les éléments principaux (principaux) du système.
(si a11=0, réorganiser les lignes de la matrice pour que un 11 n'était pas égal à 0. Cela est toujours possible, car sinon la matrice contient une colonne nulle, son déterminant est égal à zéro et le système est incohérent).Transformons le système en éliminant l'inconnue x1 dans toutes les équations sauf la première (en utilisant des transformations élémentaires du système). Pour ce faire, multipliez les deux côtés de la première équation par
et additionner terme par terme avec la deuxième équation du système (ou de la deuxième équation soustraire terme par terme par la première, multiplié par ). Ensuite, nous multiplions les deux côtés de la première équation par et les ajoutons à la troisième équation du système (ou de la troisième nous soustrayons la première multipliée par ). Ainsi, nous multiplions séquentiellement la première ligne par un nombre et ajoutons à jeème ligne, pour je= 2, 3, …,n.En poursuivant ce processus, nous obtenons un système équivalent :
– de nouvelles valeurs de coefficients pour les inconnues et les termes libres dans les m-1 dernières équations du système, qui sont déterminées par les formules : Ainsi, dans un premier temps, tous les coefficients se trouvant sous le premier élément principal a 11 sont détruits
0, dans la deuxième étape, les éléments se trouvant sous le deuxième élément principal a 22 (1) sont détruits (si a 22 (1) 0), etc. En poursuivant ce processus, nous réduisons finalement, à l'étape (m-1), le système d'origine à un système triangulaire.Si, lors du processus de réduction du système à une forme pas à pas, des équations nulles apparaissent, c'est-à-dire égalités de la forme 0=0, elles sont écartées. Si une équation de la forme apparaît
alors cela indique l'incompatibilité du système. C'est ici que se termine la progression directe de la méthode de Gauss.
2. Course inversée.
À la deuxième étape, ce qu'on appelle le mouvement inverse est effectué, dont l'essence est d'exprimer toutes les variables de base résultantes en termes de variables non fondamentales et de construire un système fondamental de solutions, ou, si toutes les variables sont de base , puis exprimer numériquement la seule solution du système d'équations linéaires.
Cette procédure commence par la dernière équation, à partir de laquelle la variable de base correspondante est exprimée (elle n'en contient qu'une seule) et substituée aux équations précédentes, et ainsi de suite, en remontant les « échelons ».
Chaque ligne correspond exactement à une variable de base, donc à chaque étape sauf la dernière (la plus haute), la situation répète exactement le cas de la dernière ligne.
Remarque : en pratique, il est plus pratique de travailler non pas avec le système, mais avec sa matrice étendue, en effectuant toutes les transformations élémentaires sur ses lignes. Il est pratique que le coefficient a11 soit égal à 1 (réorganiser les équations, ou diviser les deux côtés de l'équation par a11).
2.2 Exemples de résolution de SLAE par la méthode gaussienne
Dans cette section, il y a trois divers exemples Montrons comment la méthode gaussienne peut résoudre SLAE.
Exemple 1. Résoudre un SLAE du 3ème ordre.
Réinitialisons les coefficients à
dans les deuxième et troisième lignes. Pour ce faire, multipliez-les respectivement par 2/3 et 1 et ajoutez-les à la première ligne :