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Résolution d'équations différentielles en ligne sur le site Internet pour permettre aux étudiants de consolider la matière abordée. Et former vos compétences pratiques. Équations différentielles en ligne. Difurs en ligne, résolution de mathématiques en ligne. Solutions étape par étape aux problèmes mathématiques en ligne. L'ordre, ou degré, d'une équation différentielle est l'ordre le plus élevé des dérivées qu'elle contient. Equations différentielles en ligne. Le processus de résolution d’une équation différentielle est appelé intégration. Le problème de l'intégration d'une équation différentielle est considéré comme résolu si la recherche d'une fonction inconnue peut être conduite à la quadrature, que l'intégrale résultante soit exprimée ou non sous sa forme finale en termes de fonctions connues. Solution étape par étape d'équations différentielles en ligne. Toutes les équations différentielles peuvent être divisées en équations différentielles ordinaires (ODE), qui incluent uniquement les fonctions (et leurs dérivées) d'un argument, et en équations aux dérivées partielles (PDE), dans lesquelles les fonctions d'entrée dépendent de nombreuses variables. Equations différentielles en ligne. Il existe également des équations différentielles stochastiques (EDS) qui incluent des processus aléatoires. Solution étape par étape d'équations différentielles en ligne. Selon les combinaisons de dérivées, de fonctions et de variables indépendantes, les équations différentielles sont divisées en linéaires et non linéaires, à coefficients constants ou variables, homogènes ou inhomogènes. En raison de l'importance des applications dans classe séparée des équations aux dérivées partielles quasi-linéaires (linéaires par rapport aux dérivées supérieures) sont identifiées. Les solutions des équations différentielles sont divisées en solutions générales et particulières. Equations différentielles en ligne. Les solutions générales incluent des constantes indéterminées et pour les équations aux dérivées partielles - des fonctions arbitraires de variables indépendantes, qui peuvent être affinées à partir de conditions d'intégration supplémentaires ( conditions initiales pour les équations différentielles ordinaires, conditions initiales et aux limites pour les équations aux dérivées partielles). Solution étape par étape d'équations différentielles en ligne. Après avoir déterminé le type des fonctions constantes et indéfinies indiquées, les solutions deviennent particulières. La recherche de solutions aux équations différentielles ordinaires a conduit à l'établissement d'une classe de fonctions spéciales - des fonctions souvent rencontrées dans des applications qui ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires connues. Équations différentielles en ligne. Leurs propriétés ont été étudiées en détail, des tableaux de valeurs ont été établis, des connexions mutuelles ont été déterminées, etc. L'ensemble des nombres énumérés peut être étudié. La meilleure réponse au problème posé. Comment trouver, en première approximation, le vecteur sortant vers la région de convergence des équations différentielles sans connaître la limite supérieure trouvée. Le choix est évident pour les fonctions mathématiques croissantes. Il existe une méthode progressive au-dessus du niveau de la recherche. En vous alignant sur la condition initiale du problème, la résolution d'équations différentielles vous aidera à trouver une valeur choisie de manière unique. Il se peut qu'il puisse immédiatement identifier l'inconnu. Comme dans l'exemple précédent de spécification d'une solution à un problème mathématique, les équations différentielles linéaires sont la réponse à un problème spécifique posé dans un laps de temps spécifié. Le maintien de la procédure de recherche n'est pas déterminé localement. Il s'agira qu'un exemple soit trouvé pour chaque élève et que la solution des équations différentielles soit déterminée par la personne assignée au responsable à partir d'au moins deux valeurs. Prenez une fonction de valeur générale sur un certain segment et prévenez le long de quel axe il y aura un écart. En étudiant les équations différentielles en ligne, il est possible de montrer clairement l'importance du résultat, s'il est prévu par les conditions initiales. Découper une zone d'une définition de fonction est impossible, car il n'existe pas de définition de la tâche localement. Ayant été trouvée à partir d'un système d'équations, la réponse contient une variable calculée en dans un sens général, mais il sera naturellement possible de résoudre l'équation différentielle en ligne sans cette action pour déterminer ladite condition. À côté de l'intervalle du segment, vous pouvez voir comment la résolution d'équations différentielles en ligne peut faire avancer le résultat de la recherche dans une direction positive au moment de couper les connaissances des étudiants. Le meilleur ne vient pas toujours d’une approche commerciale généralement acceptée. Au niveau 2x, il est utile de revoir toutes les équations différentielles linéaires nécessaires dans une représentation naturelle, mais être capable de calculer la valeur numérique se traduira par une amélioration des connaissances. Selon toute méthode mathématique, il existe des équations différentielles qui sont présentées dans des expressions de nature différente, telles que homogènes ou complexes. Après avoir dépensé analyse générale En examinant la fonction, il deviendra clair que la résolution des différentielles comme un ensemble de possibilités représente une erreur évidente dans les valeurs. La vérité réside dans l’espace au-dessus des lignes d’abscisse. Quelque part dans le domaine de la définition d'une fonction complexe, à un moment donné de sa définition, les équations différentielles linéaires seront capables de présenter la réponse sous forme analytique. c'est-à-dire dans vue générale comme l'essence. Rien ne change lors du changement de variable. Cependant, vous devez examiner la réponse avec un intérêt particulier. En fin de compte, la calculatrice modifie essentiellement la relation, c'est-à-dire la façon dont la solution des équations différentielles est proportionnelle à la valeur globale et est désignée dans les limites de la solution souhaitée. Dans certains cas, un avertissement d’erreur massif est inévitable. Implémentation en ligne d'équations différentielles idée générale sur la tâche, mais en fin de compte, vous devez fournir le plus rapidement possible aspects positifs produit vectoriel. En mathématiques, les cas d’idées fausses en théorie des nombres ne sont pas rares. Un contrôle sera certainement nécessaire. Naturellement, il vaut mieux donner ce droit à des professionnels dans leur domaine et ils vous aideront à résoudre l'équation différentielle en ligne, car leur expérience est colossale et positive. La différence sur les surfaces des figures et l'aire est telle que ce n'est pas la résolution d'équations différentielles en ligne qui permettra de voir, mais l'ensemble des objets non sécants est tel que la droite est parallèle à l'axe. En conséquence, vous pouvez obtenir deux fois plus de valeurs. Bien que cela ne soit pas explicite, notre compréhension de l'exactitude de la notation formelle implique des équations différentielles linéaires à la fois dans la zone de visualisation et en relation avec la surestimation délibérée de la qualité du résultat. Une table ronde sur un sujet d’intérêt pour tous les étudiants est revue à plusieurs reprises. Tout au long de l'étude du cours complet, nous affinerons nos attention particulière sur les équations différentielles et les domaines d'études scientifiques connexes, si cela ne contredit pas la vérité. De nombreuses étapes peuvent être évitées au début du voyage. Si la résolution d'équations différentielles est encore fondamentalement quelque chose de nouveau pour les étudiants, alors l'ancien n'est pas du tout oublié, mais progresse vers le futur avec grande vitesse développement. Initialement, les conditions du problème en mathématiques divergent, mais cela est indiqué dans le paragraphe de droite. Une fois écoulé le temps spécifié par définition, la possibilité d'un résultat dépendant proportionnel sur différents plans de mouvement vectoriel ne peut être exclue. Un cas aussi simple peut être corrigé de la même manière que les équations différentielles linéaires sont décrites sur une calculatrice sous forme générale, ce sera plus rapide et le décalage des calculs ne conduira pas à une opinion erronée. Seuls cinq cas cités selon la théorie peuvent repousser les limites de ce qui se passe. Notre solution d'équations différentielles vous aidera à calculer manuellement la valeur en nombres dès les premières étapes de décomposition de l'espace fonctionnel. Aux bons endroits il faut représenter le point de contact des quatre lignes en sens général. Mais si vous devez déplacer la tâche, il sera alors facile d’assimiler la complexité. Les données initiales sont suffisantes pour concevoir la jambe adjacente et les équations différentielles en ligne semblent alignées à gauche et la surface est dirigée d'un côté vers le rotor du vecteur. Au-dessus de la limite supérieure, des valeurs numériques au-delà de la condition désignée sont possibles. Il est possible de prendre en compte la formule mathématique et de résoudre l'équation différentielle en ligne à trois inconnues dans la valeur générale de la proportion. La méthode de calcul locale est reconnue valable. Le système de coordonnées est rectangulaire dans le mouvement relatif du plan. La solution générale des équations différentielles en ligne nous permet de tirer sans ambiguïté une conclusion en faveur d'un parcours informatique à travers les définitions matricielles sur toute la droite située au-dessus du graphique d'une fonction explicitement spécifiée. La solution est clairement visible si vous appliquez le vecteur mouvement au point de contact des trois hémisphères. Le cylindre est obtenu en faisant tourner le rectangle autour du côté et des équations différentielles linéaires pourront montrer la direction du mouvement du point selon les expressions données de sa loi du mouvement. Les données initiales sont correctes et le problème mathématique est interchangeable sous une condition simple. Cependant, en raison des circonstances, en raison de la complexité de la sous-tâche posée, les équations différentielles simplifient le processus de calcul des espaces numériques au niveau de l'espace tridimensionnel. Il est facile de prouver le contraire, mais cela peut être évité, comme dans l’exemple donné. En mathématiques supérieures, les points suivants sont fournis : lorsqu'un problème est réduit à une forme simplifiée, le plus grand effort possible de la part des étudiants doit y être appliqué. Les lignes superposées les unes aux autres sont prises en compte. Concernant la résolution différentielle, on reprend encore l'avantage de ladite méthode sur une ligne courbe. Si vous reconnaissez d’abord quelque chose qui n’est pas ce dont vous avez besoin, la formule mathématique créera un nouveau sens pour l’expression. L'objectif est l'approche optimale pour résoudre les tâches fixées par le professeur. Vous ne devez pas supposer que les équations différentielles linéaires sous une forme simplifiée dépasseront le résultat attendu. Nous plaçons trois vecteurs sur une surface de composition finie. orthogonaux les uns aux autres. Calculons le produit. Faisons l'addition plus symboles et écrivez toutes les variables de la fonction à partir de l’expression résultante. Il y a une proportion. Plusieurs actions précédant la fin du calcul ne donneront pas immédiatement une réponse univoque à la solution des équations différentielles, mais seulement après l'écoulement du temps imparti le long de l'axe des ordonnées. À gauche du point de discontinuité, spécifié implicitement par la fonction, nous traçons un axe orthogonal au meilleur vecteur croissant et plaçons des équations différentielles en ligne le long de la plus petite valeur limite de la face inférieure de l'objet mathématique. Nous ajoutons l’argument supplémentaire dans la zone de rupture de fonction. À droite des points où se trouve la ligne courbe, les formules de réduction à un dénominateur commun que nous avons écrites vous aideront à résoudre l'équation différentielle en ligne. Nous adopterons la seule approche correcte qui mettra en lumière les problèmes non résolus de la théorie à la pratique, dans le cas général sans ambiguïté. Lignes dans la direction des coordonnées points donnés Nous n'avons jamais fermé la position extrême du carré, mais résoudre des équations différentielles en ligne aidera les étudiants, nous et simplement les débutants dans ce domaine à étudier les mathématiques. Il s'agit de sur la possibilité de substituer un argument de valeur dans toutes les lignes significatives d'un champ. En principe, comme on pouvait s’y attendre, nos équations différentielles linéaires sont isolées en un seul concept de signification donnée. Pour aider les étudiants, l'une des meilleures calculatrices parmi les services similaires. Suivez tous les cours et choisissez celui qui vous convient le mieux.

=

Équation différentielle (DE) - c'est l'équation,
où sont les variables indépendantes, y est la fonction et sont les dérivées partielles.

Équation différentielle ordinaire est une équation différentielle qui n'a qu'une seule variable indépendante, .

Équation aux dérivées partielles est une équation différentielle qui a deux ou plusieurs variables indépendantes.

Les mots « ordinaires » et « dérivées partielles » peuvent être omis s’il est clair quelle équation est considérée. Dans ce qui suit, des équations différentielles ordinaires sont considérées.

Ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée.

Voici un exemple d’équation du premier ordre :

Voici un exemple d’équation du quatrième ordre :

Parfois, une équation différentielle du premier ordre s’écrit en termes de différentielles :

Dans ce cas, les variables x et y sont égales. Autrement dit, la variable indépendante peut être x ou y.
Dans le premier cas, y est fonction de x.
.
Dans le deuxième cas, x est fonction de y.
.

Si nécessaire, nous pouvons réduire cette équation à une forme qui inclut explicitement la dérivée y′.

En divisant cette équation par dx on obtient : Puisque et , il s'ensuit que Résolution d'équations différentielles

• Dérivés de

  fonctions élémentaires sont exprimés à travers des fonctions élémentaires. Les intégrales de fonctions élémentaires ne sont souvent pas exprimées en termes de fonctions élémentaires. Avec les équations différentielles, la situation est encore pire. Grâce à la solution, vous pouvez obtenir : dépendance explicite d'une fonction à une variable ; Résoudre une équation différentielle

• est la fonction y = u (x), qui est défini, n fois différentiable, et .

  dépendance implicite sous la forme d'une équation de type Φ (x, y) = 0

• ou des systèmes d'équations;

  Intégrale d'une équation différentielle est une solution d'une équation différentielle qui a une forme implicite.

• dépendance exprimée à travers les fonctions élémentaires et leurs intégrales ;

Résoudre une équation différentielle en quadratures - il s'agit de trouver une solution sous la forme d'une combinaison de fonctions élémentaires et de leurs intégrales. la solution ne peut pas être exprimée par des fonctions élémentaires.

Puisque la résolution d'équations différentielles revient au calcul d'intégrales, la solution comprend un ensemble de constantes C 1, C 2, C 3, ... C n.
Le nombre de constantes est égal à l'ordre de l'équation.
Intégrale partielle d'une équation différentielle

est l'intégrale générale pour des valeurs données des constantes C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Littérature utilisée :

V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, "LKI", 2015. N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003. Rappelons la tâche à laquelle nous sommes confrontés lors de la recherche d'intégrales définies : ou dy = f(x)dx. Sa solution : et cela revient à calculer

intégrale indéfinie . En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction oui ou dy = f(x)dx. Sa solution :, si l'on sait qu'il satisfait une relation de la forme Cette relation relie la variable indépendante x .

, fonction inconnue .

et ses dérivés à hauteur de l'ordre

n

inclus, sont appelés

Une équation différentielle comprend une fonction sous le signe des dérivées (ou différentielles) d'un ordre ou d'un autre. L'ordre le plus élevé est appelé ordre (9.1)

Une fonction qui satisfait une équation différentielle donnée est appelée sa solution , ou intégrale . Le résoudre, c’est trouver toutes ses solutions. Si pour la fonction requise ou dy = f(x)dx. Sa solution : réussi à obtenir une formule qui donne toutes les solutions, alors on dit qu'on l'a trouvée solution générale, ou intégrale générale .

Solution générale contient Cette relation relie la variable indépendante constantes arbitraires et on dirait

Si l’on obtient une relation qui concerne x, y Et Cette relation relie la variable indépendante constantes arbitraires, sous une forme non autorisée par rapport à ou dy = f(x)dx. Sa solution : -

alors une telle relation est appelée l'intégrale générale de l'équation (9.1).

Problème de Cauchy

Chaque solution spécifique, c'est-à-dire chaque fonction spécifique qui satisfait une équation différentielle donnée et ne dépend pas de constantes arbitraires, est appelée une solution particulière. , ou une intégrale partielle. Pour obtenir des solutions particulières (intégrales) à partir de solutions générales, les constantes doivent recevoir des valeurs numériques spécifiques.

Le graphique d’une solution particulière est appelé courbe intégrale. La solution générale, qui contient toutes les solutions partielles, est une famille de courbes intégrales. Pour une équation du premier ordre cette famille dépend d'une constante arbitraire, pour l'équation Cette relation relie la variable indépendante-ième commande - à partir de Cette relation relie la variable indépendante constantes arbitraires.

Le problème de Cauchy consiste à trouver une solution particulière à l'équation Cette relation relie la variable indépendante-ième ordre, satisfaisant Cette relation relie la variable indépendante conditions initiales :

par lequel n constantes c 1, c 2,..., c n sont déterminées.

équations différentielles du 1er ordre

Pour une équation différentielle du 1er ordre non résolue par rapport à la dérivée, elle a la forme

ou pour permis relativement

Exemple 3.46. Trouver la solution générale de l'équation

Solution. En intégrant, on obtient

où C est une constante arbitraire. Si nous attribuons des valeurs numériques spécifiques à C, nous obtenons des solutions particulières, par exemple,

Exemple 3.47. Considérons une somme d'argent croissante déposée à la banque sous réserve de l'accumulation de 100 r intérêts composés par an. Soit Yo le montant d'argent initial, et Yx - à la fin . En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction années. Si les intérêts sont calculés une fois par an, nous obtenons

où x = 0, 1, 2, 3,.... Lorsque les intérêts sont calculés deux fois par an, on obtient

où x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Lors du calcul des intérêts Cette relation relie la variable indépendante une fois par an et si x prend les valeurs séquentielles 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., puis

Désignez 1/n = h, alors l’égalité précédente ressemblera à :

Avec un grossissement illimité Cette relation relie la variable indépendante(à ) à la limite, nous arrivons au processus d'augmentation du montant d'argent avec accumulation continue d'intérêts :

Il est donc clair qu'avec un changement continu . En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction la loi de variation de la masse monétaire est exprimée par une équation différentielle du premier ordre. Où Y x est une fonction inconnue, . En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction- variable indépendante, r- constante. Résolvons cette équation, pour ce faire nous la réécrivons comme suit :

où , ou , où P désigne e C .

A partir des conditions initiales Y(0) = Yo, on trouve P : Yo = Pe o, d'où, Yo = P. La solution a donc la forme :

Considérons le deuxième problème économique. Les modèles macroéconomiques sont également décrits par des équations différentielles linéaires du 1er ordre, décrivant les changements de revenu ou de production Y en fonction du temps.

Exemple 3.48. Supposons que le revenu national Y augmente à un taux proportionnel à sa valeur :

et laissez le déficit des dépenses publiques être directement proportionnel au revenu Y avec le coefficient de proportionnalité q. Un déficit de dépenses entraîne une augmentation de la dette nationale D :

Conditions initiales Y = Yo et D = Do à t = 0. D'après la première équation Y= Yoe kt. En remplaçant Y, nous obtenons dD/dt = qYoe kt . La solution générale a la forme
D = (q/ k) Yoe kt +С, où С = const, qui est déterminé à partir des conditions initiales. En substituant les conditions initiales, nous obtenons Do = (q/ k)Yo + C. Donc, finalement,

D = Faire +(q/ k)Yo (e kt -1),

cela montre que la dette nationale augmente au même rythme relatif k, la même chose que le revenu national.

Considérons les équations différentielles les plus simples Cette relation relie la variable indépendanteème ordre, ce sont des équations de la forme

Sa solution générale peut être obtenue en utilisant Cette relation relie la variable indépendante fois les intégrations.

Exemple 3.49. Prenons l'exemple y """ = cos x.

Solution. En intégrant, on trouve

La solution générale a la forme

Équations différentielles linéaires

Ils sont largement utilisés en économie ; considérons la résolution de telles équations. Si (9.1) a la forme :

alors on l'appelle linéaire, où рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - fonctions spécifiées. Si f(x) = 0, alors (9.2) est dit homogène, sinon il est dit inhomogène. La solution générale de l'équation (9.2) est égale à la somme de l'une de ses solutions particulières y(x) et la solution générale de l'équation homogène qui lui correspond :

Si les coefficients р o (x), р 1 (x),..., р n (x) sont constants, alors (9.2)

(9.4) est appelée une équation différentielle linéaire à coefficients d'ordre constants Cette relation relie la variable indépendante .

Car (9.4) a la forme :

Sans perte de généralité, on peut poser p o = 1 et écrire (9.5) sous la forme

Nous chercherons une solution (9.6) sous la forme y = e kx, où k est une constante. Nous avons: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . En substituant les expressions résultantes dans (9.6), nous aurons :

(9.7) oui équation algébrique, son inconnue est k, cela s’appelle caractéristique. L'équation caractéristique a un degré Cette relation relie la variable indépendante Et Cette relation relie la variable indépendante racines, parmi lesquelles elles peuvent être à la fois multiples et complexes. Soient k 1 , k 2 ,..., k n réels et distincts, alors - solutions particulières (9.7), et générales

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants :

Son équation caractéristique a la forme

(9.9)

son discriminant D = p 2 - 4q, selon le signe de D, trois cas sont possibles.

1. Si D>0, alors les racines k 1 et k 2 (9.9) sont réelles et différentes, et la solution générale a la forme :

Solution.Équation caractéristique : k 2 + 9 = 0, d'où k = ± 3i, a = 0, b = 3, la solution générale a la forme :

y = C 1 cos 3x + C 2 péché 3x.

Des équations différentielles linéaires du 2ème ordre sont utilisées lors de l'étude d'un modèle économique de type Web avec des stocks de biens, où le taux de variation du prix P dépend de la taille des stocks (voir paragraphe 10). Dans le cas où l'offre et la demande sont fonctions linéaires les prix, c'est-à-dire

a est une constante qui détermine le taux de réaction, alors le processus de changement de prix est décrit par l'équation différentielle :

Pour une solution particulière, nous pouvons prendre une constante

prix d’équilibre significatif. Déviation satisfait l'équation homogène

(9.10)

L'équation caractéristique sera la suivante :

Dans le cas où le terme est positif. Notons . Les racines de l'équation caractéristique k 1,2 = ± i w, donc la solution générale (9.10) a la forme :

où C et sont des constantes arbitraires, elles sont déterminées à partir des conditions initiales. Nous avons obtenu la loi de variation des prix dans le temps :

Entrez votre équation différentielle, l'apostroa "" est utilisée pour saisir la dérivée, appuyez sur Soumettre pour obtenir la solution

Souvent juste une mention équations différentielles met les étudiants mal à l’aise. Pourquoi cela se produit-il ? Le plus souvent, parce que lors de l'étude des bases du matériel, une lacune dans les connaissances apparaît, à cause de laquelle une étude plus approfondie des difurs devient simplement une torture. On ne sait pas quoi faire, comment décider, par où commencer ?

Cependant, nous allons essayer de vous montrer que les difficultés ne sont pas aussi difficiles qu'il y paraît.

Concepts de base de la théorie des équations différentielles

Depuis l'école, nous connaissons les équations les plus simples dans lesquelles nous devons trouver l'inconnue x. Essentiellement équations différentielles seulement légèrement différent d'eux - au lieu d'une variable X tu dois y trouver une fonction y(x) , ce qui transformera l’équation en une identité.

D équations différentielles revêtent une grande importance pratique. Il ne s’agit pas de mathématiques abstraites sans rapport avec le monde qui nous entoure. De nombreux processus naturels réels sont décrits à l’aide d’équations différentielles. Par exemple, les vibrations d'une corde, le mouvement d'un oscillateur harmonique, l'utilisation d'équations différentielles dans des problèmes de mécanique, permettent de trouver la vitesse et l'accélération d'un corps. Aussi DU sont largement utilisés en biologie, en chimie, en économie et dans de nombreuses autres sciences.

Équation différentielle (DU) est une équation contenant les dérivées de la fonction y(x), la fonction elle-même, des variables indépendantes et d'autres paramètres dans diverses combinaisons.

Il existe de nombreux types d'équations différentielles : équations différentielles ordinaires, linéaires et non linéaires, homogènes et inhomogènes, équations différentielles du premier ordre et du premier ordre, équations aux dérivées partielles, etc.

La solution d’une équation différentielle est une fonction qui la transforme en identité. Il existe des solutions générales et particulières de la télécommande.

Une solution générale d'une équation différentielle est un ensemble général de solutions qui transforment l'équation en une identité. Une solution partielle d'une équation différentielle est une solution qui satisfait des conditions supplémentaires spécifiées initialement.

L'ordre de l'équation différentielle est déterminé ordre le plus élevé dérivés qui y sont inclus.

Équations différentielles ordinaires

Équations différentielles ordinaires sont des équations contenant une variable indépendante.

Considérons l'équation différentielle ordinaire la plus simple du premier ordre. Cela ressemble à :

Une telle équation peut être résolue en intégrant simplement son membre de droite.

Exemples de telles équations :

Équations séparables

En général, ce type d'équation ressemble à ceci :

Voici un exemple :

Lors de la résolution d'une telle équation, vous devez séparer les variables, en les mettant sous la forme :

Après cela, il reste à intégrer les deux parties et à obtenir une solution.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

De telles équations ressemblent à :

Ici p(x) et q(x) sont quelques fonctions de la variable indépendante, et y=y(x) est la fonction souhaitée. Voici un exemple d'une telle équation :

Lors de la résolution d'une telle équation, ils utilisent le plus souvent la méthode consistant à faire varier une constante arbitraire ou représentent la fonction souhaitée comme un produit de deux autres fonctions y(x)=u(x)v(x).

Pour résoudre de telles équations, une certaine préparation est nécessaire et il sera assez difficile de les prendre « d'un coup d'œil ».

Un exemple de résolution d'une équation différentielle avec des variables séparables

Nous avons donc examiné les types de télécommandes les plus simples. Voyons maintenant la solution à l'un d'entre eux. Soit une équation à variables séparables.

Tout d’abord, réécrivons la dérivée sous une forme plus familière :

Ensuite, nous divisons les variables, c'est-à-dire que dans une partie de l'équation nous collectons tous les « I » et dans l'autre - les « X » :

Reste maintenant à intégrer les deux parties :

Nous intégrons et obtenons une solution générale à cette équation :

Bien entendu, résoudre des équations différentielles est une sorte d’art. Il faut être capable de comprendre à quel type appartient une équation, et aussi apprendre à voir quelles transformations doivent être effectuées avec elle pour conduire à une forme ou une autre, sans parler simplement de la capacité de différenciation et d'intégration. Et pour réussir à résoudre le DE, il faut de la pratique (comme dans tout). Et si tu as à l'heure actuelle vous n'avez pas le temps de comprendre comment les équations différentielles sont résolues, ou le problème de Cauchy vous est resté comme un os dans la gorge, ou vous ne savez pas, contactez nos auteurs. Dans un court laps de temps, nous vous fournirons une solution prête à l'emploi et détaillée, dont vous pourrez comprendre les détails à tout moment qui vous convient. En attendant, nous vous proposons de regarder une vidéo sur le thème « Comment résoudre des équations différentielles » :

Instructions

Si l'équation se présente sous la forme : dy/dx = q(x)/n(y), classez-les comme équations différentielles à variables séparables. Ils peuvent être résolus en écrivant la condition sous forme différentielle comme suit : n(y)dy = q(x)dx. Intégrez ensuite les deux côtés. Dans certains cas, la solution s’écrit sous forme d’intégrales tirées de fonctions connues. Par exemple, dans le cas de dy/dx = x/y, on obtient q(x) = x, n(y) = y. Écrivez-le sous la forme ydy = xdx et intégrez-le. Cela devrait être y^2 = x^2 + c.

Vers linéaire équations Reliez les équations au « premier ». Une fonction inconnue avec ses dérivées n'entre dans une telle équation qu'au premier degré. Linéaire a la forme dy/dx + f(x) = j(x), où f(x) et g(x) sont des fonctions dépendant de x. La solution est écrite en utilisant des intégrales tirées de fonctions connues.

Veuillez noter que de nombreuses équations différentielles sont des équations du second ordre (contenant des dérivées secondes). Par exemple, l'équation du mouvement harmonique simple s'écrit sous la forme générale : md 2x/dt 2 = –kx. De telles équations ont, en , des solutions particulières. L’équation du mouvement harmonique simple est un exemple de quelque chose d’assez important : des équations différentielles linéaires qui ont un coefficient constant.

Si dans les conditions de la tâche il n'y a qu'un seul équation linéaire, ce qui signifie que vous avez reçu des conditions supplémentaires grâce auxquelles vous pouvez trouver une solution. Lisez attentivement le problème pour trouver ces conditions. Si variables x et y indiquent la distance, la vitesse, le poids - n'hésitez pas à définir la limite x≥0 et y≥0. Il est fort possible que x ou y cache le nombre de pommes, etc. – alors les valeurs ne peuvent être que . Si x est l'âge du fils, il est clair qu'il ne peut pas être plus âgé que mon père, indiquez-le donc dans les conditions de la tâche.

Sources :

• comment résoudre une équation avec une variable

Les problèmes de calcul différentiel et intégral sont éléments importants consolidation de la théorie analyse mathématique, une branche des mathématiques supérieures étudiée dans les universités. Différentiel équation résolu par la méthode d’intégration.

Instructions

Le calcul différentiel explore les propriétés de . Et vice versa, l'intégration d'une fonction permet des propriétés données, c'est-à-dire dérivées ou différentielles d'une fonction pour la trouver elle-même. C'est la solution de l'équation différentielle.

Tout est une relation entre une quantité inconnue et des données connues. Dans le cas d'une équation différentielle, le rôle de l'inconnue est joué par une fonction, et le rôle des quantités connues est joué par ses dérivées. De plus, la relation peut contenir une variable indépendante : F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, où x est une inconnue variable, y (x) est la fonction à déterminer, l'ordre de l'équation est l'ordre maximum de la dérivée (n).

Une telle équation est appelée équation différentielle ordinaire. Si la relation contient plusieurs variables indépendantes et dérivées partielles (différentielles) de la fonction par rapport à ces variables, alors l'équation est appelée équation aux dérivées partielles et a la forme : x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , où z(x, y) est la fonction requise.

Ainsi, pour apprendre à résoudre des équations différentielles, vous devez être capable de trouver des primitives, c'est-à-dire résoudre le problème inverse de la différenciation. Par exemple : Résolvez l’équation du premier ordre y’ = -y/x.

SolutionRemplacez y' par dy/dx : dy/dx = -y/x.

Réduisez l’équation à une forme pratique pour l’intégration. Pour ce faire, multipliez les deux côtés par dx et divisez par y:dy/y = -dx/x.

Intégrer : ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Cette solution s’appelle l’équation différentielle générale. C est une constante dont l'ensemble des valeurs détermine l'ensemble des solutions de l'équation. Pour toute valeur spécifique de C, la solution sera unique. Cette solution est une solution partielle de l'équation différentielle.

Résolution de la plupart des équations d'ordre supérieur degrés n'a pas de formule claire pour trouver les racines carrées équations. Cependant, il existe plusieurs méthodes de réduction qui permettent de transformer une équation de degré supérieur en une forme plus visuelle.

Instructions

La méthode la plus courante pour résoudre des équations de degré supérieur est le développement. Cette approche est une combinaison de sélection de racines entières, de diviseurs du terme libre et de division ultérieure du polynôme général sous la forme (x – x0).

Par exemple, résolvez l'équation x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Solution : Le terme libre de ce polynôme est -3, donc ses diviseurs entiers peuvent être les nombres ±1 et ±3. Remplacez-les un par un dans l’équation et découvrez si vous obtenez l’identité : 1 : 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Deuxième racine x = -1. Divisez par l'expression (x + 1). Notez l'équation résultante (x - 1) · (x + 1) · (x² + x + 3) = 0. Le degré a été réduit à la seconde, par conséquent, l'équation peut avoir deux racines supplémentaires. Pour les trouver, résolvez l’équation quadratique : x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Le discriminant est une valeur négative, ce qui signifie que l’équation n’a plus de véritables racines. Trouvez les racines complexes de l'équation : x = (-2 + i·√11)/2 et x = (-2 – i·√11)/2.

Une autre méthode pour résoudre une équation de degré supérieur consiste à modifier les variables pour la rendre quadratique. Cette approche est utilisée lorsque toutes les puissances de l'équation sont paires, par exemple : x^4 – 13 x² + 36 = 0

Trouvez maintenant les racines de l'équation originale : x1 = √9 = ±3 ; x2 = √4 = ±2.

Astuce 10 : Comment déterminer les équations redox

Une réaction chimique est un processus de transformation de substances qui se produit avec une modification de leur composition. Les substances qui réagissent sont appelées substances initiales, et celles qui se forment à la suite de ce processus sont appelées produits. Il arrive que lors d'une réaction chimique, les éléments qui composent les substances de départ changent d'état d'oxydation. Autrement dit, ils peuvent accepter les électrons de quelqu'un d'autre et céder les leurs. Dans les deux cas, leur charge change. De telles réactions sont appelées réactions redox.