Dans cet article, la méthode est considérée comme un moyen de résoudre des systèmes équations linéaires(SLAU). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle permet d'écrire un algorithme de solution dans vue générale, puis remplacez-y les valeurs d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss, vous pouvez également travailler avec celles qui ont un nombre infini de solutions. Ou alors ils ne l'ont pas du tout.

Que signifie résoudre en utilisant la méthode gaussienne ?

Tout d’abord, nous devons écrire notre système d’équations. Cela ressemble à ceci. Prenons le système :

Les coefficients sont écrits sous forme de tableau et les termes libres sont écrits dans une colonne séparée à droite. La colonne avec les membres libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui inclut cette colonne est appelée étendue.

Ensuite, la matrice principale avec les coefficients doit être réduite à une forme triangulaire supérieure. C’est le point principal de la résolution du système par la méthode gaussienne. En termes simples, après certaines manipulations, la matrice devrait ressembler à ce que sa partie inférieure gauche ne contienne que des zéros :

Ensuite, si vous écrivez à nouveau la nouvelle matrice sous forme de système d'équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur de l'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, une autre racine est trouvée, et ainsi de suite.

Ceci est une description de la solution par la méthode gaussienne dans la forme la plus aperçu général. Que se passe-t-il si soudainement le système n’a plus de solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d’autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la résolution de la méthode gaussienne.

Matrices, leurs propriétés

Aucun sens caché pas dans la matrice. C'est simple moyen pratique enregistrer des données pour des opérations ultérieures avec eux. Même les écoliers n’ont pas besoin d’en avoir peur.

La matrice est toujours rectangulaire, car elle est plus pratique. Même dans la méthode Gauss, où tout se résume à construire une matrice de forme triangulaire, un rectangle apparaît dans l'entrée, uniquement avec des zéros aux endroits où il n'y a pas de nombres. Les zéros ne sont peut-être pas écrits, mais ils sont implicites.

La matrice a une taille. Sa « largeur » est le nombre de lignes (m), sa « longueur » est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (des lettres latines majuscules sont généralement utilisées pour les désigner) sera notée A m×n. Si m=n, alors cette matrice est carrée, et m=n est son ordre. En conséquence, tout élément de la matrice A peut être désigné par ses numéros de ligne et de colonne : a xy ; x - numéro de ligne, modifications, y - numéro de colonne, modifications.

B n'est pas le point principal de la décision. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais la notation sera beaucoup plus lourde et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.

Déterminant

La matrice a également un déterminant. C'est très caractéristique importante. Il n'est pas nécessaire de découvrir sa signification maintenant ; vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis indiquer quelles propriétés de la matrice il détermine. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant consiste à utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments situés sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont additionnés : diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe plus, avec une pente vers la gauche - avec un signe moins.

Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour une matrice rectangulaire, vous pouvez procéder comme suit : choisir le plus petit parmi le nombre de lignes et le nombre de colonnes (que ce soit k), puis marquer au hasard k colonnes et k lignes dans la matrice. Les éléments à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées formeront une nouvelle matrice carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre non nul, on l'appelle la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.

Avant de commencer à résoudre un système d’équations à l’aide de la méthode gaussienne, cela ne fait pas de mal de calculer le déterminant. S'il s'avère nul, alors on peut immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit aucune. Dans un cas aussi triste, il faut aller plus loin et se renseigner sur le rang de la matrice.

Classement du système

Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (si l'on se souvient de mineur de base, on peut dire que le rang de la matrice est l'ordre de la base mineure).

En fonction de la situation du rang, le SLAE peut être divisé en :

• Articulation. U Dans les systèmes conjoints, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de termes libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, c'est pourquoi les systèmes communs sont en outre divisés en :
• - certain- avoir une seule solution. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, ce qui revient au même) sont égaux ;
• - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices pour de tels systèmes moins de quantité inconnu.
• Incompatible. U Dans de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n’ont pas de solution.

La méthode de Gauss est bonne car lors de la solution elle permet d'obtenir soit une preuve sans ambiguïté de l'incohérence du système (sans calculer les déterminants des grandes matrices), soit une solution sous forme générale pour un système avec un nombre infini de solutions.

Transformations élémentaires

Avant de procéder directement à la résolution du système, vous pouvez le rendre moins encombrant et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé grâce à des transformations élémentaires - de telle sorte que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il convient de noter que certaines des transformations élémentaires données ne sont valables que pour les matrices dont la source était le SLAE. Voici une liste de ces transformations :

1. Réorganisation des lignes. Évidemment, si vous modifiez l'ordre des équations dans l'enregistrement système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, les lignes de la matrice de ce système peuvent également être interverties, sans oublier bien sûr la colonne des termes libres.
2. Multiplier tous les éléments d'une chaîne par un certain coefficient. Très utile ! Il peut être utilisé pour réduire les grands nombres dans une matrice ou supprimer les zéros. Comme d'habitude, de nombreuses décisions ne changeront pas, mais d'autres opérations deviendront plus pratiques. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
3. Suppression des lignes avec des facteurs proportionnels. Cela découle en partie du paragraphe précédent. Si deux lignes ou plus d'une matrice ont des coefficients proportionnels, alors lorsque l'une des lignes est multipliée/divisée par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et les lignes supplémentaires peuvent être supprimées, laissant seulement un.
4. Suppression d'une ligne nulle. Si, lors de la transformation, une ligne est obtenue quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le terme libre, sont nuls, alors une telle ligne peut être appelée zéro et expulsée de la matrice.
5. Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments d'une autre (dans les colonnes correspondantes), multipliés par un certain coefficient. La transformation la plus discrète et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.

Ajouter une chaîne multipliée par un facteur

Pour faciliter la compréhension, il convient de décomposer ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :

une 11 une 12 ... une 1n | b1

une 21 une 22 ... une 2n | b2

Disons que vous devez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".

une" 21 = une 21 + -2×une 11

une" 22 = une 22 + -2×une 12

une" 2n = une 2n + -2×une 1n

Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.

une 11 une 12 ... une 1n | b1

une" 21 une" 22 ... une" 2n | b 2

Il convient de noter que le coefficient de multiplication peut être choisi de telle sorte que, suite à l'ajout de deux lignes, l'un des éléments nouvelle ligneétait égal à zéro. Il est donc possible d’obtenir une équation dans un système où il y aura une inconnue en moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra deux inconnues de moins. Et si à chaque fois vous mettez à zéro un coefficient de toutes les lignes qui sont inférieures à celui d'origine, alors vous pouvez, comme des escaliers, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C’est ce qu’on appelle la résolution du système par la méthode gaussienne.

En général

Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Vous pouvez l'écrire ainsi :

La matrice principale est compilée à partir des coefficients du système. Une colonne de termes libres est ajoutée à la matrice étendue et, pour plus de commodité, séparée par une ligne.

• la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 /a 11) ;
• la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
• au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'ajout du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
• maintenant le premier coefficient dans nouvelle seconde la ligne est un 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont impliquées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par a 31. Puis tout se répète pour un 41,... un m1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est zéro. Vous devez maintenant oublier la ligne numéro un et exécuter le même algorithme, en commençant par la ligne deux :

• coefficient k = (-a 32 /a 22) ;
• la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne « courante » ;
• le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, etc. lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
• dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.

L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m,m-1 /a mm) apparaisse. Cela signifie que dans dernière fois l'algorithme a été exécuté uniquement pour l'équation inférieure. Maintenant, la matrice ressemble à un triangle ou a une forme en escalier. En fin de compte, il y a l’égalité a mn × x n = b m. Le coefficient et le terme libre sont connus, et la racine s'exprime à travers eux : x n = b m /a mn. La racine résultante est remplacée dans la ligne supérieure pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Et ainsi de suite par analogie : dans chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine et, après avoir atteint le « sommet » du système, vous pouvez trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.

Quand il n'y a pas de solutions

Si dans l'une des lignes de la matrice tous les éléments sauf le terme libre sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n’y a pas de solution. Et puisqu'une telle équation est incluse dans le système, alors l'ensemble des solutions de l'ensemble du système est vide, c'est-à-dire dégénéré.

Quand il existe un nombre infini de solutions

Il peut arriver que dans la matrice triangulaire donnée, il n'y ait pas de lignes avec un élément de coefficient de l'équation et un terme libre. Il n’y a que des lignes qui, une fois réécrites, ressembleraient à une équation avec deux variables ou plus. Cela signifie que le système possède un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d’une solution générale. Comment faire cela ?

Toutes les variables de la matrice sont divisées en variables de base et gratuites. Les plus basiques sont ceux qui se trouvent « au bord » des lignes de la matrice d’étapes. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites via des variables libres.

Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans un système d'équations. Ensuite, dans le dernier d’entre eux, où il ne reste exactement qu’une seule variable de base, elle reste d’un côté et tout le reste est transféré de l’autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, dans les équations restantes, lorsque cela est possible, l'expression obtenue est substituée à la variable de base. Si le résultat est à nouveau une expression contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite sous forme d'expression à variables libres. C'est ça solution générale SLAU.

Vous pouvez également trouver la solution de base du système - donner des valeurs aux variables libres, puis pour ce cas spécifique, calculer les valeurs des variables de base. Il existe un nombre infini de solutions particulières qui peuvent être proposées.

Solution avec des exemples spécifiques

Voici un système d'équations.

Pour plus de commodité, il vaut mieux créer immédiatement sa matrice

On sait que lorsqu'elle est résolue par la méthode gaussienne, l'équation correspondant à la première ligne restera inchangée à la fin des transformations. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations deviendront zéro. Cela signifie que dans la matrice compilée il sera avantageux de mettre la deuxième ligne à la place de la première.

deuxième ligne : k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

une" 21 = une 21 + k×une 11 = 3 + (-3)×1 = 0

une" 22 = une 22 + k×une 12 = -1 + (-3)×2 = -7

une" 23 = une 23 + k×une 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

troisième ligne : k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

une" 3 1 = une 3 1 + k×une 11 = 5 + (-5)×1 = 0

une" 3 2 = une 3 2 + k×une 12 = 1 + (-5)×2 = -9

une" 3 3 = une 33 + k×une 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Maintenant, pour ne pas vous tromper, vous devez écrire une matrice avec les résultats intermédiaires des transformations.

Évidemment, une telle matrice peut être rendue plus pratique pour la perception à l'aide de certaines opérations. Par exemple, vous pouvez supprimer tous les « moins » de la deuxième ligne en multipliant chaque élément par « -1 ».

Il convient également de noter que dans la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la chaîne de ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps, pour supprimer valeurs négatives).

Ça a l'air beaucoup plus joli. Nous devons maintenant laisser la première ligne tranquille et travailler avec la deuxième et la troisième. La tâche consiste à ajouter la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par un coefficient tel que l'élément a 32 devienne égal à zéro.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si lors de certaines transformations la réponse ne s'avère pas être un nombre entier, il est recommandé de maintenir l'exactitude des calculs pour laisser "tel quel", sous la forme de fractions ordinaires, et seulement ensuite, lorsque les réponses sont reçues, décidez s'il faut arrondir et convertir vers une autre forme d'enregistrement)

une" 32 = une 32 + k×une 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

une" 33 = une 33 + k×une 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Comme vous pouvez le constater, la matrice résultante a déjà une forme échelonnée. Par conséquent, d’autres transformations du système utilisant la méthode gaussienne ne sont pas nécessaires. Ce que vous pouvez faire ici, c'est supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.

Maintenant, tout est beau. Il ne reste plus qu'à réécrire la matrice sous la forme d'un système d'équations et à calculer les racines

x + 2y + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

L'algorithme par lequel les racines vont maintenant être trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode gaussienne. L'équation (3) contient la valeur z :

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Et la première équation nous permet de trouver x :

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Nous avons le droit de qualifier un tel système de commun, voire de définitif, c'est-à-dire d'avoir une solution unique. La réponse s'écrit sous la forme suivante :

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemple de système incertain

L'option de résolution d'un certain système à l'aide de la méthode de Gauss a été analysée ; il est maintenant nécessaire de considérer le cas si le système est incertain, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peuvent être trouvées pour lui.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

L'apparence même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues est n = 5, et le rang de la matrice système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire l'ordre le plus élevé du carré déterminant est 4. Cela signifie qu'il existe un nombre infini de solutions et qu'il faut rechercher son apparence générale. La méthode Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.

Tout d'abord, comme d'habitude, une matrice étendue est compilée.

Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 /a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher à quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 /a 11) = -5

En multipliant tour à tour les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients et en les ajoutant aux lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante :

Comme vous pouvez le constater, les deuxième, troisième et quatrième rangées sont constituées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement identiques, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste peut être multiplié par le coefficient « -1 » et obtenir la ligne numéro 3. Et encore une fois, sur deux lignes identiques, laissez-en une.

Le résultat est une matrice comme celle-ci. Bien que le système n'ait pas encore été écrit, il est nécessaire de déterminer ici les variables de base - celles qui correspondent aux coefficients a 11 = 1 et a 22 = 1, et les variables libres - tout le reste.

Dans la deuxième équation, il n'y a qu'une seule variable de base - x 2. Cela signifie qu'il peut être exprimé à partir de là en l'écrivant via les variables x 3 , x 4 , x 5 , qui sont libres.

Nous substituons l'expression résultante dans la première équation.

Le résultat est une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1 . Faisons la même chose avec cela qu'avec x 2.

Toutes les variables de base, au nombre de deux, sont exprimées en termes de trois variables libres ; nous pouvons maintenant écrire la réponse sous forme générale ;

Vous pouvez également spécifier une des solutions particulières du système. Pour de tels cas, les zéros sont généralement choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse sera :

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemple de système non coopératif

Solution systèmes incompatibleséquations par la méthode gaussienne - la plus rapide. Elle se termine immédiatement dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation sans solution. C'est-à-dire que l'étape de calcul des racines, qui est assez longue et fastidieuse, est éliminée. On considère le système suivant :

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Comme d'habitude, la matrice est compilée :

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Et cela se réduit à une forme pas à pas :

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme

sans solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse sera l’ensemble vide.

Avantages et inconvénients de la méthode

Si vous choisissez la méthode pour résoudre les SLAE sur papier avec un stylo, alors la méthode discutée dans cet article semble la plus attrayante. Il est beaucoup plus difficile de se perdre dans les transformations élémentaires que si vous devez rechercher manuellement un déterminant ou une matrice inverse délicate. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes contiennent déjà des algorithmes permettant de calculer les principaux paramètres des matrices - déterminant, mineurs, inverse, etc. Et si vous êtes sûr que la machine calculera elle-même ces valeurs et ne fera pas d'erreurs, il est plus conseillé d'utiliser méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et des matrices inverses.

Application

Puisque la solution gaussienne est un algorithme et que la matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais comme l'article se positionne comme un guide « pour les nuls », il faut dire que l'endroit le plus simple pour appliquer la méthode est les feuilles de calcul, par exemple Excel. Là encore, tout SLAE saisi dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il existe de nombreuses commandes intéressantes : addition (vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille !), multiplication par un nombre, multiplication de matrices (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées et, surtout , calculant le déterminant. Si cette tâche chronophage est remplacée par une seule commande, il est possible de déterminer beaucoup plus rapidement le rang de la matrice et donc d'établir sa compatibilité ou son incompatibilité.

Définition et description de la méthode gaussienne

La méthode de transformation gaussienne (également connue sous le nom d'élimination séquentielle de variables inconnues d'une équation ou d'une matrice) pour résoudre des systèmes d'équations linéaires est une méthode classique pour résoudre un système. équations algébriques(SLAU). Cette méthode classique est également utilisée pour résoudre des problèmes tels que l'obtention matrices inverses et déterminer le rang de la matrice.

La transformation par la méthode gaussienne consiste à apporter de petites modifications séquentielles (élémentaires) à un système d'équations algébriques linéaires, conduisant à l'élimination de variables de haut en bas avec la formation d'un nouveau système d'équations triangulaire équivalent à l'original. un.

Définition 1

Cette partie de la solution est appelée solution gaussienne directe, puisque l’ensemble du processus s’effectue de haut en bas.

Après avoir réduit le système d'équations d'origine à un système triangulaire, toutes les variables du système sont trouvées de bas en haut (c'est-à-dire que les premières variables trouvées sont situées précisément sur les dernières lignes du système ou de la matrice). Cette partie de la solution est également connue sous le nom d’inverse de la solution gaussienne. Son algorithme est le suivant : d'abord, les variables les plus proches du bas du système d'équations ou de la matrice sont calculées, puis les valeurs résultantes sont substituées plus haut et ainsi une autre variable est trouvée, et ainsi de suite.

Description de l'algorithme de la méthode gaussienne

La séquence d'actions pour la solution générale d'un système d'équations par la méthode gaussienne consiste à appliquer alternativement des traits avant et arrière à la matrice basée sur le SLAE. Soit le système d’équations initial de la forme suivante :

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cas)$

Pour résoudre les SLAE par la méthode gaussienne, il est nécessaire d'écrire le système d'équations d'origine sous la forme d'une matrice :

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

La matrice $A$ est appelée matrice principale et représente les coefficients des variables écrits dans l'ordre, et $b$ est appelée la colonne de ses termes libres. La matrice $A$, écrite à travers une barre avec une colonne de termes libres, est appelée matrice étendue :

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Or il faut, à l'aide de transformations élémentaires sur le système d'équations (ou sur la matrice, puisque c'est plus pratique), le ramener à la forme suivante :

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cas)$ (1)

La matrice obtenue à partir des coefficients du système d'équation transformé (1) est appelée une matrice par étapes, voici à quoi ressemblent généralement les matrices par étapes :

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(tableau)$

Ces matrices sont caractérisées par l'ensemble de propriétés suivant :

1. Toutes ses lignes nulles viennent après des lignes non nulles
2. Si une ligne d'une matrice de numéro $k$ est différente de zéro, alors la ligne précédente de la même matrice a moins de zéros que celle de numéro $k$.

Après avoir obtenu la matrice d'étapes, il est nécessaire de substituer les variables résultantes dans les équations restantes (en commençant par la fin) et d'obtenir les valeurs restantes des variables.

Règles de base et transformations autorisées lors de l'utilisation de la méthode gaussienne

Lors de la simplification d'une matrice ou d'un système d'équations à l'aide de cette méthode, vous devez utiliser uniquement des transformations élémentaires.

De telles transformations sont considérées comme des opérations qui peuvent être appliquées à une matrice ou à un système d'équations sans en changer le sens :

• réarrangement de plusieurs lignes,
• ajouter ou soustraire d'une ligne d'une matrice une autre ligne,
• multiplier ou diviser une chaîne par une constante non égale à zéro,
• une ligne composée uniquement de zéros, obtenue lors du processus de calcul et de simplification du système, doit être supprimée,
• Vous devez également supprimer les lignes proportionnelles inutiles, en choisissant pour le système la seule avec des coefficients plus adaptés et plus pratiques pour des calculs ultérieurs.

Toutes les transformations élémentaires sont réversibles.

Analyse des trois cas principaux qui se présentent lors de la résolution d'équations linéaires par la méthode des transformations simples de Gauss

Trois cas se présentent lors de l'utilisation de la méthode gaussienne pour résoudre des systèmes :

1. Lorsqu’un système est incohérent, c’est-à-dire qu’il n’a aucune solution
2. Le système d'équations a une solution, unique, et le nombre de lignes et de colonnes non nulles dans la matrice est égal les uns aux autres.
3. Le système a une certaine quantité ou un ensemble solutions possibles, et le nombre de lignes qu'il contient est inférieur au nombre de colonnes.

Résultat d'une solution avec un système incohérent

Pour cette option, lors de la résolution d'une équation matricielle à l'aide de la méthode gaussienne, il est typique d'obtenir une ligne avec l'impossibilité de réaliser l'égalité. Par conséquent, si au moins une égalité incorrecte se produit, les systèmes résultants et originaux n’ont pas de solutions, quelles que soient les autres équations qu’ils contiennent. Un exemple de matrice incohérente :

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Dans la dernière ligne il y a une égalité impossible : $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Un système d'équations qui n'a qu'une seule solution

Ces systèmes, après avoir été réduits à une matrice par étapes et supprimé les lignes contenant des zéros, ont le même nombre de lignes et de colonnes dans la matrice principale. Ici exemple le plus simple un tel système :

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Écrivons-le sous forme de matrice :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Pour ramener à zéro la première cellule de la deuxième ligne, multipliez la ligne du haut par $-2$ et soustrayez-la de la ligne du bas de la matrice, et ligne supérieure Laissons-le sous sa forme originale, on se retrouve avec ceci :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Cet exemple peut être écrit sous forme de système :

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

L'équation inférieure donne la valeur suivante pour $x$ : $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Remplacez cette valeur dans l'équation supérieure : $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, nous obtenons $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Un système avec de nombreuses solutions possibles

Ce système se caractérise par un nombre de lignes significatives inférieur au nombre de colonnes qu'il contient (les lignes de la matrice principale sont prises en compte).

Les variables d'un tel système sont divisées en deux types : basiques et gratuites. Lors de la transformation d'un tel système, les principales variables qu'il contient doivent être laissées dans la zone de gauche jusqu'au signe « = », et les variables restantes doivent être déplacées vers la droite de l'égalité.

Un tel système n’a qu’une certaine solution générale.

Analysons le système d'équations suivant :

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Écrivons-le sous forme de matrice :

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Notre tâche est de trouver une solution générale au système. Pour cette matrice, les variables de base seront $y_1$ et $y_3$ (pour $y_1$ - puisqu'il vient en premier, et dans le cas de $y_3$ - il se situe après les zéros).

Comme variables de base, nous choisissons exactement celles qui sont les premières de la ligne et qui ne sont pas égales à zéro.

Les variables restantes sont dites libres ; nous devons exprimer les variables de base à travers elles.

En utilisant ce que l'on appelle le trait inverse, nous analysons le système de bas en haut ; pour ce faire, nous exprimons d'abord $y_3$ à partir de la ligne inférieure du système :

$5a_3 – 4a_4 = 1$

$5a_3 = 4a_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Maintenant, nous substituons le $y_3$ exprimé dans l'équation supérieure du système $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ : $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Nous exprimons $y_1$ en termes de variables libres $y_2$ et $y_4$ :

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

La solution est prête.

Exemple 1

Résolvez le slough en utilisant la méthode gaussienne. Exemples. Un exemple de résolution d'un système d'équations linéaires donné par une matrice 3 par 3 en utilisant la méthode gaussienne

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Écrivons notre système sous la forme d'une matrice étendue :

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Maintenant, pour des raisons de commodité et de praticité, vous devez transformer la matrice de manière à ce que $1$ se trouve dans le coin supérieur de la colonne la plus externe.

Pour ce faire, à la 1ère ligne, vous devez ajouter la ligne du milieu, multipliée par $-1$, et écrire la ligne du milieu elle-même telle quelle, il s'avère :

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multipliez les lignes du haut et de la dernière par $-1$ et échangez également les lignes de la dernière et du milieu :

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Et divisez la dernière ligne par $3$ :

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

On obtient le système d’équations suivant, équivalent à celui d’origine :

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

À partir de l'équation supérieure, nous exprimons $x_1$ :

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Exemple 2

Un exemple de résolution d'un système défini à l'aide d'une matrice 4 par 4 en utilisant la méthode gaussienne

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(tableau)$.

Au début, nous échangeons les lignes du haut qui le suivent pour obtenir $1$ dans le coin supérieur gauche :

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(tableau)$.

Multipliez maintenant la ligne du haut par $-2$ et ajoutez au 2ème et au 3ème. Au 4ème on ajoute la 1ère ligne, multipliée par $-3$ :

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(tableau)$

Maintenant, à la ligne numéro 3, nous ajoutons la ligne 2 multipliée par 4$, et à la ligne 4 nous ajoutons la ligne 2 multipliée par -1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(tableau)$

Nous multiplions la ligne 2 par $-1$, divisons la ligne 4 par 3$ et remplaçons la ligne 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(tableau)$

Maintenant, nous ajoutons à la dernière ligne l'avant-dernière, multipliée par $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(tableau)$

Nous résolvons le système d'équations résultant :

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

Depuis le début des XVIe et XVIIIe siècles, les mathématiciens ont commencé à étudier de manière intensive les fonctions, grâce auxquelles tant de choses ont changé dans nos vies. La technologie informatique n’existerait tout simplement pas sans cette connaissance. Divers concepts, théorèmes et techniques de résolution ont été créés pour résoudre des problèmes, des équations linéaires et des fonctions complexes. L'une de ces méthodes et techniques universelles et rationnelles pour résoudre des équations linéaires et leurs systèmes était la méthode de Gauss. Les matrices, leur rang, leur déterminant, tout peut être calculé sans recourir à des opérations complexes.

Qu'est-ce que SLAU

En mathématiques, il existe le concept de SLAE - un système d'équations algébriques linéaires. Comment est-elle ? Il s'agit d'un ensemble de m équations avec les n quantités inconnues requises, généralement notées x, y, z ou x 1, x 2 ... x n, ou d'autres symboles. Résoudre par la méthode gaussienne ce système- signifie trouver toutes les inconnues inconnues. Si le système a même numéro inconnues et équations, on parle alors d’un système d’ordre n.

Les méthodes les plus populaires pour résoudre les SLAE

DANS établissements d'enseignement Les élèves du secondaire étudient diverses méthodes pour résoudre de tels systèmes. Le plus souvent, il s'agit d'équations simples composées de deux inconnues, donc toute méthode existante pour trouver la réponse ne prendra pas beaucoup de temps. Cela peut ressembler à une méthode de substitution, lorsqu’une autre est dérivée d’une équation et remplacée par celle d’origine. Ou la méthode de soustraction et d’addition terme par terme. Mais la méthode de Gauss est considérée comme la plus simple et la plus universelle. Il permet de résoudre des équations avec un nombre quelconque d'inconnues. Pourquoi cette technique particulière est-elle considérée comme rationnelle ? C'est simple. L'avantage de la méthode matricielle est qu'elle ne nécessite pas de réécrire plusieurs fois les symboles inutiles sous forme d'inconnues ; il suffit d'effectuer des opérations arithmétiques sur les coefficients - et vous obtiendrez un résultat fiable.

Où les SLAE sont-ils utilisés dans la pratique ?

La solution aux SLAE réside dans les points d’intersection des lignes sur les graphiques de fonctions. À l'ère de l'informatique de haute technologie, les personnes étroitement associées au développement de jeux et d'autres programmes doivent savoir comment résoudre de tels systèmes, ce qu'ils représentent et comment vérifier l'exactitude du résultat obtenu. Le plus souvent, les programmeurs développent des programmes spéciaux de calcul d'algèbre linéaire, qui comprennent également un système d'équations linéaires. La méthode Gauss permet de calculer toutes les solutions existantes. D'autres formules et techniques simplifiées sont également utilisées.

Critère de compatibilité SLAU

Un tel système ne peut être résolu que s’il est compatible. Pour plus de clarté, représentons le SLAE sous la forme Ax=b. Il a une solution si rang(A) est égal à rang(A,b). Dans ce cas, (A,b) est une matrice de forme étendue qui peut être obtenue à partir de la matrice A en la réécrivant avec des termes libres. Il s'avère que résoudre des équations linéaires à l'aide de la méthode gaussienne est assez simple.

Peut-être que certains symboles ne sont pas tout à fait clairs, il est donc nécessaire de tout considérer avec un exemple. Disons qu'il existe un système : x+y=1 ; 2x-3 ans=6. Il se compose de seulement deux équations dans lesquelles il y a 2 inconnues. Le système n'aura de solution que si le rang de sa matrice est égal au rang de la matrice étendue. Qu'est-ce que le rang ? C'est le nombre de lignes indépendantes du système. Dans notre cas, le rang de la matrice est 2. La matrice A sera constituée de coefficients situés à proximité des inconnues, et les coefficients situés derrière le signe « = » rentrent également dans la matrice étendue.

Pourquoi les SLAE peuvent-ils être représentés sous forme matricielle ?

Sur la base du critère de compatibilité selon le théorème éprouvé de Kronecker-Capelli, un système d'équations algébriques linéaires peut être représenté sous forme matricielle. En utilisant la méthode de la cascade gaussienne, vous pouvez résoudre la matrice et obtenir une réponse unique et fiable pour l'ensemble du système. Si le rang d'une matrice ordinaire est égal au rang de sa matrice étendue, mais est inférieur au nombre d'inconnues, alors le système a un nombre infini de réponses.

Transformations matricielles

Avant de passer à la résolution de matrices, vous devez savoir quelles actions peuvent être effectuées sur leurs éléments. Il existe plusieurs transformations élémentaires :

• En réécrivant le système sous forme matricielle et en le résolvant, vous pouvez multiplier tous les éléments de la série par le même coefficient.
• Afin de transformer la matrice sous forme canonique, vous pouvez échanger deux lignes parallèles. La forme canonique implique que tous les éléments de la matrice situés le long de la diagonale principale deviennent des uns et que les éléments restants deviennent des zéros.
• Les éléments correspondants de lignes parallèles de la matrice peuvent être additionnés les uns aux autres.

Méthode Jordan-Gauss

L'essence de la résolution de systèmes d'équations linéaires homogènes et inhomogènes à l'aide de la méthode gaussienne est d'éliminer progressivement les inconnues. Disons que nous avons un système de deux équations dans lequel il y a deux inconnues. Pour les trouver, vous devez vérifier la compatibilité du système. L'équation est résolue très simplement par la méthode de Gauss. Il faut noter les coefficients situés à proximité de chaque inconnue sous forme matricielle. Pour résoudre le système, vous devrez écrire la matrice étendue. Si l'une des équations contient un plus petit nombre d'inconnues, alors « 0 » doit être mis à la place de l'élément manquant. Tous s'appliquent à la matrice méthodes connues transformations : multiplication, division par un nombre, ajout d'éléments de série correspondants les uns aux autres et aux autres. Il s'avère que dans chaque ligne, il est nécessaire de laisser une variable avec la valeur « 1 », le reste doit être réduit à zéro. Pour une compréhension plus précise, il est nécessaire de considérer la méthode de Gauss avec des exemples.

Un exemple simple de résolution d'un système 2x2

Pour commencer, prenons un système simple d'équations algébriques, dans lequel il y aura 2 inconnues.

Réécrivons-le dans une matrice étendue.

Pour résoudre ce système d’équations linéaires, seules deux opérations sont nécessaires. Nous devons amener la matrice sous forme canonique afin qu’il y en ait un le long de la diagonale principale. Ainsi, en transférant de la forme matricielle au système, nous obtenons les équations : 1x+0y=b1 et 0x+1y=b2, où b1 et b2 sont les réponses résultantes du processus de résolution.

1. La première action lors de la résolution d'une matrice étendue sera la suivante : la première ligne doit être multipliée par -7 et ajouter les éléments correspondants à la deuxième ligne afin de se débarrasser d'une inconnue dans la deuxième équation.
2. Puisque la résolution d'équations par la méthode de Gauss implique de réduire la matrice à une forme canonique, il est alors nécessaire d'effectuer les mêmes opérations avec la première équation et de supprimer la deuxième variable. Pour ce faire, nous soustrayons la deuxième ligne de la première et obtenons la réponse requise - la solution du SLAE. Ou, comme le montre la figure, nous multiplions la deuxième ligne par un facteur de -1 et ajoutons les éléments de la deuxième ligne à la première ligne. C'est la même chose.

Comme nous pouvons le voir, notre système a été résolu par la méthode Jordan-Gauss. On le réécrit sous la forme requise : x=-5, y=7.

Un exemple de solution SLAE 3x3

Supposons que nous ayons un système d'équations linéaires plus complexe. La méthode Gauss permet de calculer la réponse même pour le système le plus déroutant. Par conséquent, afin d'approfondir la méthodologie de calcul, vous pouvez passer à plus exemple complexe avec trois inconnues.

Comme dans l'exemple précédent, nous réécrivons le système sous la forme d'une matrice étendue et commençons à l'amener à sa forme canonique.

Pour résoudre ce système, vous devrez effectuer beaucoup plus d’actions que dans l’exemple précédent.

1. Vous devez d’abord faire de la première colonne un élément unitaire et le reste des zéros. Pour ce faire, multipliez la première équation par -1 et ajoutez-y la deuxième équation. Il est important de se rappeler que nous réécrivons la première ligne sous sa forme originale et la seconde sous une forme modifiée.
2. Ensuite, nous supprimons la même première inconnue de la troisième équation. Pour cela, multipliez les éléments de la première ligne par -2 et ajoutez-les à la troisième ligne. Maintenant, les première et deuxième lignes sont réécrites dans leur forme originale et la troisième avec des modifications. Comme vous pouvez le voir sur le résultat, nous avons obtenu le premier au début de la diagonale principale de la matrice et les zéros restants. Encore quelques étapes et le système d'équations par la méthode gaussienne sera résolu de manière fiable.
3. Vous devez maintenant effectuer des opérations sur d'autres éléments des lignes. Les troisième et quatrième actions peuvent être combinées en une seule. Nous devons diviser les deuxième et troisième lignes par -1 pour éliminer les moins sur la diagonale. Nous avons déjà amené la troisième ligne à la forme requise.
4. Ensuite, nous mettons la deuxième ligne sous forme canonique. Pour ce faire, on multiplie les éléments de la troisième ligne par -3 et on les ajoute à la deuxième ligne de la matrice. D’après le résultat, il est clair que la deuxième ligne est également réduite à la forme dont nous avons besoin. Il reste à effectuer quelques opérations supplémentaires et à supprimer les coefficients des inconnues de la première ligne.
5. Pour faire 0 à partir du deuxième élément d'une ligne, vous devez multiplier la troisième ligne par -3 et l'ajouter à la première ligne.
6. La prochaine étape décisive sera d'ajouter les éléments nécessaires de la deuxième rangée à la première rangée. De cette façon, nous obtenons la forme canonique de la matrice et, par conséquent, la réponse.

Comme vous pouvez le constater, résoudre des équations à l'aide de la méthode de Gauss est assez simple.

Un exemple de résolution d'un système d'équations 4x4

Encore un peu systèmes complexes les équations peuvent être résolues par la méthode gaussienne en utilisant programmes informatiques. Il est nécessaire de saisir les coefficients des inconnues dans les cellules vides existantes, et le programme lui-même calculera étape par étape le résultat requis, décrivant en détail chaque action.

Décrit ci-dessous instructions étape par étape solutions à cet exemple.

Dans un premier temps, les coefficients libres et les nombres pour les inconnues sont saisis dans des cellules vides. Ainsi, nous obtenons la même matrice étendue que celle que nous écrivons manuellement.

Et toutes les opérations arithmétiques nécessaires sont effectuées pour amener la matrice étendue à sa forme canonique. Il faut comprendre que la réponse à un système d’équations n’est pas toujours un nombre entier. Parfois, la solution peut provenir de nombres fractionnaires.

Vérifier l'exactitude de la solution

La méthode Jordan-Gauss permet de vérifier l'exactitude du résultat. Afin de savoir si les coefficients sont calculés correctement, il suffit de substituer le résultat dans le système d'équations d'origine. Le côté gauche de l'équation doit correspondre côté droit, situé derrière le signe égal. Si les réponses ne correspondent pas, vous devez alors recalculer le système ou essayer de lui appliquer une autre méthode de résolution des SLAE que vous connaissez, telle que la substitution ou la soustraction et l'addition terme par terme. Après tout, les mathématiques sont une science qui comporte un grand nombre de diverses techniques solutions. Mais rappelez-vous : le résultat doit toujours être le même, quelle que soit la méthode de résolution que vous avez utilisée.

Méthode Gauss : les erreurs les plus courantes lors de la résolution des SLAE

Lors de la décision systèmes linéaires Dans les équations, des erreurs surviennent le plus souvent, telles qu'un transfert incorrect des coefficients sous forme matricielle. Il existe des systèmes dans lesquels certaines inconnues manquent dans l'une des équations, puis lors du transfert de données vers une matrice étendue, elles peuvent être perdues. Par conséquent, lors de la résolution de ce système, le résultat peut ne pas correspondre au résultat réel.

Une autre erreur majeure peut être de mal écrire le résultat final. Il faut bien comprendre que le premier coefficient correspondra à la première inconnue du système, le second à la seconde, et ainsi de suite.

La méthode Gauss décrit en détail la solution d'équations linéaires. Grâce à lui, il est facile d'effectuer les opérations nécessaires et de trouver le bon résultat. De plus, il s'agit d'un outil universel pour trouver une réponse fiable aux équations de toute complexité. C'est peut-être pour cela qu'il est si souvent utilisé pour résoudre les SLAE.

Deux systèmes d'équations linéaires sont dits équivalents si l'ensemble de toutes leurs solutions coïncide.

Transformations élémentaires les systèmes d'équations sont :

1. Suppression du système équations triviales, c'est-à-dire ceux pour lesquels tous les coefficients sont égaux à zéro ;
2. Multiplier n'importe quelle équation par un nombre autre que zéro ;
3. Ajouter à n’importe quelle i-ième équation n’importe quelle j-ième équation multipliée par n’importe quel nombre.

Une variable x i est dite libre si cette variable n'est pas autorisée, mais que l'ensemble du système d'équations est autorisé.

Théorème. Les transformations élémentaires transforment un système d'équations en un système équivalent.

Le sens de la méthode gaussienne est de transformer le système d'équations d'origine et d'obtenir un système équivalent résolu ou équivalent incohérent.

Ainsi, la méthode gaussienne comprend les étapes suivantes :

1. Regardons la première équation. Choisissons le premier coefficient non nul et divisons l'équation entière par celui-ci. Nous obtenons une équation dans laquelle une variable x i entre avec un coefficient de 1 ;
2. Soustrayons cette équation de toutes les autres, en la multipliant par des nombres tels que les coefficients de la variable x i dans les équations restantes soient remis à zéro. On obtient un système résolu par rapport à la variable x i et équivalent à celui d'origine ;
3. Si des équations triviales apparaissent (rarement, mais cela arrive ; par exemple, 0 = 0), nous les supprimons du système. En conséquence, il y a une équation de moins ;
4. Nous ne répétons pas les étapes précédentes plus de n fois, où n est le nombre d'équations du système. Chaque fois que nous sélectionnons une nouvelle variable pour le « traitement ». Si des équations incohérentes apparaissent (par exemple, 0 = 8), le système est incohérent.

En conséquence, après quelques étapes, nous obtiendrons soit un système résolu (éventuellement avec des variables libres), soit un système incohérent. Les systèmes autorisés se répartissent en deux cas :

1. Le nombre de variables est égal au nombre d'équations. Cela signifie que le système est défini ;
2. Nombre de variables plus de numéroéquations. Nous collectons toutes les variables libres sur la droite - nous obtenons des formules pour les variables autorisées. Ces formules sont écrites dans la réponse.

C'est ça! Système d'équations linéaires résolu ! Il s'agit d'un algorithme assez simple, et pour le maîtriser, vous n'avez pas besoin de contacter un tuteur supérieur en mathématiques. Regardons un exemple :

Tâche. Résolvez le système d'équations :

Description des étapes :

1. Soustrayez la première équation des deuxième et troisième - nous obtenons la variable autorisée x 1 ;
2. Nous multiplions la deuxième équation par (−1) et divisons la troisième équation par (−3) - nous obtenons deux équations dans lesquelles la variable x 2 entre avec un coefficient de 1 ;
3. Nous ajoutons la deuxième équation à la première et soustrayons de la troisième. On obtient la variable autorisée x 2 ;
4. Enfin, nous soustrayons la troisième équation de la première - nous obtenons la variable autorisée x 3 ;
5. Nous avons reçu un système approuvé, notez la réponse.

La solution générale d'un système simultané d'équations linéaires est nouveau système, équivalent à l'original, dans lequel toutes les variables autorisées sont exprimées en termes de variables libres.

Quand une solution générale pourrait-elle être nécessaire ? Si vous devez faire moins d'étapes que k (k est le nombre d'équations). Cependant, les raisons pour lesquelles le processus se termine à une étape donnée l< k , может быть две:

1. Après la lième étape, nous avons obtenu un système qui ne contient pas d'équation de nombre (l + 1). En fait, c'est bien, parce que... le système autorisé est toujours obtenu - même quelques étapes plus tôt.
2. Après la lième étape, nous avons obtenu une équation dans laquelle tous les coefficients des variables sont égaux à zéro et le coefficient libre est différent de zéro. Il s’agit d’une équation contradictoire et le système est donc incohérent.

Il est important de comprendre que l'émergence d'une équation incohérente utilisant la méthode gaussienne est une base suffisante d'incohérence. Dans le même temps, nous notons qu'à la suite de la lième étape, aucune équation triviale ne peut rester - elles sont toutes barrées au cours du processus.

Description des étapes :

1. Soustrayez la première équation, multipliée par 4, de la seconde. Nous ajoutons également la première équation à la troisième - nous obtenons la variable autorisée x 1 ;
2. Soustrayez la troisième équation, multipliée par 2, de la seconde - nous obtenons l'équation contradictoire 0 = −5.

Le système est donc incohérent car une équation incohérente a été découverte.

Tâche. Explorez la compatibilité et trouvez une solution générale au système :

Description des étapes :

1. Nous soustrayons la première équation de la seconde (après multiplication par deux) et de la troisième - nous obtenons la variable autorisée x 1 ;
2. Soustrayez la deuxième équation de la troisième. Puisque tous les coefficients de ces équations sont identiques, la troisième équation deviendra triviale. En même temps, multipliez la deuxième équation par (−1) ;
3. Soustrayez la seconde de la première équation - nous obtenons la variable autorisée x 2. L’ensemble du système d’équations est désormais également résolu ;
4. Puisque les variables x 3 et x 4 sont libres, on les déplace vers la droite pour exprimer les variables autorisées. C'est la réponse.

Ainsi, le système est cohérent et indéterminé, puisqu'il existe deux variables autorisées (x 1 et x 2) et deux variables libres (x 3 et x 4).

Donné calculateur en ligne trouve une solution à un système d'équations linéaires (SLE) en utilisant la méthode gaussienne. Une solution détaillée est donnée. Pour calculer, sélectionnez le nombre de variables et le nombre d'équations. Saisissez ensuite les données dans les cellules et cliquez sur le bouton "Calculer".

x1 +x2 +x3 x1 +x2 +x3 x1 +x2 +x3 = = =

Représentation numérique :

Nombres entiers et/ou fractions communes
Nombres entiers et/ou décimaux

Nombre de places après le séparateur décimal

×

Avertissement

Effacer toutes les cellules ?

Fermer Effacer

Instructions pour la saisie des données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), décimaux (ex. 67., 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b (b>0) sont des nombres entiers ou nombres décimaux. Exemples 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

Méthode Gauss

La méthode de Gauss est une méthode de transition du système original d'équations linéaires (utilisant des transformations équivalentes) à un système plus facile à résoudre que le système original.

Les transformations équivalentes d'un système d'équations linéaires sont :

• échanger deux équations dans le système,
• multiplier n'importe quelle équation du système par un nombre réel non nul,
• ajouter à une équation une autre équation multipliée par un nombre arbitraire.

Considérons un système d'équations linéaires :

(1)

Écrivons le système (1) sous forme matricielle :

Hache=b

(2)

(3)

UN- appelée matrice des coefficients du système, b− côté droit des restrictions, x− vecteur de variables à trouver. Laissez classer ( UN)=p.

Les transformations équivalentes ne changent pas le rang de la matrice des coefficients ni le rang de la matrice étendue du système. L'ensemble des solutions du système ne change pas non plus sous des transformations équivalentes. L'essence de la méthode de Gauss est de réduire la matrice des coefficients UN en diagonale ou en escalier.

Construisons une matrice étendue du système :

A l'étape suivante, nous réinitialisons tous les éléments de la colonne 2, en dessous de l'élément. Si cet élément est nul, alors cette ligne est permutée avec la ligne située en dessous de cette ligne et ayant un élément non nul dans la deuxième colonne. Ensuite, réinitialisez tous les éléments de la colonne 2 sous l'élément principal un 22. Pour cela, ajoutez les lignes 3, ... m avec la chaîne 2 multipliée par − un 32 /un 22 , ..., −un m2/ un 22, respectivement. En poursuivant la procédure, nous obtenons une matrice de forme diagonale ou étagée. Soit la matrice étendue résultante de la forme :

(7)

Parce que rangA=rang(UNE|b), alors l'ensemble des solutions (7) est ( n−p)− variété. Ainsi n−p les inconnues peuvent être choisies arbitrairement. Les inconnues restantes du système (7) sont calculées comme suit. De la dernière équation que nous exprimons x p à travers les variables restantes et insérer dans les expressions précédentes. Ensuite, à partir de l’avant-dernière équation, nous exprimons x p−1 à travers les variables restantes et insérer dans les expressions précédentes, etc. Considérons la méthode de Gauss sur exemples spécifiques.

Exemples de résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss

Exemple 1. Trouver une solution générale à un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss :

Notons par unéléments ij je-ème ligne et jème colonne.

un 1 1 . Pour ce faire, additionnez les lignes 2,3 avec la ligne 1, multipliées respectivement par -2/3, -1/2 :

Type d'enregistrement matriciel : Hache=b, Où

Notons par unéléments ij je-ème ligne et jème colonne.

Excluons les éléments de la 1ère colonne de la matrice en dessous de l'élément un 11. Pour ce faire, additionnez les lignes 2,3 avec la ligne 1, multipliées respectivement par -1/5, -6/5 :

Nous divisons chaque ligne de la matrice par l'élément principal correspondant (si l'élément principal existe) :

Où x 3 , x

En remplaçant les expressions supérieures par les expressions inférieures, nous obtenons la solution.

Alors la solution vectorielle peut être représentée comme suit :

Où x 3 , x 4 sont des nombres réels arbitraires.