Avec ce programme mathématique, vous pouvez résoudre un système de deux équations linéaires avec deux variables en utilisant la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais fournit également une solution détaillée avec des explications sur les étapes de la solution de deux manières : la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Ce programme peut être utile pour les lycéens écoles secondaires en préparation essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Règles de saisie des équations
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. Lors de la saisie d'équations tu peux utiliser des parenthèses
. Dans ce cas, les équations sont d'abord simplifiées.

Les équations après simplifications doivent être linéaires, c'est-à-dire de la forme ax+by+c=0 avec la précision de l’ordre des éléments.

Par exemple : 6x+1 = 5(x+y)+2
Dans les équations, vous pouvez utiliser non seulement des nombres entiers, mais également des fractions sous forme de décimales et de fractions ordinaires. Règles de saisie des fractions décimales. Parties entières et fractionnaires en
décimales

peut être séparé par un point ou une virgule.
Par exemple : 2,1n + 3,5m = 55
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction. /
Le dénominateur ne peut pas être négatif. Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : &

Partie entière
séparé de la fraction par une esperluette :
Exemples.

Exemple : 3x-4y = 5

Exemple : 6x+1 = 5(x+y)+2
Résoudre un système d'équations
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Nos jeux, puzzles, émulateurs :

Un peu de théorie.

Résolution de systèmes d'équations linéaires. Méthode de substitution

La séquence d'actions lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de substitution :
1) exprimer une variable d'une équation du système en termes d'une autre ;
2) substituer l'expression résultante dans une autre équation du système au lieu de cette variable ;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Exprimons y en fonction de x à partir de la première équation : y = 7-3x. En substituant l'expression 7-3x dans la deuxième équation au lieu de y, nous obtenons le système :
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Il est facile de montrer que le premier et le deuxième système ont les mêmes solutions. Dans le deuxième système, la deuxième équation ne contient qu'une seule variable. Résolvons cette équation :
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

En substituant le nombre 1 au lieu de x dans l'égalité y=7-3x, nous trouvons la valeur correspondante de y :
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paire (1;4) - solution du système

Les systèmes d'équations à deux variables qui ont les mêmes solutions sont appelés équivalent. Les systèmes qui n'ont pas de solutions sont également considérés comme équivalents.

Résolution de systèmes d'équations linéaires par addition

Considérons une autre façon de résoudre des systèmes d'équations linéaires : la méthode d'addition. Lors de la résolution de systèmes de cette manière, ainsi que lors de la résolution par substitution, nous passons de ce système à un autre système équivalent, dans lequel l'une des équations ne contient qu'une seule variable.

La séquence d'actions lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition :
1) multiplier les équations du système terme par terme, en sélectionnant les facteurs pour que les coefficients de l'une des variables deviennent des nombres opposés ;
2) ajouter les côtés gauche et droit des équations système terme par terme ;
3) résoudre l'équation résultante avec une variable ;
4) trouver la valeur correspondante de la deuxième variable.

Exemple. Résolvons le système d'équations :
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dans les équations de ce système, les coefficients de y sont des nombres opposés. En additionnant les côtés gauche et droit des équations terme par terme, on obtient une équation à une variable 3x=33. Remplaçons une des équations du système, par exemple la première, par l'équation 3x=33. Prenons le système
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

À partir de l’équation 3x=33, nous trouvons que x=11. En substituant cette valeur x dans l'équation \(x-3y=38\), nous obtenons une équation avec la variable y : \(11-3y=38\). Résolvons cette équation :
\(-3y=27 \Flèche droite y=-9 \)

Ainsi, nous avons trouvé la solution du système d'équations par addition : \(x=11; y=-9\) ou \((11;-9)\)

Profitant du fait que dans les équations du système les coefficients de y sont des nombres opposés, nous avons réduit sa solution à la solution d'un système équivalent (en sommant les deux côtés de chacune des équations du système d'origine), dans lequel on des équations ne contient qu’une seule variable.

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Dans cette leçon, nous examinerons les méthodes permettant de résoudre un système d'équations linéaires. Dans un cours de mathématiques supérieures, les systèmes d'équations linéaires doivent être résolus à la fois sous la forme de tâches distinctes, par exemple « Résoudre le système à l'aide des formules de Cramer », et au cours de la résolution d'autres problèmes. Les systèmes d’équations linéaires doivent être abordés dans presque toutes les branches des mathématiques supérieures.

Tout d’abord, un peu de théorie. Que signifie le mot mathématique « linéaire » dans ce cas ? Cela signifie que les équations du système Tous variables incluses au premier degré: sans trucs fantaisistes comme etc., dont seuls les participants aux Olympiades mathématiques sont ravis.

En mathématiques supérieures, non seulement les lettres familières de l'enfance sont utilisées pour désigner les variables.
Une option assez populaire est celle des variables avec index : .
Ou les premières lettres de l'alphabet latin, petites et grandes :
Il n'est pas si rare de trouver des lettres grecques : – connues par beaucoup sous le nom de « alpha, bêta, gamma ». Et aussi un ensemble d'indices, disons, avec la lettre « mu » :

L'utilisation de l'un ou l'autre ensemble de lettres dépend de la section de mathématiques supérieures dans laquelle nous sommes confrontés à un système d'équations linéaires. Ainsi, par exemple, dans les systèmes d'équations linéaires rencontrés lors de la résolution d'intégrales, équations différentielles Il est traditionnel d'utiliser la notation

Mais quelle que soit la façon dont les variables sont désignées, les principes, méthodes et méthodes de résolution d'un système d'équations linéaires ne changent pas. Ainsi, si vous tombez sur quelque chose d'effrayant comme , ne vous précipitez pas pour fermer le livre de problèmes de peur, après tout, vous pouvez dessiner le soleil à la place, un oiseau à la place et un visage (le professeur) à la place. Et aussi drôle que cela puisse paraître, un système d’équations linéaires avec ces notations peut également être résolu.

J'ai le sentiment que l'article va s'avérer assez long, donc une petite table des matières. Ainsi, le « débriefing » séquentiel ressemblera à ceci :

– Résolution d’un système d’équations linéaires par la méthode de substitution (« méthode scolaire »);
– Résolution du système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système;
– Solution du système à l’aide des formules de Cramer;
– Résolution du système à l’aide d’une matrice inverse;
– Résolution du système par la méthode gaussienne.

Tout le monde connaît les systèmes d'équations linéaires de cours scolaire mathématiques. Essentiellement, nous commençons par la répétition.

Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de substitution

Cette méthode peut aussi être appelée « méthode scolaire » ou méthode d’élimination des inconnues. Au sens figuré, on peut aussi l’appeler « une méthode gaussienne inachevée ».

Exemple 1

On nous donne ici un système de deux équations à deux inconnues. Notez que les termes libres (numéros 5 et 7) sont situés sur le côté gauche de l'équation. D’une manière générale, peu importe où ils se trouvent, à gauche ou à droite, c’est juste que dans les problèmes de mathématiques supérieures, ils sont souvent situés ainsi. Et un tel enregistrement ne doit pas prêter à confusion ; si nécessaire, le système peut toujours être écrit « comme d'habitude » : . N’oubliez pas que lorsque vous déplacez un terme d’une partie à l’autre, il doit changer de signe.

Que signifie résoudre un système d’équations linéaires ? Résoudre un système d’équations signifie trouver plusieurs de ses solutions. La solution d'un système est un ensemble de valeurs de toutes les variables qu'il contient, ce qui transforme CHAQUE équation du système en une véritable égalité. De plus, le système peut être non conjoint (je n'ai pas de solutions).Ne vous inquiétez pas, c'est définition générale=) Nous n'aurons qu'une seule valeur "x" et une seule valeur "y", qui satisfont chaque équation s-we.

Il existe une méthode graphique pour résoudre le système, avec laquelle vous pouvez vous familiariser en classe. Les problèmes les plus simples avec une ligne. Là, j'ai parlé sens géométrique systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. Mais maintenant, c’est l’ère de l’algèbre, et des nombres-nombres, des actions-actions.

Décidons: à partir de la première équation on exprime :
Nous substituons l'expression résultante dans la deuxième équation :

Nous ouvrons les parenthèses, ajoutons des termes similaires et trouvons la valeur :

Ensuite, nous nous souvenons de ce pour quoi nous avons dansé :
On connaît déjà la valeur, il ne reste plus qu'à trouver :

Répondre:

Après que TOUT système d'équations ait été résolu de QUELQUE manière que ce soit, je recommande fortement de vérifier (oralement, sur un brouillon ou sur une calculatrice). Heureusement, cela se fait facilement et rapidement.

1) Remplacez la réponse trouvée dans la première équation :

– l'égalité correcte est obtenue.

2) Remplacez la réponse trouvée dans la deuxième équation :

– l'égalité correcte est obtenue.

Ou, pour le dire plus simplement, « tout s’est mis en place »

La méthode de solution envisagée n'est pas la seule ; à partir de la première équation, il a été possible d'exprimer , et non .
Vous pouvez faire le contraire : exprimer quelque chose de la deuxième équation et le remplacer dans la première équation. A propos, notons que la plus désavantageuse des quatre méthodes est d'exprimer à partir de la deuxième équation :

Le résultat est des fractions, mais pourquoi ? Il existe une solution plus rationnelle.

Cependant, dans certains cas, on ne peut toujours pas se passer des fractions. À cet égard, je voudrais attirer votre attention sur COMMENT j'ai écrit l'expression. Pas comme ça : et en aucun cas comme ça : .

Si, en mathématiques supérieures, vous avez affaire à des nombres fractionnaires, essayez d'effectuer tous les calculs avec des fractions impropres ordinaires.

Exactement, et pas ou !

Une virgule ne peut être utilisée que parfois, en particulier si elle constitue la réponse finale à un problème, et aucune autre action ne doit être effectuée avec ce nombre.

De nombreux lecteurs se sont probablement demandé « pourquoi une explication aussi détaillée que pour un cours de correction, tout est clair ». Rien de tel, cela semble être un exemple scolaire si simple, mais il y a tellement de conclusions TRÈS importantes ! En voici un autre :

Vous devez vous efforcer d’accomplir n’importe quelle tâche de la manière la plus rationnelle. Ne serait-ce que parce que cela permet d'économiser du temps et des nerfs, et réduit également le risque de commettre une erreur.

Si, dans un problème de mathématiques supérieures, vous rencontrez un système de deux équations linéaires à deux inconnues, vous pouvez toujours utiliser la méthode de substitution (sauf s'il est indiqué que le système doit être résolu par une autre méthode). Aucun enseignant ne le fera. pense que tu es un idiot et que tu réduiras ta note pour avoir utilisé la « méthode scolaire » "
De plus, dans certains cas, il est conseillé d'utiliser la méthode de substitution avec un plus grand nombre de variables.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires à trois inconnues

Un système d'équations similaire apparaît souvent lors de l'utilisation de la méthode dite des coefficients indéfinis, lorsque l'on trouve l'intégrale d'une fonction rationnelle fractionnaire. Le système en question a été récupéré par moi.

Pour trouver l’intégrale, le but est rapide trouver les valeurs des coefficients, et ne pas recourir aux formules de Cramer, la méthode matrice inverse etc. Par conséquent, dans ce cas, la méthode de substitution est appropriée.

Lorsqu'un système d'équations est donné, il est tout d'abord souhaitable de savoir s'il est possible de le simplifier IMMÉDIATEMENT d'une manière ou d'une autre ? En analysant les équations du système, nous remarquons que la deuxième équation du système peut être divisée par 2, ce que nous faisons :

Référence: le signe mathématique signifie « de ceci découle cela » et est souvent utilisé dans la résolution de problèmes.

Analysons maintenant les équations : nous devons exprimer une variable en fonction des autres. Quelle équation dois-je choisir ? Vous avez probablement déjà deviné que le moyen le plus simple pour cela est de prendre la première équation du système :

Ici, quelle que soit la variable à exprimer, on pourrait tout aussi bien exprimer ou .

Ensuite, nous substituons l'expression pour dans les deuxième et troisième équations du système :

Nous ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

Divisez la troisième équation par 2 :

À partir de la deuxième équation, nous exprimons et substituons dans la troisième équation :

Presque tout est prêt, à partir de la troisième équation on trouve :
De la deuxième équation :
De la première équation :

Vérifier : Remplacez les valeurs trouvées des variables dans le côté gauche de chaque équation du système :

1)
2)
3)

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, la solution est donc trouvée correctement.

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires à 4 inconnues

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon).

Résolution du système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système

Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires, vous devez essayer d'utiliser non pas la « méthode scolaire », mais la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations du système. Pourquoi? Cela fait gagner du temps et simplifie les calculs, cependant, tout deviendra désormais plus clair.

Exemple 4

Résoudre un système d'équations linéaires :

J'ai pris le même système que dans le premier exemple.
En analysant le système d'équations, on remarque que les coefficients de la variable sont identiques en grandeur et opposés en signe (–1 et 1). Dans une telle situation, les équations peuvent être additionnées terme par terme :

Les actions entourées en rouge sont réalisées MENTALEMENT.
Comme vous pouvez le constater, suite à l’addition terme par terme, nous avons perdu la variable. C'est en fait ce que l'essence de la méthode est de se débarrasser de l'une des variables.

En général, l'équation linéaire a la forme :

L'équation a une solution : si au moins un des coefficients des inconnues est différent de zéro. Dans ce cas, tout vecteur dimensionnel est appelé solution de l'équation si, en substituant ses coordonnées, l'équation devient une identité.

Caractéristiques générales du système d'équations résolu

Exemple 20.1

Décrire le système d'équations.

Solution:

1. Y-a-t-il une équation contradictoire ?(Si les coefficients, dans ce cas l'équation a la forme : et s'appelle controversé.)

• Si un système contient quelque chose de contradictoire, alors un tel système est incohérent et n’a pas de solution.

2. Trouver toutes les variables autorisées. (L'inconnu s'appellepermis pour un système d'équations, s'il est inclus dans l'une des équations du système avec un coefficient de +1, mais n'est pas inclus dans les équations restantes (c'est-à-dire qu'il est inclus avec un coefficient égal à zéro).

3. Le système d'équations est-il résolu ? (Le système d'équations est dit résolu, si chaque équation du système contient une inconnue résolue, parmi laquelle il n'y en a pas de coïncidence)

Les inconnues résolues, prises une dans chaque équation du système, forment ensemble complet d'inconnues résolues systèmes. (dans notre exemple, c'est)

Les inconnues autorisées incluses dans l'ensemble complet sont également appelées basique(), et non inclus dans l'ensemble - gratuit ().

Dans le cas général, le système d’équations résolu a la forme :

A ce stade, l'essentiel est de comprendre de quoi il s'agit résolu inconnu(inclus dans la base et gratuit).

Général Particulier Solutions de base

Solution générale un système d'équations résolu est un ensemble d'expressions d'inconnues résolues à travers des termes libres et des inconnues libres :

Décision privée s'appelle une solution obtenue à partir d'une solution générale pour des valeurs spécifiques de variables libres et d'inconnues.

Solution de base est une solution particulière obtenue à partir de la solution générale pour les valeurs nulles des variables libres.

• La solution de base (vecteur) s'appelle dégénérer, si le nombre de ses coordonnées est différent de zéro, moins de nombre inconnues résolues.
• La solution de base s'appelle non dégénéré, si le nombre de ses coordonnées non nulles est égal au nombre d'inconnues autorisées du système inclus dans l'ensemble complet.

Théorème (1)

Le système d'équations résolu est toujours cohérent(car il a au moins une solution) ; De plus, si le système ne possède pas d’inconnues libres,(c'est-à-dire que dans un système d'équations, toutes celles autorisées sont incluses dans la base) alors c'est défini(a une solution unique); s'il y a au moins une variable libre, alors le système n'est pas défini(a un nombre infini de solutions).

Exemple 1. Trouver la solution générale, fondamentale et toute solution particulière du système d'équations :

Solution:

1. Est-ce qu'on vérifie si le système est autorisé ?

• Le système est résolu (puisque chacune des équations contient une inconnue résolue)

2. Nous incluons les inconnues autorisées dans l'ensemble - une pour chaque équation.

3. Nous écrivons la solution générale en fonction des inconnues autorisées que nous avons incluses dans l'ensemble.

4. Trouver une solution particulière. Pour ce faire, nous assimilons les variables libres que nous n'avons pas incluses dans l'ensemble à des nombres arbitraires.

Répondre: solution privée(une des options)

5. Trouver la solution de base. Pour ce faire, nous assimilons à zéro les variables libres que nous n'avons pas incluses dans l'ensemble.

Transformations élémentaires d'équations linéaires

Les systèmes d'équations linéaires sont réduits à des systèmes résolus équivalents en utilisant transformations élémentaires.

Théorème (2)

Le cas échéant multiplier l'équation du système par un nombre non nul, et laissez le reste des équations inchangé, alors . (c'est-à-dire que si vous multipliez les côtés gauche et droit de l'équation par le même nombre, vous obtenez une équation équivalente à celle-ci)

Théorème (3)

Si en ajouter un autre à n'importe quelle équation du système, et laissez toutes les autres équations inchangées, alors on obtient un système équivalent à celui-ci. (c'est-à-dire que si vous ajoutez deux équations (en ajoutant leurs côtés gauche et droit), vous obtiendrez une équation équivalente aux données)

Corollaire des théorèmes (2 et 3)

Si ajouter une autre équation à une équation multipliée par un certain nombre, et laissez toutes les autres équations inchangées, alors on obtient un système équivalent à celui-ci.

Formules pour recalculer les coefficients du système

Si nous avons un système d’équations et que nous voulons le transformer en un système d’équations résolu, la méthode Jordan-Gauss nous y aidera.

La Jordanie se transforme avec un élément résolvant permet d'obtenir pour un système d'équations l'inconnue résolue dans l'équation de nombre . (exemple 2).

La transformation de Jordan se compose de transformations élémentaires de deux types :

Disons que nous voulons faire de l'inconnue de l'équation inférieure une inconnue résolue. Pour ce faire, il faut diviser par , pour que la somme soit .

Exemple 2 Recalculons les coefficients du système

Lors de la division d'une équation avec un nombre par , ses coefficients sont recalculés à l'aide des formules :

Pour exclure de l'équation avec le nombre , vous devez multiplier l'équation avec le nombre par et ajouter à cette équation.

Théorème (4) Sur la réduction du nombre d'équations du système.

Si un système d'équations contient une équation triviale, alors elle peut être exclue du système et un système équivalent à celui d'origine sera obtenu.

Théorème (5) Sur l'incompatibilité du système d'équations.

Si un système d’équations contient une équation incohérente, alors elle est incohérente.

Algorithme de la méthode Jordan-Gauss

L'algorithme de résolution de systèmes d'équations à l'aide de la méthode Jordan-Gauss comprend un certain nombre d'étapes similaires, à chacune desquelles les actions sont effectuées dans l'ordre suivant :

1. Vérifie si le système est incohérent. Si un système contient une équation incohérente, alors il est incohérent.
2. La possibilité de réduire le nombre d'équations est vérifiée. Si le système contient une équation triviale, elle est barrée.
3. Si le système d'équations est résolu, notez la solution générale du système et, si nécessaire, les solutions particulières.
4. Si le système n'est pas résolu, alors dans une équation qui ne contient pas d'inconnue résolue, un élément de résolution est sélectionné et une transformation de Jordan est effectuée avec cet élément.
5. Revenez ensuite au point 1

Exemple 3 Résolvez un système d'équations en utilisant la méthode Jordan-Gauss.

Trouver: deux solutions générales et deux solutions de base correspondantes

Solution:

Les calculs sont présentés dans le tableau ci-dessous :

À droite du tableau se trouvent les actions sur les équations. Les flèches indiquent à quelle équation l'équation avec l'élément de résolution est ajoutée, multipliée par un facteur approprié.

Les trois premières lignes du tableau contiennent les coefficients des inconnues et les membres de droite du système d'origine. Les résultats de la première transformée de Jordan avec un élément résolvant égal à un sont donnés aux lignes 4, 5, 6. Les résultats de la deuxième transformée de Jordan avec un élément résolvant égal à (-1) sont donnés aux lignes 7, 8, 9. La troisième équation étant triviale, elle ne peut pas être considérée.

Contenu de la leçon

Équations linéaires à deux variables

Un écolier dispose de 200 roubles pour déjeuner à l’école. Un gâteau coûte 25 roubles et une tasse de café 10 roubles. Combien de gâteaux et de tasses de café pouvez-vous acheter pour 200 roubles ?

Notons le nombre de gâteaux par x, et le nombre de tasses de café à travers oui. Ensuite, le coût des gâteaux sera désigné par l'expression 25 x, et le coût des tasses de café en 10 oui .

25x— prix x gâteaux
10oui — prix oui tasses de café

Le montant total devrait être de 200 roubles. On obtient alors une équation à deux variables x Et oui

25x+ 10oui= 200

Combien de racines cette équation a-t-elle ?

Tout dépend de l’appétit de l’élève. S’il achète 6 gâteaux et 5 tasses de café, alors les racines de l’équation seront les nombres 6 et 5.

La paire de valeurs 6 et 5 serait les racines de l'équation 25 x+ 10oui= 200 . Écrit comme (6 ; 5), le premier nombre étant la valeur de la variable x, et le second - la valeur de la variable oui .

6 et 5 ne sont pas les seules racines qui inversent l’équation 25 x+ 10oui= 200 à l'identité. S'il le souhaite, pour les mêmes 200 roubles, un étudiant peut acheter 4 gâteaux et 10 tasses de café :

Dans ce cas, les racines de l'équation 25 x+ 10oui= 200 est une paire de valeurs (4 ; 10).

De plus, un écolier ne peut pas acheter de café du tout, mais acheter des gâteaux pour la totalité de 200 roubles. Alors les racines de l’équation 25 x+ 10oui= 200 seront les valeurs 8 et 0

Ou vice versa, n'achetez pas de gâteaux, mais achetez du café pour la totalité de 200 roubles. Alors les racines de l’équation 25 x+ 10oui= 200 les valeurs seront 0 et 20

Essayons de lister toutes les racines possibles de l'équation 25 x+ 10oui= 200 . Admettons que les valeurs x Et oui appartiennent à l’ensemble des entiers. Et que ces valeurs soient supérieures ou égales à zéro :

x∈Z, oui∈ Z ;
x ≥ 0, y ≥ 0

Cela conviendra à l'étudiant lui-même. Il est plus pratique d'acheter des gâteaux entiers que, par exemple, plusieurs gâteaux entiers et un demi-gâteau. Il est également plus pratique de prendre du café en tasses entières que, par exemple, plusieurs tasses entières et une demi-tasse.

Notez que pour les impairs x il est impossible d’atteindre l’égalité sous aucun prétexte oui. Alors les valeurs x les nombres suivants seront 0, 2, 4, 6, 8. Et sachant x peut être facilement déterminé oui

Ainsi, nous avons reçu les paires de valeurs suivantes (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ces paires sont des solutions ou des racines de l'équation 25 x+ 10oui= 200. Ils transforment cette équation en une identité.

Équation de la forme hache + par = c appelé équation linéaire à deux variables. La solution ou les racines de cette équation sont une paire de valeurs ( X ; oui), ce qui en fait une identité.

Notez également que si une équation linéaire à deux variables s'écrit sous la forme hache + b y = c , alors ils disent que c'est écrit en canonique forme (normale).

Certaines équations linéaires à deux variables peuvent être réduites à une forme canonique.

Par exemple, l'équation 2(16x+ 3oui - 4) = 2(12 + 8x − oui) peut être rappelé hache + par = c. Ouvrons les parenthèses des deux côtés de cette équation et obtenons 32x + 6oui − 8 = 24 + 16x − 2oui . Nous regroupons les termes contenant des inconnues sur le côté gauche de l'équation et les termes sans inconnues sur le côté droit. Ensuite, nous obtenons 32x− 16x+ 6oui+ 2oui = 24 + 8 . Nous présentons des termes similaires des deux côtés, nous obtenons l'équation 16 x+ 8oui= 32. Cette équation se réduit à la forme hache + par = c et est canonique.

Équation 25 discutée plus tôt x+ 10oui= 200 est aussi une équation linéaire à deux variables sous forme canonique. Dans cette équation les paramètres un , b Et c sont égaux respectivement aux valeurs 25, 10 et 200.

En fait, l'équation hache + par = c a d'innombrables solutions. Résoudre l'équation 25x+ 10oui= 200, nous avons recherché ses racines uniquement sur l'ensemble des entiers. En conséquence, nous avons obtenu plusieurs paires de valeurs qui ont transformé cette équation en identité. Mais sur l’ensemble des nombres rationnels, l’équation 25 x+ 10oui= 200 aura une infinité de solutions.

Pour obtenir de nouvelles paires de valeurs, vous devez prendre une valeur arbitraire pour x, puis exprimez oui. Par exemple, prenons pour la variable x valeur 7. Ensuite, nous obtenons une équation avec une variable 25×7 + 10oui= 200 dans lequel on peut exprimer oui

Laisser x= 15. Alors l'équation 25x+ 10oui= 200 devient 25 × 15 + 10oui= 200. De là, nous constatons que oui = −17,5

Laisser x= −3 . Alors l'équation 25x+ 10oui= 200 devient 25 × (−3) + 10oui= 200. De là, nous constatons que oui = −27,5

Système de deux équations linéaires à deux variables

Pour l'équation hache + par = c vous pouvez prendre des valeurs arbitraires autant de fois que vous le souhaitez x et trouver des valeurs pour oui. Prise séparément, une telle équation aura d’innombrables solutions.

Mais il arrive aussi que les variables x Et oui relié non pas par une, mais par deux équations. Dans ce cas, ils forment ce qu'on appelle système d'équations linéaires à deux variables. Un tel système d'équations peut avoir une paire de valeurs (ou en d'autres termes : « une solution »).

Il peut également arriver que le système n’ait aucune solution. Un système d'équations linéaires peut avoir d'innombrables solutions dans des cas rares et exceptionnels.

Deux équations linéaires forment un système lorsque les valeurs x Et oui entrer dans chacune de ces équations.

Revenons à la toute première équation 25 x+ 10oui= 200 . L'une des paires de valeurs de cette équation était la paire (6 ; 5). C'est le cas où pour 200 roubles, vous pourriez acheter 6 gâteaux et 5 tasses de café.

Formulons le problème pour que la paire (6 ; 5) devienne la seule solution de l'équation 25 x+ 10oui= 200 . Pour ce faire, créons une autre équation qui relierait la même x des gâteaux et oui tasses de café.

Énonçons le texte du problème comme suit :

« L'étudiant a acheté plusieurs gâteaux et plusieurs tasses de café pour 200 roubles. Un gâteau coûte 25 roubles et une tasse de café 10 roubles. Combien de gâteaux et de tasses de café l'élève a-t-il acheté si l'on sait que le nombre de gâteaux par unité plus de quantité des tasses de café ?

Nous avons déjà la première équation. C'est l'équation 25 x+ 10oui= 200 . Créons maintenant une équation pour la condition "le nombre de gâteaux est supérieur d'une unité au nombre de tasses de café" .

Le nombre de gâteaux est x, et le nombre de tasses de café est oui. Vous pouvez écrire cette phrase en utilisant l'équation x−y= 1. Cette équation signifie que la différence entre les gâteaux et le café est de 1.

x = oui+1. Cette équation signifie que le nombre de gâteaux est supérieur d’un au nombre de tasses de café. Par conséquent, pour obtenir l’égalité, on ajoute un au nombre de tasses de café. Cela peut être facilement compris si l'on utilise le modèle d'échelles que nous avons considéré lors de l'étude des problèmes les plus simples :

Nous avons deux équations : 25 x+ 10oui= 200 et x = oui+ 1. Puisque les valeurs x Et oui, à savoir 6 et 5 sont inclus dans chacune de ces équations, alors ensemble ils forment un système. Écrivons ce système. Si les équations forment un système, elles sont alors encadrées par le signe du système. Le symbole système est une accolade :

Décidons ce système. Cela nous permettra de voir comment on arrive aux valeurs 6 et 5. Il existe de nombreuses méthodes pour résoudre de tels systèmes. Regardons les plus populaires d'entre eux.

Méthode de substitution

Le nom de cette méthode parle de lui-même. Son essence est de substituer une équation à une autre, après avoir exprimé au préalable l'une des variables.

Dans notre système, rien n'a besoin d'être exprimé. Dans la deuxième équation x = oui+ 1 variable x déjà exprimé. Cette variable est égale à l'expression oui+1. Ensuite, vous pouvez remplacer cette expression dans la première équation au lieu de la variable x

Après avoir remplacé l'expression oui+ 1 dans la première équation à la place x, on obtient l'équation 25(oui+ 1) + 10oui= 200 . Il s'agit d'une équation linéaire à une variable. Cette équation est assez simple à résoudre :

Nous avons trouvé la valeur de la variable oui. Remplaçons maintenant cette valeur dans l'une des équations et trouvons la valeur x. Pour cela, il est pratique d'utiliser la deuxième équation x = oui+1. Remplaçons-y la valeur oui

Cela signifie que la paire (6 ; 5) est une solution du système d’équations, comme nous le souhaitions. On vérifie et s'assure que le couple (6 ; 5) satisfait le système :

Exemple 2

Remplaçons la première équation x= 2 + oui dans la deuxième équation 3 x− 2oui= 9. Dans la première équation, la variable xégal à l'expression 2 + oui. Remplaçons cette expression dans la deuxième équation au lieu de x

Trouvons maintenant la valeur x. Pour ce faire, substituons la valeur oui dans la première équation x= 2 + oui

Cela signifie que la solution du système est la valeur de paire (5 ; 3)

Exemple 3. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode de substitution :

Ici, contrairement aux exemples précédents, l’une des variables n’est pas exprimée explicitement.

Pour remplacer une équation par une autre, vous avez d'abord besoin de .

Il est conseillé d'exprimer la variable qui a un coefficient de un. La variable a un coefficient de un x, qui est contenu dans la première équation x+ 2oui= 11. Exprimons cette variable.

Après expression variable x, notre système prendra la forme suivante :

Remplaçons maintenant la première équation par la seconde et trouvons la valeur oui

Remplaçons oui x

Cela signifie que la solution du système est une paire de valeurs (3 ; 4)

Bien entendu, vous pouvez également exprimer une variable oui. Cela ne changera pas les racines. Mais si vous exprimez oui, Le résultat n’est pas une équation très simple, dont la résolution prendra plus de temps. Cela ressemblera à ceci :

Nous voyons cela dans dans cet exemple exprimer x beaucoup plus pratique que d'exprimer oui .

Exemple 4. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode de substitution :

Exprimons dans la première équation x. Le système prendra alors la forme :

oui

Remplaçons oui dans la première équation et trouvez x. Vous pouvez utiliser l'équation originale 7 x+ 9oui= 8, ou utiliser l'équation dans laquelle la variable est exprimée x. Nous utiliserons cette équation car elle est pratique :

Cela signifie que la solution du système est une paire de valeurs (5 ; −3)

Méthode d'addition

La méthode d’addition consiste à additionner terme par terme les équations incluses dans le système. Cet ajout aboutit à une nouvelle équation à une variable. Et résoudre une telle équation est assez simple.

Résolvons le système d'équations suivant :

Ajoutons le côté gauche de la première équation avec le côté gauche de la deuxième équation. Et le côté droit de la première équation avec le côté droit de la deuxième équation. On obtient l'égalité suivante :

Regardons des termes similaires :

En conséquence, nous avons obtenu l'équation la plus simple 3 x= 27 dont la racine est 9. Connaître la valeur x tu peux trouver la valeur oui. Remplaçons la valeur x dans la deuxième équation x−y= 3 . Nous obtenons 9 − oui= 3 . D'ici oui= 6 .

Cela signifie que la solution du système est une paire de valeurs (9 ; 6)

Exemple 2

Ajoutons le côté gauche de la première équation avec le côté gauche de la deuxième équation. Et le côté droit de la première équation avec le côté droit de la deuxième équation. Dans l’égalité résultante, nous présentons des termes similaires :

En conséquence, nous avons obtenu l'équation la plus simple 5 x= 20, dont la racine est 4. Connaître la valeur x tu peux trouver la valeur oui. Remplaçons la valeur x dans la première équation 2 x+y= 11. Prenons 8+ oui= 11. D'ici oui= 3 .

Cela signifie que la solution du système est une paire de valeurs (4;3)

Le processus d'ajout n'est pas décrit en détail. Cela doit être fait mentalement. Lors de l'addition, les deux équations doivent être réduites à la forme canonique. C'est d'ailleurs ac + par = c .

D'après les exemples considérés, il ressort clairement que l'objectif principal de l'ajout d'équations est de se débarrasser de l'une des variables. Mais il n’est pas toujours possible de résoudre immédiatement un système d’équations par la méthode de l’addition. Le plus souvent, le système est d'abord amené sous une forme dans laquelle les équations incluses dans ce système peuvent être ajoutées.

Par exemple, le système peut être résolu immédiatement par addition. Lors de l'addition des deux équations, les termes oui Et −oui disparaîtront car leur somme est nulle. En conséquence, l'équation la plus simple 11 est formée x= 22, dont la racine est 2. Il sera alors possible de déterminer ouiégal à 5.

Et le système d'équations La méthode d'addition ne peut pas être résolue immédiatement, car elle n'entraînera pas la disparition d'une des variables. L'addition donnera l'équation 8 x+ oui= 28, qui a un nombre infini de solutions.

Si les deux côtés de l’équation sont multipliés ou divisés par le même nombre, non égal à zéro, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée. Cette règle est également vraie pour un système d’équations linéaires à deux variables. L'une des équations (ou les deux équations) peut être multipliée par n'importe quel nombre. Le résultat sera un système équivalent dont les racines coïncideront avec le précédent.

Revenons au tout premier système, qui décrivait le nombre de gâteaux et de tasses de café qu'un écolier achetait. La solution à ce système était une paire de valeurs (6 ; 5).

Multiplions les deux équations incluses dans ce système par quelques nombres. Disons que l'on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3

En conséquence, nous avons obtenu un système
La solution à ce système est toujours le couple de valeurs (6 ; 5)

Cela signifie que les équations incluses dans le système peuvent être réduites à une forme adaptée à l'application de la méthode d'addition.

Revenons au système , que nous n’avons pas pu résoudre en utilisant la méthode d’addition.

Multipliez la première équation par 6 et la seconde par −2

On obtient alors le système suivant :

Additionnons les équations incluses dans ce système. Ajout de composants 12 x et −12 x donnera 0, addition 18 oui et 4 oui donnera 22 oui, et ajouter 108 et −20 donne 88. On obtient alors l'équation 22 oui= 88, à partir d'ici oui = 4 .

Si au début il est difficile d'ajouter des équations dans votre tête, vous pouvez alors écrire comment le côté gauche de la première équation s'additionne avec le côté gauche de la deuxième équation, et le côté droit de la première équation avec le côté droit de la deuxième équation :

Sachant que la valeur de la variable oui est égal à 4, vous pouvez trouver la valeur x. Remplaçons oui dans l'une des équations, par exemple dans la première équation 2 x+ 3oui= 18. On obtient alors une équation à une variable 2 x+ 12 = 18. Déplaçons 12 vers la droite, en changeant le signe, nous obtenons 2 x= 6, à partir d'ici x = 3 .

Exemple 4. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode d'addition :

Multiplions la deuxième équation par −1. Le système prendra alors la forme suivante :

Ajoutons les deux équations. Ajout de composants x Et −x donnera 0, addition 5 oui et 3 oui donnera 8 oui, et ajouter 7 et 1 donne 8. Le résultat est l'équation 8 oui= 8 dont la racine est 1. Sachant que la valeur oui est égal à 1, vous pouvez trouver la valeur x .

Remplaçons oui dans la première équation, on obtient x+ 5 = 7, donc x= 2

Exemple 5. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode d'addition :

Il est souhaitable que les termes contenant les mêmes variables soient situés les uns en dessous des autres. Par conséquent, dans la deuxième équation, les termes 5 oui et −2 xÉchangeons nos places. En conséquence, le système prendra la forme :

Multiplions la deuxième équation par 3. Le système prendra alors la forme :

Ajoutons maintenant les deux équations. À la suite de l'addition, nous obtenons l'équation 8 oui= 16, dont la racine est 2.

Remplaçons oui dans la première équation, nous obtenons 6 x− 14 = 40. Déplaçons le terme −14 vers la droite, en changeant le signe, et obtenons 6 x= 54 . D'ici x= 9.

Exemple 6. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode d'addition :

Débarrassons-nous des fractions. Multipliez la première équation par 36 et la seconde par 12

Dans le système résultant la première équation peut être multipliée par −5 et la seconde par 8

Additionnons les équations du système résultant. On obtient alors l'équation la plus simple −13 oui= −156 . D'ici oui= 12. Remplaçons oui dans la première équation et trouvez x

Exemple 7. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode d'addition :

Ramenons les deux équations sous forme normale. Ici, il convient d’appliquer la règle de proportion dans les deux équations. Si dans la première équation le côté droit est représenté par , et le côté droit de la deuxième équation par , alors le système prendra la forme :

Nous avons une proportion. Multiplions ses termes extrêmes et moyens. Le système prendra alors la forme :

Multiplions la première équation par −3 et ouvrons les parenthèses dans la seconde :

Ajoutons maintenant les deux équations. En additionnant ces équations, nous obtenons une égalité nulle des deux côtés :

Il s’avère que le système propose d’innombrables solutions.

Mais nous ne pouvons pas simplement prendre des valeurs arbitraires du ciel pour x Et oui. Nous pouvons spécifier l'une des valeurs, et l'autre sera déterminée en fonction de la valeur que nous spécifions. Par exemple, laissez x= 2 . Remplaçons cette valeur dans le système :

Suite à la résolution de l’une des équations, la valeur de oui, qui satisfera les deux équations :

La paire de valeurs résultante (2 ; −2) satisfera le système :

Trouvons une autre paire de valeurs. Laisser x= 4. Remplaçons cette valeur dans le système :

Vous pouvez voir à l'œil nu que la valeur oui est égal à zéro. Nous obtenons alors une paire de valeurs (4 ; 0) qui satisfont notre système :

Exemple 8. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode d'addition :

Multipliez la première équation par 6 et la seconde par 12

Réécrivons ce qui reste :

Multiplions la première équation par −1. Le système prendra alors la forme :

Ajoutons maintenant les deux équations. À la suite de l'addition, l'équation 6 est formée b= 48, dont la racine est 8. Remplacer b dans la première équation et trouvez un

Système d'équations linéaires à trois variables

Une équation linéaire à trois variables comprend trois variables avec des coefficients, ainsi qu'un terme à l'origine. Sous forme canonique, il peut s'écrire ainsi :

hache + par + cz = d

Cette équation a d'innombrables solutions. Donner deux variables différentes significations, une troisième valeur peut être trouvée. La solution dans ce cas est un triplet de valeurs ( X ; oui; z) qui transforme l'équation en une identité.

Si les variables x, y, z sont interconnectés par trois équations, alors un système de trois équations linéaires à trois variables est formé. Pour résoudre un tel système, vous pouvez utiliser les mêmes méthodes qui s'appliquent aux équations linéaires à deux variables : la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Exemple 1. Résolvez le système d'équations suivant en utilisant la méthode de substitution :

Exprimons dans la troisième équation x. Le système prendra alors la forme :

Faisons maintenant la substitution. Variable x est égal à l'expression 3 − 2oui − 2z . Remplaçons cette expression dans les première et deuxième équations :

Ouvrons les parenthèses dans les deux équations et présentons des termes similaires :

Nous sommes arrivés à un système d'équations linéaires à deux variables. Dans ce cas, il est pratique d’utiliser la méthode d’addition. En conséquence, la variable oui disparaîtra et on pourra retrouver la valeur de la variable z

Trouvons maintenant la valeur oui. Pour ce faire, il est pratique d'utiliser l'équation - oui+ z= 4. Remplacez-y la valeur z

Trouvons maintenant la valeur x. Pour ce faire, il est pratique d'utiliser l'équation x= 3 − 2oui − 2z . Remplaçons-y les valeurs oui Et z

Ainsi, le triple de valeurs (3 ; −2 ; 2) est une solution de notre système. En vérifiant on s'assure que ces valeurs satisfont le système :

Exemple 2. Résoudre le système en utilisant la méthode d'addition

Additionnons la première équation avec la seconde, multipliée par −2.

Si la deuxième équation est multipliée par −2, elle prend la forme −6x+ 6oui - 4z = −4 . Ajoutons-le maintenant à la première équation :

On voit qu'à la suite de transformations élémentaires, la valeur de la variable a été déterminée x. C'est égal à un.

Revenons au système principal. Ajoutons la deuxième équation à la troisième, multipliée par −1. Si la troisième équation est multipliée par −1, elle prend la forme −4x + 5oui − 2z = −1 . Ajoutons-le maintenant à la deuxième équation :

Nous avons l'équation x− 2oui= −1 . Remplaçons-y la valeur x que nous avons trouvé plus tôt. On peut alors déterminer la valeur oui

Maintenant nous connaissons les significations x Et oui. Cela vous permet de déterminer la valeur z. Utilisons l'une des équations incluses dans le système :

Ainsi, le triple de valeurs (1 ; 1 ; 1) est la solution de notre système. En vérifiant on s'assure que ces valeurs satisfont le système :

Problèmes de composition de systèmes d'équations linéaires

La tâche de composer des systèmes d'équations est résolue en entrant plusieurs variables. Ensuite, les équations sont compilées en fonction des conditions du problème. A partir des équations compilées, ils forment un système et le résolvent. Après avoir résolu le système, il faut vérifier si sa solution satisfait aux conditions du problème.

Problème 1. Une voiture Volga a quitté la ville pour se rendre à la ferme collective. Elle est revenue par une autre route, 5 km plus courte que la première. Au total, la voiture a parcouru 35 km aller-retour. Quelle est la longueur de chaque route en kilomètres ?

Solution

Laisser x— longueur de la première route, oui- durée de la seconde. Si la voiture a parcouru 35 km aller-retour, alors la première équation peut s'écrire x+ oui= 35. Cette équation décrit la somme des longueurs des deux routes.

On raconte que la voiture est revenue par une route plus courte de 5 km que la première. Alors la deuxième équation peut s’écrire x− oui= 5. Cette équation montre que la différence entre les longueurs de route est de 5 km.

Ou la deuxième équation peut s’écrire x= oui+5. Nous utiliserons cette équation.

Parce que les variables x Et oui dans les deux équations désignent le même nombre, alors nous pouvons former un système à partir d'elles :

Résolvons ce système en utilisant certaines des méthodes étudiées précédemment. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser la méthode de substitution, puisque dans la deuxième équation la variable x déjà exprimé.

Remplacez la deuxième équation par la première et trouvez oui

Remplaçons la valeur trouvée oui dans la deuxième équation x= oui+ 5 et on trouvera x

La longueur de la première route était indiquée via la variable x. Nous avons maintenant trouvé sa signification. Variable x est égal à 20. Cela signifie que la longueur de la première route est de 20 km.

Et la longueur de la deuxième route était indiquée par oui. La valeur de cette variable est 15. Cela signifie que la longueur de la deuxième route est de 15 km.

Vérifions. Tout d'abord, assurons-nous que le système est résolu correctement :

Vérifions maintenant si la solution (20 ; 15) satisfait aux conditions du problème.

On raconte que la voiture a parcouru au total 35 km aller-retour. On additionne les longueurs des deux routes et on s'assure que la solution (20 ; 15) satisfait cet état: 20 km + 15 km = 35 km

La condition suivante : la voiture est revenue par une autre route, 5 km plus courte que la première . On voit que la solution (20 ; 15) satisfait également à cette condition, puisque 15 km est plus court que 20 km par 5 km : 20 km − 15 km = 5 km

Lors de la composition d'un système, il est important que les variables représentent les mêmes nombres dans toutes les équations incluses dans ce système.

Notre système contient donc deux équations. Ces équations contiennent à leur tour des variables x Et oui, qui représentent les mêmes nombres dans les deux équations, à savoir des longueurs de route de 20 km et 15 km.

Problème 2. Des traverses en chêne et en pin ont été chargées sur la plateforme, soit 300 traverses au total. On sait que toutes les traverses en chêne pesaient 1 tonne de moins que toutes les traverses en pin. Déterminez combien il y avait de traverses en chêne et en pin séparément, si chaque traverse en chêne pesait 46 kg et chaque traverse en pin 28 kg.

Solution

Laisser x chêne et oui des traverses en pin ont été chargées sur la plate-forme. S’il y avait 300 dormeurs au total, alors la première équation peut s’écrire x+y = 300 .

Toutes les traverses en chêne pesaient 46 x kg, et ceux en pin pesaient 28 oui kg. Puisque les traverses en chêne pesaient 1 tonne de moins que les traverses en pin, la deuxième équation peut s'écrire sous la forme 28oui - 46x= 1000 . Cette équation montre que la différence de masse entre les traverses en chêne et en pin est de 1 000 kg.

Les tonnes étaient converties en kilogrammes puisque la masse des traverses de chêne et de pin était mesurée en kilogrammes.

En conséquence, nous obtenons deux équations qui forment le système

Résolvons ce système. Exprimons dans la première équation x. Le système prendra alors la forme :

Remplacez la première équation par la seconde et trouvez oui

Remplaçons oui dans l'équation x= 300 − oui et découvrez ce que c'est x

Cela signifie que 100 traverses en chêne et 200 traverses en pin ont été chargées sur la plate-forme.

Vérifions si la solution (100 ; 200) satisfait aux conditions du problème. Tout d'abord, assurons-nous que le système est résolu correctement :

On disait qu'il y avait 300 dormeurs au total. On additionne le nombre de traverses en chêne et en pin et on s'assure que la solution (100 ; 200) satisfait à cette condition : 100 + 200 = 300.

La condition suivante : toutes les traverses en chêne pesaient 1 tonne de moins que toutes les traverses en pin . On voit que la solution (100 ; 200) satisfait également à cette condition, puisque 46 × 100 kg de traverses en chêne sont plus légères que 28 × 200 kg de traverses en pin : 5 600 kg − 4 600 kg = 1 000 kg.

Problème 3. Nous avons pris trois morceaux d'alliage cuivre-nickel dans des rapports de 2 : 1, 3 : 1 et 5 : 1 en poids. Une pièce pesant 12 kg en a été fondue avec un rapport de teneur en cuivre et en nickel de 4 : 1. Trouvez la masse de chaque pièce originale si la masse de la première est le double de la masse de la seconde.

Où x* - une des solutions du système inhomogène (2) (par exemple (4)), (E−A+A) forme le noyau (espace nul) de la matrice UN.

Faisons une décomposition squelettique de la matrice (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Où Q n×n−r- matrice de classement (Q)=n−r, S n−r×n-matrice de rang (S)=n−r.

Alors (13) peut s’écrire sous la forme suivante :

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Où k=Sz.

Donc, procédure pour trouver une solution générale les systèmes d'équations linéaires utilisant une matrice pseudo-inverse peuvent être représentés sous la forme suivante :

1. Calcul de la matrice pseudoinverse UN + .
2. Nous calculons une solution particulière au système inhomogène d’équations linéaires (2) : x*=UN + b.
3. Nous vérifions la compatibilité du système. Pour ce faire, on calcule Les AA + b. Si Les AA + b≠b, alors le système est incohérent. Sinon, nous continuons la procédure.
4. Voyons ça E−A+A.
5. Faire une décomposition du squelette E−A + A=Q·S.
6. Construire une solution

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Résoudre un système d'équations linéaires en ligne

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