Résoudre des équations linéaires à l'aide de la formule de Cramer. Méthode de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires
Considérons un système de 3 équations à trois inconnues
En utilisant des déterminants du 3ème ordre, la solution d'un tel système peut s'écrire sous la même forme que pour un système de deux équations, c'est-à-dire
(2.4)
si 0. Ici
C'est là La règle de Cramer solutions au système de trois équations linéaires avec trois inconnues.
Exemple 2.3. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la règle de Cramer :
Solution . Trouver le déterminant de la matrice principale du système
Depuis 0, pour trouver une solution au système, nous pouvons appliquer la règle de Cramer, mais nous calculons d’abord trois déterminants supplémentaires :
Examen:
La solution a donc été trouvée correctement.
Règles de Cramer dérivées pour systèmes linéaires 2ème et 3ème ordre, suggèrent que les mêmes règles peuvent être formulées pour des systèmes linéaires de n'importe quel ordre. Cela arrive vraiment
Théorème de Cramer. Système quadratique d'équations linéaires avec un déterminant non nul de la matrice principale du système (0) a une et une seule solution et cette solution est calculée à l'aide des formules
(2.5)
Où – déterminant de la matrice principale, je – déterminant matriciel, obtenu du principal, remplaçantjeème colonne colonne des membres libres.
Notez que si =0, alors la règle de Cramer ne s’applique pas. Cela signifie que le système n’a aucune solution ou qu’il possède une infinité de solutions.
Après avoir formulé le théorème de Cramer, la question se pose naturellement du calcul des déterminants d'ordres supérieurs.
2.4. Déterminants du nième ordre
Mineur supplémentaire M jeélément un je est appelé le déterminant obtenu à partir de donné par suppressions jeème ligne et jème colonne. Complément algébrique UN jeélément un je le mineur de cet élément pris avec le signe (–1) est appelé je + j, c'est-à-dire UN je = (–1) je + j M je .
Par exemple, trouvons les mineurs et les compléments algébriques des éléments un 23 et un 31 qualifiés
Nous obtenons
En utilisant la notion de complément algébrique on peut formuler théorème de développement déterminantn-ème ordre par ligne ou colonne.
Théorème 2.1. Déterminant matricielUNest égal à la somme des produits de tous les éléments d'une certaine ligne (ou colonne) par leurs compléments algébriques :
(2.6)
Ce théorème est à la base de l'une des principales méthodes de calcul des déterminants, dite. méthode de réduction de commande. En raison de l'expansion du déterminant nème ordre sur n’importe quelle ligne ou colonne, nous obtenons n déterminants ( n–1)ème ordre. Pour avoir moins de déterminants de ce type, il est conseillé de sélectionner la ligne ou la colonne qui comporte le plus de zéros. En pratique, la formule de développement du déterminant s’écrit généralement sous la forme :
ceux. les ajouts algébriques sont écrits explicitement en termes de mineurs.
Exemples 2.4. Calculez les déterminants en les triant d’abord dans une ligne ou une colonne. En règle générale, dans de tels cas, sélectionnez la colonne ou la ligne contenant le plus de zéros. La ligne ou la colonne sélectionnée sera indiquée par une flèche.
2.5. Propriétés de base des déterminants
En développant le déterminant sur n'importe quelle ligne ou colonne, nous obtenons n déterminants ( n–1)ème ordre. Alors chacun de ces déterminants ( n–1)ème ordre peut également être décomposé en une somme de déterminants ( n–2)ème ordre. En poursuivant ce processus, on peut atteindre les déterminants du 1er ordre, c'est-à-dire aux éléments de la matrice dont le déterminant est calculé. Ainsi, pour calculer les déterminants du 2ème ordre, vous devrez calculer la somme de deux termes, pour les déterminants du 3ème ordre - la somme de 6 termes, pour les déterminants du 4ème ordre - 24 termes. Le nombre de termes augmente fortement à mesure que l’ordre du déterminant augmente. Cela signifie que le calcul de déterminants d’ordres très élevés devient une tâche plutôt exigeante en main-d’œuvre, au-delà des capacités même d’un ordinateur. Cependant, les déterminants peuvent être calculés d’une autre manière, en utilisant leurs propriétés.
Propriété 1 . Le déterminant ne changera pas si les lignes et les colonnes qu'il contient sont permutées, c'est-à-dire lors de la transposition d'une matrice:
.
Cette propriété indique l'égalité des lignes et des colonnes du déterminant. En d’autres termes, toute affirmation concernant les colonnes d’un déterminant est également vraie pour ses lignes et vice versa.
Propriété 2 . Le déterminant change de signe lorsque deux lignes (colonnes) sont interverties.
Conséquence . Si le déterminant a deux lignes (colonnes) identiques, alors il est égal à zéro.
Propriété 3 . Le facteur commun de tous les éléments d'une ligne (colonne) peut être retiré du signe déterminant.
Par exemple,
Conséquence . Si tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) d'un déterminant sont égaux à zéro, alors le déterminant lui-même est égal à zéro.
Propriété 4 . Le déterminant ne changera pas si les éléments d'une ligne (colonne) sont ajoutés aux éléments d'une autre ligne (colonne), multipliés par n'importe quel nombre.
Par exemple,
Propriété 5 . Le déterminant du produit des matrices est égal au produit des déterminants des matrices :
Avec le même nombre d'équations que le nombre d'inconnues dont le déterminant principal de la matrice, qui n'est pas égal à zéro, les coefficients du système (pour de telles équations il y a une solution et il n'y en a qu'une).
Théorème de Cramer.
Lorsque le déterminant de la matrice d’un système carré est non nul, cela signifie que le système est cohérent et qu’il a une solution et qu’elle peut être trouvée par Les formules de Cramer:
où Δ - déterminant de la matrice du système,
Δ je est le déterminant de la matrice du système, dans laquelle au lieu de je La ème colonne contient la colonne des côtés droits.
Lorsque le déterminant d’un système est nul, cela signifie que le système peut devenir coopératif ou incompatible.
Cette méthode est généralement utilisée pour les petits systèmes avec de gros calculs et s'il est nécessaire de déterminer l'une des inconnues. La complexité de la méthode réside dans le fait qu’il faut calculer de nombreux déterminants.
Description de la méthode Cramer.
Il existe un système d'équations :
Un système de 3 équations peut être résolu en utilisant la méthode de Cramer, évoquée ci-dessus pour un système de 2 équations.
On compose un déterminant à partir des coefficients des inconnues :
Ce sera déterminant du système. Quand D≠0, ce qui signifie que le système est cohérent. Créons maintenant 3 déterminants supplémentaires :
,
,
Nous résolvons le système par Les formules de Cramer:
Exemples de résolution de systèmes d'équations selon la méthode de Cramer.
Exemple 1.
Système donné :
Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer.
Vous devez d'abord calculer le déterminant de la matrice du système :
Parce que Δ≠0, ce qui signifie que d’après le théorème de Cramer, le système est cohérent et qu’il a une solution. Nous calculons des déterminants supplémentaires. Le déterminant Δ 1 est obtenu à partir du déterminant Δ en remplaçant sa première colonne par une colonne de coefficients libres. On obtient :
De la même manière, on obtient le déterminant de Δ 2 à partir du déterminant de la matrice système en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de coefficients libres :
2. Résolution de systèmes d'équations par la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).
3. Méthode Gauss pour résoudre des systèmes d'équations.
Méthode de Cramer.
La méthode de Cramer est utilisée pour résoudre des systèmes de équations algébriques (SLAU).
Formules utilisant l'exemple d'un système de deux équations à deux variables.
Donné: Résoudre le système en utilisant la méthode de Cramer
Concernant les variables X Et à.
Solution:
Trouvons le déterminant de la matrice, composé des coefficients du système Calcul des déterminants. : 
Appliquons les formules de Cramer et trouvons les valeurs des variables : 
Et 
.
Exemple 1 :
Résolvez le système d'équations :
concernant les variables X Et à.
Solution:
Remplaçons la première colonne de ce déterminant par une colonne de coefficients du côté droit du système et trouvons sa valeur : 
Faisons la même chose en remplaçant la deuxième colonne du premier déterminant : 
En vigueur Les formules de Cramer et trouvez les valeurs des variables :
Et .
Répondre: 
Commentaire: Cette méthode permet de résoudre des systèmes de dimensions supérieures.
Commentaire: S'il s'avère que , mais ne peut pas être divisé par zéro, alors ils disent que le système n'a pas de solution unique. Dans ce cas, le système a soit une infinité de solutions, soit aucune solution du tout.
Exemple 2(nombre infini de solutions):
Résolvez le système d'équations :
concernant les variables X Et à.
Solution:
Trouvons le déterminant de la matrice, composé des coefficients du système : 
Résolution de systèmes par la méthode de substitution. 
La première des équations du système est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables (car 4 est toujours égal à 4). Cela signifie qu'il ne reste qu'une seule équation. Il s'agit d'une équation pour la relation entre les variables.
Nous avons constaté que la solution du système est n'importe quelle paire de valeurs de variables liées entre elles par l'égalité .
Solution générale s'écrira ainsi : 
Des solutions particulières peuvent être déterminées en choisissant une valeur arbitraire de y et en calculant x à partir de cette égalité de connexion. 
etc.
Il existe une infinité de solutions de ce type.
Répondre: solution générale
Solutions privées :
Exemple 3(pas de solutions, le système est incompatible) :
Résolvez le système d'équations :
Solution:
Trouvons le déterminant de la matrice, composé des coefficients du système : 
Les formules de Cramer ne peuvent pas être utilisées. Résolvons ce système en utilisant la méthode de substitution 
La deuxième équation du système est une égalité qui n'est vraie pour aucune valeur des variables (bien sûr, puisque -15 n'est pas égal à 2). Si l'une des équations du système n'est vraie pour aucune valeur des variables, alors l'ensemble du système n'a pas de solutions.
Répondre: aucune solution
La méthode de Cramer ou la règle dite de Cramer est une méthode de recherche de quantités inconnues à partir de systèmes d'équations. Il ne peut être utilisé que si le nombre de valeurs recherchées est équivalent au nombre d'équations algébriques du système, c'est-à-dire que la matrice principale formée à partir du système doit être carrée et ne pas contenir de lignes nulles, et aussi si son déterminant doit ne soit pas nul.
Théorème 1
Théorème de Cramer Si le déterminant principal $D$ de la matrice principale, compilé sur la base des coefficients des équations, n'est pas égal à zéro, alors le système d'équations est cohérent et il a une solution unique. La solution d'un tel système est calculée à l'aide des formules dites de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires : $x_i = \frac(D_i)(D)$
Qu'est-ce que la méthode Cramer ?
L'essence de la méthode de Cramer est la suivante :
- Pour trouver une solution au système à l'aide de la méthode de Cramer, on calcule tout d'abord le déterminant principal de la matrice $D$. Lorsque le déterminant calculé de la matrice principale, calculé par la méthode de Cramer, s'avère égal à zéro, alors le système n'a pas une seule solution ou a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, pour trouver une réponse générale ou basique au système, il est recommandé d’utiliser la méthode gaussienne.
- Ensuite, vous devez remplacer la colonne la plus externe de la matrice principale par une colonne de termes libres et calculer le déterminant $D_1$.
- Répétez la même chose pour toutes les colonnes, en obtenant les déterminants de $D_1$ à $D_n$, où $n$ est le numéro de la colonne la plus à droite.
- Une fois que tous les déterminants $D_1$...$D_n$ ont été trouvés, les variables inconnues peuvent être calculées à l'aide de la formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.
Techniques de calcul du déterminant d'une matrice
Pour calculer le déterminant d'une matrice de dimension supérieure à 2 par 2, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes :
- La règle des triangles, ou règle de Sarrus, rappelle la même règle. L'essence de la méthode triangulaire est que lors du calcul du déterminant, les produits de tous les nombres reliés dans la figure par la ligne rouge de droite sont écrits avec un signe plus, et tous les nombres connectés de la même manière dans la figure de gauche sont écrits avec un signe moins. Les deux règles conviennent aux matrices de taille 3 x 3. Dans le cas de la règle de Sarrus, la matrice elle-même est d'abord réécrite, et à côté d'elle ses première et deuxième colonnes sont à nouveau réécrites. Les diagonales sont tracées à travers la matrice et ces colonnes supplémentaires ; les membres de la matrice situés sur la diagonale principale ou parallèles à celle-ci sont écrits avec un signe plus, et les éléments situés sur ou parallèles à la diagonale secondaire sont écrits avec un signe moins.
Figure 1. Règle triangulaire pour calculer le déterminant de la méthode de Cramer
- Utilisant une méthode connue sous le nom de méthode gaussienne, cette méthode est aussi parfois appelée réduction de l'ordre du déterminant. Dans ce cas, la matrice est transformée et réduite à une forme triangulaire, puis tous les nombres de la diagonale principale sont multipliés. Il ne faut pas oublier que lors de la recherche d'un déterminant de cette manière, vous ne pouvez pas multiplier ou diviser des lignes ou des colonnes par des nombres sans les retirer comme multiplicateur ou diviseur. Dans le cas de la recherche d'un déterminant, il est uniquement possible de soustraire et d'ajouter des lignes et des colonnes entre elles, après avoir préalablement multiplié la ligne soustraite par un facteur non nul. De plus, chaque fois que vous réorganisez les lignes ou les colonnes de la matrice, vous devez vous rappeler la nécessité de changer le signe final de la matrice.
- Lors de la résolution d'un SLAE à 4 inconnues à l'aide de la méthode Cramer, il serait préférable d'utiliser la méthode Gauss pour rechercher et trouver des déterminants ou déterminer le déterminant en recherchant des mineurs.
Résolution de systèmes d'équations à l'aide de la méthode de Cramer
Appliquons la méthode de Cramer pour un système de 2 équations et de deux quantités requises :
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Affichons-le sous forme développée pour plus de commodité :
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Trouvons le déterminant de la matrice principale, aussi appelé déterminant principal du système :
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Si le déterminant principal n’est pas égal à zéro, alors pour résoudre le problème à l’aide de la méthode de Cramer, il est nécessaire de calculer quelques déterminants supplémentaires à partir de deux matrices, les colonnes de la matrice principale étant remplacées par une rangée de termes libres :
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Trouvons maintenant les inconnues $x_1$ et $x_2$ :
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
Exemple 1
Méthode de Cramer pour résoudre les SLAE avec une matrice principale du 3ème ordre (3 x 3) et trois obligatoires.
Résolvez le système d'équations :
$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Calculons le déterminant principal de la matrice en utilisant la règle énoncée ci-dessus au point numéro 1 :
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
Et maintenant trois autres déterminants :
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 $
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $
Trouvons les quantités requises :
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
Afin de maîtriser ce paragraphe, vous devez être capable de révéler les déterminants « deux par deux » et « trois par trois ». Si vous êtes mauvais avec les qualifications, veuillez étudier la leçon Comment calculer le déterminant ?
Tout d’abord, nous examinerons de plus près la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pour quoi? – Après tout, le système le plus simple peut être résolu en utilisant la méthode scolaire, la méthode de l’addition terme par terme !
Le fait est que, bien que parfois, une telle tâche se produit : résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues à l'aide des formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour un cas plus complexe : un système de trois équations à trois inconnues.
De plus, il existe des systèmes d’équations linéaires à deux variables, qu’il est conseillé de résoudre en utilisant la règle de Cramer !
Considérons le système d'équations
Dans un premier temps, on calcule le déterminant, on l'appelle principal déterminant du système.
Méthode Gauss.
Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux déterminants supplémentaires :
Et
En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par une lettre latine.
On trouve les racines de l'équation à l'aide des formules :
,
Exemple 7
Résoudre un système d'équations linéaires 
Solution: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands, à droite il y a décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans tâches pratiques en mathématiques, j'ai tiré ce système d'un problème économétrique.
Comment résoudre un tel système ? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en termes d'une autre, mais dans ce cas, vous vous retrouverez probablement avec des fractions fantaisistes terribles avec lesquelles il est extrêmement gênant de travailler, et la conception de la solution aura l'air tout simplement terrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et soustraire terme par terme, mais les mêmes fractions apparaîtront ici aussi.
Ce qu'il faut faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.
;
;
Répondre: ,
Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même courant) pour les problèmes d'économétrie.
Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, puisque la tâche est résolue à l'aide de formules toutes faites. Il y a cependant une mise en garde. Lorsque vous utilisez cette méthode, obligatoire Un fragment de la conception de la tâche est le fragment suivant : "Cela signifie que le système a une solution unique". Sinon, le critique pourrait vous punir pour manque de respect envers le théorème de Cramer.
Il ne serait pas superflu de vérifier, ce qui peut être facilement effectué sur une calculatrice : on substitue des valeurs approximatives dans le côté gauche de chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, vous devriez obtenir des nombres qui se trouvent du bon côté.
Exemple 8
Présentez la réponse sous forme de fractions impropres ordinaires. Faites une vérification.
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (un exemple de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).
Passons maintenant à la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues : 
On retrouve le déterminant principal du système : 
Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n’a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer ne vous aidera pas ; vous devez utiliser la méthode de Gauss.
Si , alors le système a une solution unique et pour trouver les racines, nous devons calculer trois déterminants supplémentaires : 
, 
, 
Et enfin, la réponse est calculée à l'aide des formules : 
Comme vous pouvez le constater, le cas « trois par trois » n'est fondamentalement pas différent du cas « deux par deux » ; la colonne de termes libres « marche » séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.
Exemple 9
Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer. 
Solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer. 
, ce qui signifie que le système a une solution unique.
Répondre: 
.
En fait, là encore, il n'y a rien de particulier à commenter, du fait que la solution suit des formules toutes faites. Mais il y a quelques commentaires.
Il arrive qu'à la suite de calculs, on obtienne de « mauvaises » fractions irréductibles, par exemple : .
je recommande prochain algorithme"traitement". Si vous n'avez pas d'ordinateur à portée de main, procédez comme suit :
1) Il peut y avoir une erreur dans les calculs. Dès que vous rencontrez une « mauvaise » fraction, vous devez immédiatement vérifier La condition est-elle réécrite correctement ?. Si la condition est réécrite sans erreur, vous devez alors recalculer les déterminants en utilisant le développement dans une autre ligne (colonne).
2) Si aucune erreur n'est identifiée à la suite de la vérification, il y a probablement eu une faute de frappe dans les conditions de la tâche. Dans ce cas, travaillez calmement et ATTENTIVEMENT jusqu'au bout de la tâche, puis assurez-vous de vérifier et nous le dressons sur une feuille blanche après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnée est une tâche désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour l'enseignant, qui aime vraiment donner un moins à toute connerie comme . La façon de gérer les fractions est décrite en détail dans la réponse à l'exemple 8.
Si vous disposez d'un ordinateur à portée de main, utilisez un programme automatisé pour vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. D'ailleurs, il est plus rentable d'utiliser le programme tout de suite (avant même de démarrer la solution, vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire où vous avez commis une erreur) ; La même calculatrice calcule automatiquement la solution du système méthode matricielle.
Deuxième remarque. De temps en temps, il existe des systèmes dans les équations desquels certaines variables manquent, par exemple : 
Ici, dans la première équation, il n'y a pas de variable, dans la seconde, il n'y a pas de variable. Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et ATTENTIVEMENT le déterminant principal : 
– des zéros sont placés à la place des variables manquantes.
À propos, il est rationnel d'ouvrir les déterminants avec des zéros en fonction de la ligne (colonne) dans laquelle se trouve le zéro, car il y a sensiblement moins de calculs.
Exemple 10
Résolvez le système en utilisant les formules de Cramer. 
Ceci est un exemple de solution indépendante (un échantillon de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon).
Pour le cas d’un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer s’écrivent selon des principes similaires. Vous pouvez voir un exemple en direct dans la leçon Propriétés des déterminants. Réduire l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Même si la tâche rappelle déjà beaucoup la chaussure d’un professeur sur la poitrine d’un étudiant chanceux.
Résoudre un système à l'aide d'une matrice inverse
Méthode matrice inverse- c'est essentiellement un cas particulier équation matricielle(voir exemple n°3 de la leçon spécifiée).
Pour étudier cette section, vous devez être capable de développer des déterminants, de trouver l'inverse d'une matrice et d'effectuer une multiplication matricielle. Des liens pertinents seront fournis au fur et à mesure de la progression des explications.
Exemple 11
Résoudre le système en utilisant la méthode matricielle 
Solution: Écrivons le système sous forme matricielle :
, Où 
Veuillez regarder le système d'équations et de matrices. Je pense que tout le monde comprend le principe par lequel nous écrivons des éléments dans des matrices. Seul commentaire : si certaines variables manquaient dans les équations, il faudrait alors placer des zéros aux endroits correspondants dans la matrice.
On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :
, où est la matrice transposée ajouts algébriqueséléments matriciels correspondants.
Examinons d’abord le déterminant :
Ici, le déterminant est développé sur la première ligne.
Attention! Si , alors la matrice inverse n’existe pas et il est impossible de résoudre le système en utilisant la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par la méthode d'élimination des inconnues (méthode de Gauss).
Nous devons maintenant calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs. 
Référence: Il est utile de connaître la signification des indices doubles en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve l'élément : 
Autrement dit, un double indice indique que l'élément se trouve dans la première ligne, la troisième colonne et, par exemple, l'élément est dans la 3e ligne et la 2e colonne.
Au cours de la solution, il est préférable de décrire en détail le calcul des mineurs, même si avec une certaine expérience, vous pourrez vous habituer à les calculer oralement avec des erreurs.