Thème 2. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES LINÉAIRES.

Notions de base.

Définition 1. Système m équations linéaires Avec n les inconnues sont un système de la forme :

où et sont des nombres.

Définition 2. Une solution du système (I) est un ensemble d'inconnues dans lequel chaque équation de ce système devient une identité.

Définition 3. Le système (I) est appelé articulation, s'il a au moins une solution et non conjoint, s'il n'a pas de solutions. Le système commun est appelé certain, s'il a une solution unique, et incertain sinon.

Définition 4. Équation de la forme

appelé zéro, et l'équation est de la forme

appelé incompatible. Évidemment, un système d’équations contenant une équation incompatible est incohérent.

Définition 5. Deux systèmes d'équations linéaires sont appelés équivalent, si toute solution d’un système sert de solution à un autre et, inversement, toute solution du deuxième système est une solution du premier.

Représentation matricielle d'un système d'équations linéaires.

Considérons le système (I) (voir §1).

Notons :

Matrice de coefficients pour les inconnues

Matrice - colonne de termes gratuits

Matrice – colonne d'inconnues

.

Définition 1. La matrice s'appelle matrice principale du système(I), et la matrice est la matrice étendue du système (I).

Par la définition de l'égalité des matrices, le système (I) correspond à l'égalité matricielle :

.

Le membre droit de cette égalité par définition du produit de matrices ( voir définition 3 § 5 chapitre 1) peut être factorisé :

, c'est-à-dire

Égalité (2) appelé notation matricielle du système (I).

Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Laisser entrer le système (I) (voir §1) m=n, c'est-à-dire le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et la matrice principale du système est non singulière, c'est-à-dire . Alors le système (I) du §1 a une solution unique

où Δ = dét A appelé principal déterminant du système(Je), Δ je est obtenu à partir du déterminant Δ en remplaçant jeème colonne à une colonne de membres libres du système (I).

Exemple : Résolvez le système en utilisant la méthode de Cramer :

.

Par formules (3) .

On calcule les déterminants du système :

,

,

.

Pour obtenir le déterminant, nous avons remplacé la première colonne du déterminant par une colonne de termes libres ; en remplaçant la 2ème colonne du déterminant par une colonne de termes libres, on obtient ; de la même manière, en remplaçant la 3ème colonne du déterminant par une colonne de termes libres, on obtient . Solution système :

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide matrice inverse.

Laisser entrer le système (I) (voir §1) m=n et la matrice principale du système est non singulière. Écrivons le système (I) sous forme matricielle ( voir §2):

parce que matrice UN non singulier, alors il a une matrice inverse ( voir Théorème 1 §6 du Chapitre 1). Multiplions les deux côtés de l'égalité (2) à la matrice, alors

Par définition d'une matrice inverse. De l'égalité (3) nous avons

Résoudre le système en utilisant la matrice inverse

.

Notons

Dans l'exemple (§ 3) nous avons calculé le déterminant, donc la matrice UN a une matrice inverse. Puis en effet (4) , c'est-à-dire

. (5)

Trouvons la matrice ( voir §6 chapitre 1)

, , ,

, , ,

,

.

Méthode Gauss.

Soit un système d'équations linéaires :

. (JE)

Il faut trouver toutes les solutions du système (I) ou s'assurer que le système est incohérent.

Définition 1.Appelons cela une transformation élémentaire du système(je) l'un des trois actions:

1) barrer l'équation zéro ;

2) ajouter aux deux côtés de l'équation les parties correspondantes d'une autre équation, multipliées par le nombre l ;

3) échanger les termes dans les équations du système afin que les inconnues avec les mêmes nombres dans toutes les équations occupent les mêmes places, c'est-à-dire si, par exemple, dans la 1ère équation nous avons changé les 2ème et 3ème termes, alors il faut faire de même dans toutes les équations du système.

La méthode de Gauss consiste dans le fait que le système (I) à l'aide de transformations élémentaires est réduit à un système équivalent dont la solution est trouvée directement ou son insolvabilité est établie.

Comme décrit au §2, le système (I) est uniquement déterminé par sa matrice étendue et tout transformation élémentaire Le système (I) correspond à la transformation élémentaire de la matrice étendue :

.

La transformation 1) correspond à la suppression de la ligne zéro dans la matrice, la transformation 2) équivaut à ajouter une autre ligne à la ligne correspondante de la matrice, multipliée par le nombre l, la transformation 3) équivaut à réorganiser les colonnes de la matrice.

Il est aisé de voir qu'au contraire, à chaque transformation élémentaire de la matrice correspond une transformation élémentaire du système (I). Pour cette raison, au lieu d’opérations avec le système (I), nous travaillerons avec la matrice étendue de ce système.

Dans la matrice, la 1ère colonne est constituée de coefficients pour x1, 2ème colonne - à partir des coefficients pour x2 etc. Si les colonnes sont réorganisées, il convient de tenir compte du fait que cette condition n'est pas respectée. Par exemple, si nous échangeons les 1ère et 2ème colonnes, alors la 1ère colonne contiendra désormais les coefficients pour x2, et dans la 2ème colonne - les coefficients pour x1.

Nous allons résoudre le système (I) en utilisant la méthode gaussienne.

1. Rayez toutes les lignes nulles de la matrice, le cas échéant (c'est-à-dire rayez toutes les équations nulles du système (I).

2. Vérifions s'il existe parmi les lignes de la matrice une ligne dans laquelle tous les éléments sauf le dernier sont égaux à zéro (appelons une telle ligne incohérente). Évidemment, une telle droite correspond à une équation incohérente dans le système (I), donc le système (I) n'a pas de solutions et c'est là que se termine le processus.

3. Que la matrice ne contienne pas de lignes incohérentes (le système (I) ne contient pas équations incohérentes). Si un 11 =0, puis on trouve dans la 1ère ligne un élément (sauf le dernier) autre que zéro et on réorganise les colonnes pour que dans la 1ère ligne il n'y ait pas de zéro à la 1ère place. Nous allons maintenant supposer cela (c'est-à-dire que nous échangerons les termes correspondants dans les équations du système (I)).

4. Multipliez la 1ère ligne par et additionnez le résultat avec la 2ème ligne, puis multipliez la 1ère ligne par et additionnez le résultat avec la 3ème ligne, etc. Évidemment, ce processus équivaut à éliminer l'inconnu x1 de toutes les équations du système (I), sauf la 1ère. Dans la nouvelle matrice, nous obtenons des zéros dans la 1ère colonne sous l'élément un 11:

.

5. Rayons toutes les lignes nulles de la matrice, s'il y en a, et vérifions s'il y a une ligne incohérente (s'il y en a une, alors le système est incohérent et la solution s'arrête là). Vérifions s'il y aura une 22 / =0, si oui, alors on retrouve dans la 2ème ligne un élément autre que zéro et on réorganise les colonnes pour que . Ensuite, multipliez les éléments de la 2ème ligne par et additionner avec les éléments correspondants de la 3ème ligne, puis - les éléments de la 2ème ligne et additionner avec les éléments correspondants de la 4ème ligne, etc., jusqu'à obtenir des zéros sous un 22/

.

Les actions entreprises équivalent à éliminer l'inconnu x2 de toutes les équations du système (I), à l'exception de la 1ère et de la 2ème. Puisque le nombre de lignes est fini, donc après un nombre fini d'étapes, nous obtenons que soit le système est incohérent, soit nous nous retrouvons avec une matrice d'étapes ( voir définition 2 §7 chapitre 1) :

,

Écrivons le système d'équations correspondant à la matrice . Ce système est équivalent au système (I)

.

De la dernière équation que nous exprimons ; remplacer dans l'équation précédente, trouver, etc., jusqu'à ce que nous obtenions .

Remarque 1. Ainsi, lors de la résolution du système (I) par la méthode gaussienne, on arrive à l'un des cas suivants.

1. Le système (I) est incohérent.

2. Le système (I) a une solution unique si le nombre de lignes de la matrice est égal au nombre d'inconnues ().

3. Le système (I) a un nombre infini de solutions si le nombre de lignes de la matrice moins de nombre inconnu().

D’où le théorème suivant.

Théorème. Un système d’équations linéaires est soit incohérent, soit possède une solution unique, soit possède un nombre infini de solutions.

Exemples. Résolvez le système d'équations à l'aide de la méthode de Gauss ou prouvez son incohérence :

b) ;

a) Réécrivons le système donné sous la forme :

.

Nous avons interverti les 1ère et 2ème équations du système d'origine pour simplifier les calculs (au lieu de fractions, nous n'opérerons qu'avec des entiers en utilisant ce réarrangement).

Créons une matrice étendue :

.

Il n'y a pas de lignes nulles ; il n'y a pas de lignes incompatibles, ; Excluons la 1ère inconnue de toutes les équations du système sauf la 1ère. Pour cela, multipliez les éléments de la 1ère ligne de la matrice par « -2 » et additionnez-les avec les éléments correspondants de la 2ème ligne, ce qui équivaut à multiplier la 1ère équation par « -2 » et à l'ajouter avec la 2ème équation. Ensuite on multiplie les éléments de la 1ère ligne par « -3 » et on les additionne avec les éléments correspondants de la troisième ligne, soit Multiplions la 2ème équation du système donné par « -3 » et ajoutons-la avec la 3ème équation. Nous obtenons

.

La matrice correspond à un système d'équations). - (voir définition 3§7 chapitre 1).

Les équations en général, les équations algébriques linéaires et leurs systèmes, ainsi que les méthodes pour les résoudre, occupent une place particulière en mathématiques, tant théoriques qu'appliquées.

Cela est dû au fait que la grande majorité des problèmes physiques, économiques, techniques et même pédagogiques peuvent être décrits et résolus à l'aide de diverses équations et de leurs systèmes. DANS dernièrement La modélisation mathématique a acquis une popularité particulière parmi les chercheurs, les scientifiques et les praticiens dans presque tous les domaines, ce qui s'explique par ses avantages évidents par rapport à d'autres méthodes bien connues et éprouvées pour étudier des objets de diverses natures, en particulier ce qu'on appelle systèmes complexes. Il existe une grande variété de définitions différentes du modèle mathématique données par les scientifiques des moments différents, mais à notre avis, la déclaration la plus réussie est la suivante. Modèle mathématique est une idée exprimée par une équation. Ainsi, la capacité de composer et de résoudre des équations et leurs systèmes fait partie intégrante d'un spécialiste moderne.

Résoudre des systèmes linéaires équations algébriques Les méthodes les plus couramment utilisées sont Cramer, Jordan-Gauss et la méthode matricielle.

La méthode de solution matricielle est une méthode permettant de résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires avec un déterminant non nul à l'aide d'une matrice inverse.

Si nous écrivons les coefficients des quantités inconnues xi dans la matrice A, collectons les quantités inconnues dans la colonne vectorielle X et les termes libres dans la colonne vectorielle B, alors le système d'équations algébriques linéaires peut être écrit sous la forme équation matricielle suivante A · X = B, qui a une solution unique uniquement lorsque le déterminant de la matrice A n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, la solution du système d’équations peut être trouvée de la manière suivante X = UN-1 · B, Où UN-1 est la matrice inverse.

La méthode de solution matricielle est la suivante.

Donnons-nous un système d'équations linéaires avec n inconnu:

Il peut être réécrit sous forme matricielle : HACHE = B, Où UN- la matrice principale du système, B Et X- colonnes de termes libres et de solutions du système, respectivement :

Multiplions cette équation matricielle en partant de la gauche par UN-1 - matrice inverse de la matrice UN: UN -1 (HACHE) = UN -1 B

Parce que UN -1 UN = E, nous obtenons X= Un -1 B. Le côté droit de cette équation donnera la colonne de solution du système d’origine. La condition d'applicabilité de cette méthode (ainsi que l'existence générale d'une solution à un système inhomogène d'équations linéaires avec le nombre d'équations, égal au nombre inconnues) est la non-dégénérescence de la matrice UN. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que le déterminant de la matrice ne soit pas égal à zéro UN:dét UN≠ 0.

Pour un système homogène d'équations linéaires, c'est-à-dire lorsque le vecteur B = 0 , vraiment règle inverse: système HACHE = 0 a une solution non triviale (c'est-à-dire non nulle) uniquement si det UN= 0. Une telle connexion entre les solutions de systèmes d'équations linéaires homogènes et inhomogènes est appelée l'alternative de Fredholm.

Exemple solutions à un système inhomogène d'équations algébriques linéaires.

Assurons-nous que le déterminant de la matrice, composé des coefficients des inconnues du système d'équations algébriques linéaires, n'est pas égal à zéro.

La prochaine étape consiste à calculer ajouts algébriques pour les éléments d'une matrice constituée de coefficients d'inconnues. Ils seront nécessaires pour trouver la matrice inverse.

(parfois cette méthode est également appelée méthode matricielle ou méthode matricielle inverse) nécessite une familiarisation préalable avec un concept tel que la forme matricielle de notation SLAE. La méthode matricielle inverse est destinée à résoudre les systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquels le déterminant de la matrice du système est différent de zéro. Naturellement, cela suppose que la matrice du système soit carrée (la notion de déterminant n'existe que pour les matrices carrées). L'essence de la méthode matricielle inverse peut s'exprimer en trois points :

1. Notez trois matrices : la matrice système $A$, la matrice des inconnues $X$, la matrice des termes libres $B$.
2. Trouvez la matrice inverse $A^(-1)$.
3. En utilisant l'égalité $X=A^(-1)\cdot B$, obtenez une solution au SLAE donné.

Tout SLAE peut être écrit sous forme matricielle sous la forme $A\cdot X=B$, où $A$ est la matrice du système, $B$ est la matrice des termes libres, $X$ est la matrice des inconnues. Laissez la matrice $A^(-1)$ exister. Multiplions les deux côtés de l'égalité $A\cdot X=B$ par la matrice $A^(-1)$ à gauche :

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Puisque $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ est la matrice identité), l'égalité écrite ci-dessus devient :

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Puisque $E\cdot X=X$, alors :

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Exemple n°1

Résolvez le SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ en utilisant la matrice inverse.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Trouvons la matrice inverse de la matrice système, c'est-à-dire Calculons $A^(-1)$. Dans l'exemple n°2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Remplaçons maintenant les trois matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) par l'égalité $X=A^(-1)\cdot B$. Ensuite, nous effectuons une multiplication matricielle

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Nous avons donc l'égalité $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( tableau )\right)$. De cette égalité on a : $x_1=-3$, $x_2=2$.

Répondre: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Exemple n°2

Résoudre SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ en utilisant la méthode de la matrice inverse.

Écrivons la matrice du système $A$, la matrice des termes libres $B$ et la matrice des inconnues $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

C'est maintenant au tour de trouver la matrice inverse de la matrice système, c'est-à-dire trouver $A^(-1)$. Dans l'exemple n°3 de la page dédiée à la recherche de matrices inverses, la matrice inverse a déjà été trouvée. Utilisons le résultat final et écrivons $A^(-1)$ :

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(tableau)\right). $$

Remplaçons maintenant les trois matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) par l'égalité $X=A^(-1)\cdot B$, puis effectuons une multiplication matricielle sur le côté droit de cette égalité.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Nous avons donc l'égalité $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(tableau)\right)$. De cette égalité on a : $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

C'est un concept qui généralise toutes les opérations possibles effectuées avec des matrices. Matrice mathématique - tableau des éléments. A propos d'une table où m lignes et n colonnes, on dit que cette matrice a la dimension m sur n.

Vue générale de la matrice :

Pour solutions matricielles il faut comprendre ce qu'est une matrice et connaître ses principaux paramètres. Principaux éléments de la matrice :

• La diagonale principale, composée d'éléments un 11, un 22…..un mn.
• Diagonale latérale composée d'éléments un 1n , un 2n-1 .....un m1.

Principaux types de matrices :

• Square est une matrice où le nombre de lignes = le nombre de colonnes ( m=n).
• Zéro - où tous les éléments de la matrice = 0.
• Matrice transposée - matrice DANS, qui a été obtenu à partir de la matrice originale UN en remplaçant les lignes par des colonnes.
• Unité - tous les éléments de la diagonale principale = 1, tous les autres = 0.
• Une matrice inverse est une matrice qui, multipliée par la matrice d'origine, donne une matrice d'identité.

La matrice peut être symétrique par rapport aux diagonales principale et secondaire. Autrement dit, si un 12 = un 21, un 13 =un 31,….un 23 =un 32…. un m-1n =un mn-1, alors la matrice est symétrique par rapport à la diagonale principale. Seules les matrices carrées peuvent être symétriques.

Méthodes de résolution de matrices.

Presque tout méthodes de résolution matricielle consiste à trouver son déterminant n-ème ordre et la plupart d'entre eux sont assez encombrants. Pour trouver le déterminant du 2ème et du 3ème ordre, il existe d'autres méthodes plus rationnelles.

Trouver des déterminants de 2ème ordre.

Pour calculer le déterminant d'une matrice UN 2ème ordre, il faut soustraire le produit des éléments de la diagonale secondaire du produit des éléments de la diagonale principale :

Méthodes pour trouver des déterminants de 3ème ordre.

Vous trouverez ci-dessous les règles pour trouver le déterminant du 3ème ordre.

Règle simplifiée du triangle comme l'une des méthodes de résolution matricielle, peut être représenté de cette façon :

En d'autres termes, le produit des éléments du premier déterminant reliés par des lignes droites est pris avec le signe « + » ; Aussi, pour le 2ème déterminant, les produits correspondants sont pris avec le signe « - », c'est-à-dire selon le schéma suivant :

À résoudre des matrices en utilisant la règle de Sarrus, à droite du déterminant, additionner les 2 premières colonnes et les produits des éléments correspondants sur la diagonale principale et sur les diagonales qui lui sont parallèles sont pris avec un signe « + » ; et les produits des éléments correspondants de la diagonale secondaire et des diagonales qui lui sont parallèles, avec le signe « - » :

Décomposer le déterminant en ligne ou en colonne lors de la résolution de matrices.

Déterminant égal à la somme produits des éléments de la chaîne déterminante par leurs compléments algébriques. Habituellement, la ligne/colonne contenant des zéros est sélectionnée. La ligne ou la colonne le long de laquelle la décomposition est effectuée sera indiquée par une flèche.

Réduire le déterminant à la forme triangulaire lors de la résolution de matrices.

À résolution de matrices méthode de réduction du déterminant à une forme triangulaire, ils fonctionnent comme ceci : en utilisant les transformations les plus simples sur des lignes ou des colonnes, le déterminant prend une forme triangulaire puis sa valeur, conformément aux propriétés du déterminant, sera égale au produit des éléments qui se trouvent sur la diagonale principale.

Théorème de Laplace pour résoudre des matrices.

Lors de la résolution de matrices à l'aide du théorème de Laplace, vous devez connaître le théorème lui-même. Théorème de Laplace : Soit Δ - c'est un déterminant n-ième ordre. Nous sélectionnons n'importe quel k lignes (ou colonnes), à condition k≤ n-1. Dans ce cas, la somme des produits de tous les mineurs k-ième ordre contenu dans le sélectionné k les lignes (colonnes), par leurs compléments algébriques seront égales au déterminant.

Résoudre la matrice inverse.

Séquence d'actions pour solutions matricielles inverses:

1. Déterminez si une matrice donnée est carrée. Si la réponse est négative, il devient clair qu’il ne peut pas y avoir de matrice inverse.
2. Nous calculons des compléments algébriques.
3. Nous composons une matrice d'union (mutuelle, adjointe) C.
4. On compose la matrice inverse à partir d'additions algébriques : tous les éléments de la matrice adjointe C diviser par le déterminant de la matrice initiale. La matrice finale sera la matrice inverse requise par rapport à celle donnée.
5. On vérifie le travail effectué : multipliez la matrice initiale et la matrice résultante, le résultat devrait être une matrice identité.

Résolution de systèmes matriciels.

Pour solutions de systèmes matriciels La méthode gaussienne est la plus souvent utilisée.

La méthode de Gauss est une méthode standard pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) et consiste dans le fait que les variables sont séquentiellement éliminées, c'est-à-dire qu'à l'aide de changements élémentaires, le système d'équations est amené à un système triangulaire équivalent et à partir de là, séquentiellement, en partant de ce dernier (par numéro), trouvez chaque élément du système.

Méthode Gauss est le plus polyvalent et le meilleur outil trouver la solution des matrices. Si un système a un nombre infini de solutions ou si le système est incompatible, alors il ne peut pas être résolu en utilisant la règle de Cramer et la méthode matricielle.

La méthode de Gauss implique également des mouvements directs (réduction de la matrice étendue à une forme pas à pas, c'est-à-dire obtention de zéros sous la diagonale principale) et inverses (obtention de zéros au-dessus de la diagonale principale de la matrice étendue). Le mouvement vers l'avant est la méthode de Gauss, le mouvement inverse est la méthode de Gauss-Jordan. La méthode Gauss-Jordan ne diffère de la méthode Gauss que par la séquence d'élimination des variables.

Soit une matrice carrée d'ordre n

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A*A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n.

Matrice d'identité- une telle matrice carrée dans laquelle tous les éléments le long de la diagonale principale, passant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, sont des uns, et les autres sont des zéros, par exemple :

Matrice inverse peut exister uniquement pour les matrices carrées ceux. pour les matrices dans lesquelles le nombre de lignes et de colonnes coïncide.

Théorème de la condition d'existence d'une matrice inverse

Pour qu’une matrice ait une matrice inverse, il faut et il suffit qu’elle soit non singulière.

La matrice A = (A1, A2,...A n) est appelée non dégénéré, si les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants d'une matrice est appelé le rang de la matrice. On peut donc dire que pour qu'une matrice inverse existe, il faut et suffisant que le rang de la matrice soit égal à sa dimension, c'est-à-dire r = n.

Algorithme pour trouver la matrice inverse

1. Écrivez la matrice A dans le tableau pour résoudre des systèmes d'équations à l'aide de la méthode gaussienne et attribuez-lui la matrice E à droite (à la place des membres droits des équations).
2. À l'aide des transformations de Jordan, réduisez la matrice A à une matrice composée de colonnes unitaires ; dans ce cas, il faut transformer simultanément la matrice E.
3. Si nécessaire, réorganisez les lignes (équations) du dernier tableau de manière à ce que sous la matrice A du tableau d'origine vous obteniez la matrice d'identité E.
4. Notez la matrice inverse A -1, qui se trouve dans le dernier tableau sous la matrice E du tableau d'origine.

Exemple 1

Pour la matrice A, trouvez la matrice inverse A -1

Solution : Nous écrivons la matrice A et attribuons la matrice identité E à droite. À l'aide des transformations de Jordan, nous réduisons la matrice A à la matrice identité E. Les calculs sont donnés dans le tableau 31.1.

Vérifions l'exactitude des calculs en multipliant la matrice originale A et la matrice inverse A -1.

Grâce à la multiplication matricielle, la matrice d'identité a été obtenue. Les calculs ont donc été effectués correctement.

Répondre:

Résolution d'équations matricielles

Les équations matricielles peuvent ressembler à :

AX = B, HA = B, AXB = C,

où A, B, C sont les matrices spécifiées, X est la matrice souhaitée.

Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par des matrices inverses.

Par exemple, pour trouver la matrice de l’équation, vous devez multiplier cette équation par la gauche.

Par conséquent, pour trouver une solution à l’équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice du côté droit de l’équation.

D'autres équations sont résolues de la même manière.

Exemple 2

Résolvez l'équation AX = B si

Solution: Puisque la matrice inverse est égale à (voir exemple 1)

Méthode matricielle en analyse économique

Avec d'autres, ils sont également utilisés méthodes matricielles. Ces méthodes sont basées sur l'algèbre linéaire et vectorielle-matrice. De telles méthodes sont utilisées pour analyser des phénomènes économiques complexes et multidimensionnels. Le plus souvent, ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de procéder à une évaluation comparative du fonctionnement des organisations et de leurs divisions structurelles.

Dans le processus d'application des méthodes d'analyse matricielle, plusieurs étapes peuvent être distinguées.

À la première étape le système est en train de se former indicateurs économiques et sur cette base, une matrice de données source est compilée, qui est un tableau dans lequel les numéros de système sont affichés dans ses lignes individuelles (je = 1,2,....,n), et en colonnes verticales - nombre d'indicateurs (j = 1,2,....,m).

À la deuxième étape Pour chaque colonne verticale, la plus grande des valeurs d'indicateur disponibles est identifiée, qui est considérée comme une.

Après cela, tous les montants reflétés dans cette colonne sont divisés par valeur la plus élevée et une matrice de coefficients standardisés est formée.

À la troisième étape toutes les composantes de la matrice sont au carré. S'ils ont une signification différente, alors chaque indicateur matriciel se voit attribuer un certain coefficient de pondération k. La valeur de ce dernier est déterminée par avis d'experts.

Sur le dernier, quatrième étape valeurs de notation trouvées Rj sont regroupés par ordre d’augmentation ou de diminution.

Les méthodes matricielles décrites devraient être utilisées, par exemple, dans une analyse comparative de différents projets d'investissement, ainsi que lors de l'évaluation d'autres indicateurs économiques des organisations.