2. Résolution de systèmes d'équations par la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).
3. Méthode Gauss pour résoudre des systèmes d'équations.

Méthode de Cramer.

La méthode de Cramer est utilisée pour résoudre des systèmes de équations algébriques (SLAU).

Formules utilisant l'exemple d'un système de deux équations à deux variables.
Donné: Résoudre le système en utilisant la méthode de Cramer

Concernant les variables X Et à.
Solution:
Trouvons le déterminant de la matrice, composé des coefficients du système Calcul des déterminants. :

Appliquons les formules de Cramer et trouvons les valeurs des variables :
Et .
Exemple 1 :
Résolvez le système d'équations :

concernant les variables X Et à.
Solution:


Remplaçons la première colonne de ce déterminant par une colonne de coefficients du côté droit du système et trouvons sa valeur :

Faisons la même chose en remplaçant la deuxième colonne du premier déterminant :

En vigueur Les formules de Cramer et trouvez les valeurs des variables :
Et .
Répondre:
Commentaire: Cette méthode permet de résoudre des systèmes de dimensions supérieures.

Commentaire: S'il s'avère que , mais ne peut pas être divisé par zéro, alors ils disent que le système n'a pas de solution unique. Dans ce cas, le système a soit une infinité de solutions, soit aucune solution du tout.

Exemple 2(nombre infini de solutions):

Résolvez le système d'équations :

concernant les variables X Et à.
Solution:
Trouvons le déterminant de la matrice, composé des coefficients du système :

Résolution de systèmes par la méthode de substitution.

La première des équations du système est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables (car 4 est toujours égal à 4). Cela signifie qu'il ne reste qu'une seule équation. Il s'agit d'une équation pour la relation entre les variables.
Nous avons constaté que la solution du système est n'importe quelle paire de valeurs de variables liées entre elles par l'égalité .
La solution générale s’écrira comme suit :
Des solutions particulières peuvent être déterminées en choisissant une valeur arbitraire de y et en calculant x à partir de cette égalité de connexion.

etc.
Il existe une infinité de solutions de ce type.
Répondre: solution générale
Solutions privées :

Exemple 3(pas de solutions, le système est incompatible) :

Résolvez le système d'équations :

Solution:
Trouvons le déterminant de la matrice, composé des coefficients du système :

Les formules de Cramer ne peuvent pas être utilisées. Résolvons ce système en utilisant la méthode de substitution

La deuxième équation du système est une égalité qui n'est vraie pour aucune valeur des variables (bien sûr, puisque -15 n'est pas égal à 2). Si l'une des équations du système n'est vraie pour aucune valeur des variables, alors l'ensemble du système n'a pas de solutions.
Répondre: aucune solution

Supposons que le système d'équations linéaires contienne autant d'équations que de nombre de variables indépendantes, c'est-à-dire on dirait

De tels systèmes équations linéaires sont appelés carrés. Le déterminant, composé de coefficients pour les variables indépendantes du système (1.5), est appelé déterminant principal du système. Nous le désignerons par la lettre grecque D. Ainsi,

. (1.6)

Si le déterminant principal contient un arbitraire ( j e), remplacez-la par une colonne de termes libres du système (1.5), vous pourrez alors obtenir n qualificatifs auxiliaires :

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

La règle de Cramer la résolution de systèmes quadratiques d’équations linéaires est la suivante. Si le déterminant principal D du système (1.5) est différent de zéro, alors le système a une solution unique, qui peut être trouvée à l'aide des formules :

(1.8)

Exemple 1.5. Résoudre le système d'équations en utilisant la méthode de Cramer

.

Calculons le déterminant principal du système :

Depuis D¹0, le système a une solution unique, qui peut être trouvée à l'aide des formules (1.8) :

Ainsi,

Actions sur les matrices

1. Multiplier une matrice par un nombre. L'opération de multiplication d'une matrice par un nombre est définie comme suit.

2. Afin de multiplier une matrice par un nombre, vous devez multiplier tous ses éléments par ce nombre. C'est

. (1.9)

Exemple 1.6. .

Ajout de matrice.

Cette opération n'est introduite que pour les matrices de même ordre.

Pour ajouter deux matrices, il faut ajouter les éléments correspondants d'une autre matrice aux éléments d'une matrice :

(1.10)
L'opération d'addition matricielle a les propriétés d'associativité et de commutativité.

Exemple 1.7. .

Multiplication matricielle.

Si le nombre de colonnes de la matrice UN coïncide avec le nombre de lignes de la matrice DANS, alors pour de telles matrices l'opération de multiplication est introduite :

2

Ainsi, en multipliant une matrice UN dimensions m´ nà la matrice DANS dimensions n´ k on obtient une matrice AVEC dimensions m´ k. Dans ce cas, les éléments de la matrice AVEC sont calculés à l'aide des formules suivantes :

Problème 1.8. Trouver, si possible, le produit des matrices AB Et B.A.:

Solution. 1) Afin de trouver un travail AB, vous avez besoin de lignes matricielles UN multiplier par les colonnes de la matrice B:

2) Travail B.A. n'existe pas, car le nombre de colonnes de la matrice B ne correspond pas au nombre de lignes de la matrice UN.

Matrice inverse. Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

Matrice UN- 1 est appelé l’inverse d’une matrice carrée UN, si l'égalité est satisfaite :

où à travers je désigne la matrice identité du même ordre que la matrice UN:

.

Pour qu’une matrice carrée ait un inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro. La matrice inverse se trouve à l'aide de la formule :

, (1.13)

Où Un ij- ajouts algébriques aux éléments un ij matrices UN(notez que les ajouts algébriques aux lignes de la matrice UN sont situés dans la matrice inverse sous forme de colonnes correspondantes).

Exemple 1.9. Trouver la matrice inverse UN- 1 à la matrice

.

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule (1.13), qui pour le cas n= 3 a la forme :

.

Trouvons cela UN = | UN| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Puisque le déterminant de la matrice d'origine est différent de zéro, la matrice inverse existe.

1) Trouver des compléments algébriques Un ij:

Pour faciliter la localisation matrice inverse, nous avons placé les ajouts algébriques aux lignes de la matrice originale dans les colonnes correspondantes.

Du reçu ajouts algébriques créons une nouvelle matrice et divisons-la par le déterminant det UN. On obtient ainsi la matrice inverse :

Les systèmes quadratiques d'équations linéaires avec un déterminant principal non nul peuvent être résolus à l'aide de la matrice inverse. Pour ce faire, le système (1.5) s’écrit sous forme matricielle :

Où

En multipliant les deux côtés de l'égalité (1.14) en partant de la gauche par UN- 1, on obtient la solution du système :

, où

Ainsi, pour trouver une solution à un système carré, il faut trouver la matrice inverse de la matrice principale du système et la multiplier à droite par la matrice colonne des termes libres.

Problème 1.10. Résoudre un système d'équations linéaires

en utilisant la matrice inverse.

Solution.Écrivons le système sous forme matricielle : ,

Où - la matrice principale du système, - la colonne des inconnues et - la colonne des termes libres. Puisque le principal déterminant du système , alors la matrice principale du système UN a une matrice inverse UN-1. Pour trouver la matrice inverse UN-1 , on calcule les compléments algébriques à tous les éléments de la matrice UN:

A partir des nombres obtenus nous composerons une matrice (et des ajouts algébriques aux lignes de la matrice UNécrivez-le dans les colonnes appropriées) et divisez-le par le déterminant D. Ainsi, nous avons trouvé la matrice inverse :

On trouve la solution du système à l'aide de la formule (1.15) :

Ainsi,

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'élimination de Jordan ordinaire

Soit un système arbitraire (pas nécessairement quadratique) d'équations linéaires :

(1.16)

Il est nécessaire de trouver une solution au système, c'est-à-dire un tel ensemble de variables qui satisfait toutes les égalités du système (1.16). Dans le cas général, le système (1.16) peut avoir non seulement une solution, mais aussi d’innombrables solutions. Il se peut également qu’il n’y ait aucune solution.

Lors de la résolution de tels problèmes, le célèbre cours scolaire la méthode d'élimination des inconnues, également appelée méthode d'élimination de Jordan ordinaire. L'essence de cette méthode est que dans l'une des équations du système (1.16), l'une des variables est exprimée en termes d'autres variables. Cette variable est ensuite substituée dans d'autres équations du système. Le résultat est un système contenant une équation et une variable de moins que le système d'origine. L'équation à partir de laquelle la variable a été exprimée est mémorisée.

Ce processus est répété jusqu'à ce qu'une dernière équation reste dans le système. Grâce au processus d'élimination des inconnues, certaines équations peuvent devenir de véritables identités, par ex. De telles équations sont exclues du système, car elles sont satisfaites pour toutes les valeurs des variables et n'affectent donc pas la solution du système. Si, lors du processus d'élimination des inconnues, au moins une équation devient une égalité qui ne peut être satisfaite pour aucune valeur des variables (par exemple), alors nous concluons que le système n'a pas de solution.

Si aucune équation conflictuelle ne survient lors de la solution, alors l'une des variables restantes est trouvée à partir de la dernière équation. S’il ne reste qu’une seule variable dans la dernière équation, elle est alors exprimée sous forme de nombre. Si d'autres variables restent dans la dernière équation, alors elles sont considérées comme des paramètres, et la variable exprimée à travers elles sera fonction de ces paramètres. Ensuite, ce que l'on appelle le « mouvement inverse » a lieu. La variable trouvée est remplacée dans la dernière équation mémorisée et la deuxième variable est trouvée. Ensuite les deux variables trouvées sont substituées dans l'avant-dernière équation mémorisée et la troisième variable est trouvée, et ainsi de suite, jusqu'à la première équation mémorisée.

En conséquence, nous obtenons une solution au système. Cette décision sera unique si les variables trouvées sont des nombres. Si la première variable trouvée, puis toutes les autres dépendent des paramètres, alors le système aura un nombre infini de solutions (à chaque ensemble de paramètres correspond une nouvelle solution). Les formules qui permettent de trouver une solution à un système en fonction d'un ensemble particulier de paramètres sont appelées solution générale du système.

Exemple 1.11.

x

Après avoir mémorisé la première équation et en apportant des termes similaires dans les deuxième et troisième équations, nous arrivons au système :

Exprimons oui de la deuxième équation et remplacez-la dans la première équation :

Rappelons la deuxième équation, et de la première on trouve z:

En travaillant à rebours, nous trouvons systématiquement oui Et z. Pour ce faire, nous substituons d'abord la dernière équation mémorisée, d'où nous trouvons oui:

.

Ensuite, nous le substituerons dans la première équation mémorisée où on peut le trouver x:

Problème 1.12. Résolvez un système d'équations linéaires en éliminant les inconnues :

. (1.17)

Solution. Exprimons la variable de la première équation x et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations :

.

Rappelons la première équation

Dans ce système, les première et deuxième équations se contredisent. En effet, exprimant oui , on obtient que 14 = 17. Cette égalité ne vaut pour aucune valeur des variables x, oui, Et z. Par conséquent, le système (1.17) est incohérent, c'est-à-dire n'a pas de solution.

Nous invitons les lecteurs à vérifier par eux-mêmes que le déterminant principal du système original (1.17) est égal à zéro.

Considérons un système qui diffère du système (1.17) par un seul terme libre.

Problème 1.13. Résolvez un système d'équations linéaires en éliminant les inconnues :

. (1.18)

Solution. Comme précédemment, nous exprimons la variable de la première équation x et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations :

.

Rappelons la première équation et présentent des termes similaires dans les deuxième et troisième équations. On arrive au système :

Exprimer oui de la première équation et en le remplaçant dans la deuxième équation , nous obtenons l'identité 14 = 14, ce qui n'affecte pas la solution du système et, par conséquent, elle peut être exclue du système.

Dans la dernière égalité mémorisée, la variable z nous le considérerons comme un paramètre. Nous croyons. Alors

Remplaçons oui Et z dans la première égalité rappelée et trouver x:

.

Ainsi, le système (1.18) a un nombre infini de solutions, et toute solution peut être trouvée à l'aide des formules (1.19), en choisissant une valeur arbitraire du paramètre t:

(1.19)
Ainsi, les solutions du système, par exemple, sont les ensembles de variables suivants (1 ; 2 ; 0), (2 ; 26 ; 14), etc. Les formules (1.19) expriment la solution générale (n'importe quelle) du système (1.18 ).

Dans le cas où le système d'origine (1.16) dispose de suffisamment grand nombreéquations et inconnues, la méthode indiquée d’élimination de Jordan ordinaire semble lourde. Cependant, ce n’est pas vrai. Il suffit de dériver un algorithme pour recalculer les coefficients du système à une étape de vue générale et formuler la solution au problème sous la forme de tableaux Jordan spéciaux.

Soit un système de formes linéaires (équations) :

, (1.20)
Où xj- variables indépendantes (recherchées), un ij- coefficients constants
(je = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Parties droites du système et je (je = 1, 2,…, m) peut être soit des variables (dépendantes), soit des constantes. Il faut trouver des solutions à ce système en éliminant les inconnues.

Considérons l'opération suivante, désormais appelée « une étape des éliminations ordinaires de Jordan ». De l'arbitraire ( r e) égalité nous exprimons une variable arbitraire ( xs) et remplacer par toutes les autres égalités. Bien entendu, cela n'est possible que si un rs¹ 0. Coefficient un rs appelé élément de résolution (parfois directeur ou principal).

Nous obtiendrons le système suivant :

. (1.21)

Depuis s- égalité du système (1.21), on retrouve par la suite la variable xs(une fois que les variables restantes ont été trouvées). S La -ème ligne est mémorisée et ensuite exclue du système. Le système restant contiendra une équation et une variable indépendante de moins que le système d'origine.

Calculons les coefficients du système résultant (1.21) à travers les coefficients du système d'origine (1.20). Commençons par rème équation, qui après avoir exprimé la variable xsà travers les variables restantes, cela ressemblera à ceci :

Ainsi, les nouveaux coefficients r Les équations sont calculées à l'aide des formules suivantes :

(1.23)
Calculons maintenant les nouveaux coefficients b je(je¹ r) d'une équation arbitraire. Pour ce faire, substituons la variable exprimée en (1.22) xs V jeème équation du système (1.20) :

Après avoir ramené des termes similaires, on obtient :

(1.24)
De l'égalité (1.24) nous obtenons des formules par lesquelles les coefficients restants du système (1.21) sont calculés (à l'exception rème équation):

(1.25)
La transformation de systèmes d'équations linéaires par la méthode d'élimination de Jordan ordinaire est présentée sous forme de tableaux (matrices). Ces tables sont appelées « tables Jordan ».

Ainsi, le problème (1.20) est associé à la table de Jordan suivante :

Tableau 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	xs	…	xn
oui 1 =	un 11	un 12		un 1j		un 1s		un 1n
…………………………………………………………………..
et je=	un je 1	un je 2		un ij		un est		un dans
…………………………………………………………………..
et r=	un r 1	un r 2		un RJ		un rs		arn
………………………………………………………………….
o n=	suis 1	suis 2		un mj		une mme		une minute

Le tableau Jordan 1.1 contient une colonne d'en-tête de gauche dans laquelle sont écrites les parties de droite du système (1.20) et une ligne d'en-tête supérieure dans laquelle sont écrites les variables indépendantes.

Les éléments restants du tableau forment la matrice principale des coefficients du système (1.20). Si on multiplie la matrice UNà la matrice constituée des éléments de la ligne de titre supérieure, vous obtenez une matrice constituée des éléments de la colonne de titre de gauche. Autrement dit, la table de Jordan est essentiellement une forme matricielle d'écriture d'un système d'équations linéaires : . Le système (1.21) correspond au tableau de Jordan suivant :

Tableau 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	et r	…	xn
oui 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
oui je =	b je 1	b je 2		b je		b est		b dans
…………………………………………………………………..
xs =	b r 1	b r 2		b rj		brs		Brn
………………………………………………………………….
oui n =	bm 1	bm 2		b mj		bms		bmn

Élément permissif un rs Nous les soulignerons en gras. Rappelons que pour mettre en œuvre une étape de l’élimination de Jordan, l’élément de résolution doit être non nul. La ligne du tableau contenant l'élément d'activation est appelée ligne d'activation. La colonne contenant l'élément d'activation est appelée colonne d'activation. Lors du passage d'une table donnée à la table suivante, une variable ( xs) de la ligne d'en-tête supérieure du tableau est déplacé vers la colonne d'en-tête de gauche et, à l'inverse, l'un des membres libres du système ( et r) se déplace de la colonne d'en-tête de gauche du tableau vers la ligne d'en-tête supérieure.

Décrivons l'algorithme de recalcul des coefficients lors du passage du tableau de Jordan (1.1) au tableau (1.2), qui découle des formules (1.23) et (1.25).

1. L'élément résolvant est remplacé par le nombre inverse :

2. Les éléments restants de la chaîne de résolution sont divisés en éléments de résolution et changent le signe en l'opposé :

3. Les éléments restants de la colonne de résolution sont divisés en élément de résolution :

4. Les éléments qui ne sont pas inclus dans la ligne d'autorisation et la colonne d'autorisation sont recalculés à l'aide des formules :

La dernière formule est facile à retenir si l'on remarque que les éléments qui composent la fraction , sont à l'intersection je-oh et r les lignes et j e et s colonnes (ligne de résolution, colonne de résolution et ligne et colonne à l'intersection desquelles se trouve l'élément recalculé). Plus précisément, lors de la mémorisation de la formule vous pouvez utiliser le schéma suivant :

-21 -26 -13 -37

Lors de l'exécution de la première étape des exceptions Jordan, vous pouvez sélectionner n'importe quel élément du tableau 1.3 situé dans les colonnes comme élément de résolution. x 1 ,…, x 5 (tous les éléments spécifiés ne sont pas nuls). Vous ne devez pas simplement sélectionner l'élément d'activation dans la dernière colonne, car vous devez trouver des variables indépendantes x 1 ,…, x 5. Par exemple, on choisit le coefficient 1 avec variable x 3 dans la troisième ligne du tableau 1.3 (l'élément habilitant est indiqué en gras). En passant au tableau 1.4, la variable x Le 3 de la ligne d’en-tête supérieure est remplacé par la constante 0 de la colonne d’en-tête de gauche (troisième ligne). Dans ce cas, la variable x 3 est exprimé à travers les variables restantes.

Chaîne x 3 (tableau 1.4) peut, après mémorisation préalable, être exclu du tableau 1.4. La troisième colonne avec un zéro dans la ligne de titre supérieure est également exclue du tableau 1.4. Le fait est que quels que soient les coefficients d'une colonne donnée b je 3 tous les termes correspondants de chaque équation 0 b je 3 systèmes seront égaux à zéro. Il n’est donc pas nécessaire de calculer ces coefficients. Éliminer une variable x 3 et en nous souvenant d'une des équations, on arrive à un système correspondant au tableau 1.4 (avec la ligne barrée x 3). Sélection dans le tableau 1.4 comme élément de résolution b 14 = -5, passez au tableau 1.5. Dans le tableau 1.5, mémorisez la première ligne et excluez-la du tableau ainsi que la quatrième colonne (avec un zéro en haut).

Tableau 1.5 Tableau 1.6

Du dernier tableau 1.7 on trouve : x 1 = - 3 + 2x 5 .

En remplaçant systématiquement les variables déjà trouvées dans les lignes mémorisées, nous trouvons les variables restantes :

Le système propose donc une infinité de solutions. Variable x 5, des valeurs arbitraires peuvent être attribuées. Cette variable fait office de paramètre x 5 = t. Nous avons prouvé la compatibilité du système et trouvé sa solution générale :

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Donner le paramètre t différentes significations, nous obtiendrons un nombre infini de solutions au système original. Ainsi, par exemple, la solution du système est l'ensemble de variables suivant (- 3 ; - 1 ; - 2 ; 4 ; 0).

La méthode de Cramer ou la règle dite de Cramer est une méthode de recherche de quantités inconnues à partir de systèmes d'équations. Il ne peut être utilisé que si le nombre de valeurs recherchées est équivalent au nombre d'équations algébriques du système, c'est-à-dire que la matrice principale formée à partir du système doit être carrée et ne pas contenir de lignes nulles, et aussi si son déterminant doit ne soit pas nul.

Théorème 1

Théorème de Cramer Si le déterminant principal $D$ de la matrice principale, compilé sur la base des coefficients des équations, n'est pas égal à zéro, alors le système d'équations est cohérent et il a une solution unique. La solution d'un tel système est calculée à l'aide des formules dites de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires : $x_i = \frac(D_i)(D)$

Qu'est-ce que la méthode Cramer ?

L'essence de la méthode de Cramer est la suivante :

1. Pour trouver une solution au système à l'aide de la méthode de Cramer, on calcule tout d'abord le déterminant principal de la matrice $D$. Lorsque le déterminant calculé de la matrice principale, calculé par la méthode de Cramer, s'avère égal à zéro, alors le système n'a pas une seule solution ou a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, pour trouver une réponse générale ou une réponse basique au système, il est recommandé d’utiliser la méthode gaussienne.
2. Ensuite, vous devez remplacer la colonne la plus externe de la matrice principale par une colonne de termes libres et calculer le déterminant $D_1$.
3. Répétez la même chose pour toutes les colonnes, en obtenant les déterminants de $D_1$ à $D_n$, où $n$ est le numéro de la colonne la plus à droite.
4. Une fois que tous les déterminants $D_1$...$D_n$ ont été trouvés, les variables inconnues peuvent être calculées à l'aide de la formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Techniques de calcul du déterminant d'une matrice

Pour calculer le déterminant d'une matrice de dimension supérieure à 2 par 2, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes :

• La règle des triangles, ou règle de Sarrus, rappelle la même règle. L'essence de la méthode triangulaire est que lors du calcul du déterminant, les produits de tous les nombres reliés dans la figure par la ligne rouge de droite sont écrits avec un signe plus, et tous les nombres connectés de la même manière dans la figure de gauche sont écrits avec un signe moins. Les deux règles conviennent aux matrices de taille 3 x 3. Dans le cas de la règle de Sarrus, la matrice elle-même est d'abord réécrite, et à côté d'elle ses première et deuxième colonnes sont à nouveau réécrites. Les diagonales sont tracées à travers la matrice et ces colonnes supplémentaires ; les membres de la matrice situés sur la diagonale principale ou parallèles à celle-ci sont écrits avec un signe plus, et les éléments situés sur ou parallèles à la diagonale secondaire sont écrits avec un signe moins.

Figure 1. Règle triangulaire pour calculer le déterminant de la méthode de Cramer

• Utilisant une méthode connue sous le nom de méthode gaussienne, cette méthode est aussi parfois appelée réduction de l'ordre du déterminant. Dans ce cas, la matrice est transformée et réduite à une forme triangulaire, puis tous les nombres de la diagonale principale sont multipliés. Il ne faut pas oublier que lors de la recherche d'un déterminant de cette manière, vous ne pouvez pas multiplier ou diviser des lignes ou des colonnes par des nombres sans les retirer comme multiplicateur ou diviseur. Dans le cas de la recherche d'un déterminant, il est uniquement possible de soustraire et d'ajouter des lignes et des colonnes entre elles, après avoir préalablement multiplié la ligne soustraite par un facteur non nul. De plus, chaque fois que vous réorganisez les lignes ou les colonnes de la matrice, vous devez vous rappeler la nécessité de changer le signe final de la matrice.
• Lors de la résolution d'un SLAE à 4 inconnues à l'aide de la méthode Cramer, il serait préférable d'utiliser la méthode Gauss pour rechercher et trouver des déterminants ou déterminer le déterminant en recherchant des mineurs.

Résolution de systèmes d'équations à l'aide de la méthode de Cramer

Appliquons la méthode de Cramer pour un système de 2 équations et de deux quantités requises :

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Affichons-le sous forme développée pour plus de commodité :

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Trouvons le déterminant de la matrice principale, aussi appelé déterminant principal du système :

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Si le déterminant principal n’est pas égal à zéro, alors pour résoudre le problème à l’aide de la méthode de Cramer, il est nécessaire de calculer quelques déterminants supplémentaires à partir de deux matrices, les colonnes de la matrice principale étant remplacées par une rangée de termes libres :

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Trouvons maintenant les inconnues $x_1$ et $x_2$ :

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Exemple 1

Méthode de Cramer pour résoudre les SLAE avec une matrice principale du 3ème ordre (3 x 3) et trois obligatoires.

Résolvez le système d'équations :

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Calculons le déterminant principal de la matrice en utilisant la règle énoncée ci-dessus au point numéro 1 :

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Et maintenant trois autres déterminants :

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 $

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Trouvons les quantités requises :

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

La méthode de Cramer est basée sur l'utilisation de déterminants dans la résolution de systèmes d'équations linéaires. Cela accélère considérablement le processus de résolution.

La méthode de Cramer peut être utilisée pour résoudre un système composé d'autant d'équations linéaires qu'il y a d'inconnues dans chaque équation. Si le déterminant du système n’est pas égal à zéro, alors la méthode de Cramer peut être utilisée dans la solution, mais s’il est égal à zéro, alors elle ne peut pas. De plus, la méthode de Cramer peut être utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires ayant une solution unique.

Définition. Un déterminant composé de coefficients pour inconnues est appelé déterminant du système et est noté (delta).

Déterminants

sont obtenus en remplaçant les coefficients des inconnues correspondantes par des termes libres :

;

.

Théorème de Cramer. Si le déterminant du système est différent de zéro, alors le système d'équations linéaires a une solution unique et l'inconnue est égale au rapport des déterminants. Le dénominateur contient le déterminant du système, et le numérateur contient le déterminant obtenu à partir du déterminant du système en remplaçant les coefficients de cette inconnue par des termes libres. Ce théorème est valable pour un système d'équations linéaires de tout ordre.

Exemple 1. Résoudre un système d'équations linéaires :

Selon Théorème de Cramer nous avons:

Donc, la solution du système (2) :

calculateur en ligne, méthode décisive Kramer.

Trois cas lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires

Comme cela ressort clairement de Théorème de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires, trois cas peuvent se produire :

Premier cas : un système d'équations linéaires a une solution unique

(le système est cohérent et défini)

Deuxième cas : un système d'équations linéaires a un nombre infini de solutions

(le système est cohérent et incertain)

** ,

ceux. les coefficients des inconnues et des termes libres sont proportionnels.

Troisième cas : le système d'équations linéaires n'a pas de solutions

(le système est incohérent)

Donc le système méquations linéaires avec n appelées variables non conjoint, si elle n'a pas de solution unique, et articulation, s'il a au moins une solution. Un système simultané d’équations qui n’a qu’une seule solution s’appelle certain, et plus d'un – incertain.

Exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer

Que le système soit donné

.

Basé sur le théorème de Cramer

………….
,

Où
-

déterminant du système. On obtient les déterminants restants en remplaçant la colonne par les coefficients de la variable correspondante (inconnue) par des termes libres :

Exemple 2.

.

Le système est donc définitif. Pour trouver sa solution, on calcule les déterminants

En utilisant les formules de Cramer on trouve :

Ainsi, (1 ; 0 ; -1) est la seule solution du système.

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Si dans un système d'équations linéaires il n'y a pas de variables dans une ou plusieurs équations, alors dans le déterminant les éléments correspondants sont égaux à zéro ! C'est l'exemple suivant.

Exemple 3. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

.

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Examinez attentivement le système d'équations et le déterminant du système et répétez la réponse à la question dans quels cas un ou plusieurs éléments du déterminant sont égaux à zéro. Ainsi, le déterminant n’est pas égal à zéro, donc le système est défini. Pour trouver sa solution, on calcule les déterminants des inconnues

En utilisant les formules de Cramer on trouve :

La solution du système est donc (2 ; -1 ; 1).

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

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Nous continuons à résoudre ensemble des systèmes en utilisant la méthode de Cramer

Comme déjà mentionné, si le déterminant du système est égal à zéro et que les déterminants des inconnues ne sont pas égaux à zéro, le système est incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions. Illustrons avec l’exemple suivant.

Exemple 6. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Le déterminant du système est égal à zéro, par conséquent, le système d'équations linéaires est soit incohérent et défini, soit incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions. Pour clarifier, nous calculons les déterminants pour les inconnues

Les déterminants des inconnues ne sont pas égaux à zéro, donc le système est incohérent, c’est-à-dire qu’il n’a pas de solutions.

Pour vérifier les solutions des systèmes d'équations 3 X 3 et 4 X 4, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne utilisant la méthode de résolution de Cramer.

Dans les problèmes impliquant des systèmes d'équations linéaires, il existe également ceux où, en plus des lettres désignant des variables, il existe également d'autres lettres. Ces lettres représentent un nombre, le plus souvent réel. En pratique, les problèmes de recherche conduisent à de telles équations et systèmes d'équations propriétés générales tout phénomène ou objet. Autrement dit, avez-vous inventé un nouveau matériel ou un appareil, et pour décrire ses propriétés, qui sont communes quelle que soit la taille ou le nombre d'instances, vous devez résoudre un système d'équations linéaires, où au lieu de certains coefficients pour variables, il y a des lettres. Vous n’avez pas besoin de chercher bien loin des exemples.

L'exemple suivant concerne un problème similaire, seul le nombre d'équations, de variables et de lettres désignant un certain nombre réel augmente.

Exemple 8. Résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer :

Solution. On retrouve le déterminant du système :

Trouver des déterminants pour les inconnues

Dans la première partie, nous avons examiné du matériel théorique, la méthode de substitution, ainsi que la méthode d'addition terme par terme des équations système. Je recommande à tous ceux qui ont accédé au site via cette page de lire la première partie. Peut-être que certains visiteurs trouveront le matériel trop simple, mais en train de résoudre des systèmes d'équations linéaires, j'ai fait un certain nombre de commentaires et de conclusions très importants concernant la solution de problèmes mathématiques en général.

Nous allons maintenant analyser la règle de Cramer, ainsi que résoudre un système d'équations linéaires à l'aide d'une matrice inverse (méthode matricielle). Tous les documents sont présentés simplement, en détail et clairement ; presque tous les lecteurs pourront apprendre à résoudre des systèmes en utilisant les méthodes ci-dessus.

Tout d’abord, nous examinerons de plus près la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pour quoi? – Après tout, le système le plus simple peut être résolu en utilisant la méthode scolaire, la méthode de l’addition terme par terme !

Le fait est que, bien que parfois, une telle tâche se produit : résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide des formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour un cas plus complexe : un système de trois équations à trois inconnues.

De plus, il existe des systèmes d’équations linéaires à deux variables, qu’il est conseillé de résoudre en utilisant la règle de Cramer !

Considérons le système d'équations

Dans un premier temps, on calcule le déterminant, on l'appelle principal déterminant du système.

Méthode Gauss.

Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux déterminants supplémentaires :
Et

En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.

On trouve les racines de l'équation à l'aide des formules :
,

Exemple 7

Résoudre un système d'équations linéaires

Solution: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands, à droite il y a décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans tâches pratiques en mathématiques, j'ai tiré ce système d'un problème économétrique.

Comment résoudre un tel système ? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en termes d'une autre, mais dans ce cas, vous vous retrouverez probablement avec des fractions fantaisistes terribles avec lesquelles il est extrêmement gênant de travailler, et la conception de la solution aura l'air tout simplement terrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et soustraire terme par terme, mais les mêmes fractions apparaîtront ici aussi.

Ce qu'il faut faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.

;

;

Répondre: ,

Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes d'économétrie.

Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, puisque la tâche est résolue à l'aide de formules toutes faites. Il y a cependant une mise en garde. Lorsque vous utilisez cette méthode, obligatoire Un fragment de la conception de la tâche est le fragment suivant : "Cela signifie que le système a une solution unique". Sinon, le critique pourrait vous punir pour manque de respect au théorème de Cramer.

Il ne serait pas superflu de vérifier, ce qui peut être facilement effectué sur une calculatrice : on substitue des valeurs approximatives dans le côté gauche de chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, vous devriez obtenir des nombres qui se trouvent du bon côté.

Exemple 8

Présentez la réponse sous forme de fractions impropres ordinaires. Faites une vérification.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (un exemple de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Passons maintenant à la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues :

On retrouve le déterminant principal du système :

Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n’a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer ne vous aidera pas ; vous devez utiliser la méthode de Gauss.

Si , alors le système a une solution unique et pour trouver les racines, nous devons calculer trois déterminants supplémentaires :
, ,

Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules :

Comme vous pouvez le constater, le cas « trois par trois » n'est fondamentalement pas différent du cas « deux par deux » ; la colonne de termes libres « marche » séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.

Exemple 9

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer.

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre: .

En fait, là encore, il n'y a rien de particulier à commenter, du fait que la solution suit des formules toutes faites. Mais il y a quelques commentaires.

Il arrive qu'à la suite de calculs, on obtienne de « mauvaises » fractions irréductibles, par exemple : .
je recommande prochain algorithme"traitement". Si vous n'avez pas d'ordinateur à portée de main, procédez comme suit :

1) Il peut y avoir une erreur dans les calculs. Dès que vous rencontrez une « mauvaise » fraction, vous devez immédiatement vérifier La condition est-elle réécrite correctement ?. Si la condition est réécrite sans erreur, vous devez alors recalculer les déterminants en utilisant le développement dans une autre ligne (colonne).

2) Si aucune erreur n'est identifiée à la suite de la vérification, il y a probablement eu une faute de frappe dans les conditions de la tâche. Dans ce cas, travaillez calmement et ATTENTIVEMENT jusqu'au bout de la tâche, puis assurez-vous de vérifier et nous le dressons sur une feuille vierge après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnée est une tâche désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour l'enseignant, qui aime vraiment donner un moins à toute connerie comme . La façon de gérer les fractions est décrite en détail dans la réponse à l'exemple 8.

Si vous disposez d'un ordinateur, utilisez un programme automatisé pour vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. D'ailleurs, il est plus rentable d'utiliser le programme tout de suite (avant même de commencer la solution, vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire où vous avez commis une erreur) ; La même calculatrice calcule automatiquement la solution du système méthode matricielle.

Deuxième remarque. De temps en temps, il existe des systèmes dans les équations desquels certaines variables manquent, par exemple :

Ici, dans la première équation, il n'y a pas de variable, dans la seconde, il n'y a pas de variable. Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et ATTENTIVEMENT le déterminant principal :
– des zéros sont placés à la place des variables manquantes.
À propos, il est rationnel d'ouvrir les déterminants avec des zéros en fonction de la ligne (colonne) dans laquelle se trouve le zéro, car il y a sensiblement moins de calculs.

Exemple 10

Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer.

Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).

Pour le cas d’un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer s’écrivent selon des principes similaires. Vous pouvez voir un exemple réel dans la leçon Propriétés des déterminants. Réduire l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Même si la tâche rappelle déjà beaucoup la chaussure d’un professeur sur la poitrine d’un étudiant chanceux.

Résoudre le système à l'aide d'une matrice inverse

La méthode matricielle inverse est essentiellement un cas particulier équation matricielle(Voir exemple n°3 de la leçon spécifiée).

Pour étudier cette section, vous devez être capable de développer des déterminants, de trouver l'inverse d'une matrice et d'effectuer une multiplication matricielle. Des liens pertinents seront fournis au fur et à mesure de la progression des explications.

Exemple 11

Résoudre le système en utilisant la méthode matricielle

Solution: Écrivons le système sous forme matricielle :
, Où

Veuillez regarder le système d'équations et de matrices. Je pense que tout le monde comprend le principe par lequel nous écrivons des éléments dans des matrices. Seul commentaire : si certaines variables manquaient dans les équations, il faudrait alors placer des zéros aux endroits correspondants dans la matrice.

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice.

Examinons d’abord le déterminant :

Ici, le déterminant est développé sur la première ligne.

Attention! Si , alors la matrice inverse n’existe pas et il est impossible de résoudre le système en utilisant la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss).

Nous devons maintenant calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs.

Référence: Il est utile de connaître la signification des indices doubles en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve l'élément :

Autrement dit, un double indice indique que l'élément se trouve dans la première ligne, la troisième colonne et, par exemple, l'élément est dans la 3e ligne et la 2e colonne.