Mécanique théorique est une section de mécanique qui énonce les lois fondamentales du mouvement mécanique et de l'interaction mécanique des corps matériels.

La mécanique théorique est une science qui étudie le mouvement des corps au fil du temps (mouvements mécaniques). Elle sert de base à d'autres branches de la mécanique (théorie de l'élasticité, résistance des matériaux, théorie de la plasticité, théorie des mécanismes et des machines, hydroaérodynamique) et à de nombreuses disciplines techniques.

Mouvement mécanique- il s'agit d'une évolution dans le temps de la position relative dans l'espace des corps matériels.

Interaction mécanique- il s'agit d'une interaction à la suite de laquelle le mouvement mécanique change ou la position relative des parties du corps change.

Statique des corps rigides

Statique est une section de mécanique théorique qui traite des problèmes d'équilibre des corps solides et de la transformation d'un système de forces en un autre qui lui est équivalent.

Concepts de base et lois de la statique
• Absolument solide (corps solide, corps) est un corps matériel, dont la distance entre les points ne change pas.
• Point matériel est un corps dont les dimensions, selon les conditions du problème, peuvent être négligées.
• Corps libre- il s'agit d'un organisme dont les mouvements ne sont soumis à aucune restriction.
• Corps non libre (lié) est un corps dont les mouvements sont soumis à des restrictions.
• Relations– ce sont des corps qui empêchent le mouvement de l’objet en question (un corps ou un système de corps).
• Réaction de communication est une force qui caractérise l'action d'une liaison sur un corps solide. Si l’on considère la force avec laquelle un corps solide agit sur une liaison comme une action, alors la réaction de la liaison est une réaction. Dans ce cas, la force - action est appliquée à la connexion et la réaction de la connexion est appliquée au corps solide.
• Système mécanique est une collection de corps ou de points matériels interconnectés.
• Solide peut être considéré comme un système mécanique dont les positions et les distances entre les points ne changent pas.
• Force est une grandeur vectorielle qui caractérise l'action mécanique d'un corps matériel sur un autre.
  La force en tant que vecteur est caractérisée par le point d'application, la direction d'action et la valeur absolue. L'unité de module de force est Newton.
• Ligne d'action de la force est une ligne droite le long de laquelle le vecteur force est dirigé.
• Puissance concentrée– force appliquée en un point.
• Forces réparties (charge répartie)- ce sont des forces agissant sur tous les points du volume, de la surface ou de la longueur d'un corps.
  La charge répartie est donnée par la force agissant par unité de volume (surface, longueur).
  La dimension de la charge répartie est N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Force externe est une force agissant sur un corps n'appartenant pas au système mécanique considéré.
• Force intérieure est une force agissant sur un point matériel d'un système mécanique à partir d'un autre point matériel appartenant au système considéré.
• Système de force est un ensemble de forces agissant sur un système mécanique.
• Système de force plate est un système de forces dont les lignes d’action se situent dans le même plan.
• Système spatial de forces est un système de forces dont les lignes d’action ne se situent pas dans le même plan.
• Système de forces convergentes est un système de forces dont les lignes d'action se croisent en un point.
• Système de forces arbitraire est un système de forces dont les lignes d’action ne se coupent pas en un point.
• Systèmes de force équivalente- ce sont des systèmes de forces dont le remplacement l'une par l'autre ne modifie pas l'état mécanique du corps.
  Désignation acceptée : .
• Équilibre- c'est un état dans lequel un corps, sous l'action de forces, reste immobile ou se déplace uniformément en ligne droite.
• Système de forces équilibré- il s'agit d'un système de forces qui, appliquées à un corps solide libre, ne modifient pas son état mécanique (ne le déséquilibre pas).
  .
• Force résultante est une force dont l'action sur un corps équivaut à l'action d'un système de forces.
  .
• moment de force est une grandeur caractérisant la capacité de rotation d’une force.
• Couple de forces est un système de deux forces parallèles d’égale ampleur et dirigées de manière opposée.
  Désignation acceptée : .
  Sous l’influence d’une paire de forces, le corps va effectuer un mouvement de rotation.
• Projection de force sur l'axe- il s'agit d'un segment compris entre des perpendiculaires tracées du début et de la fin du vecteur force à cet axe.
  La projection est positive si la direction du segment coïncide avec la direction positive de l'axe.
• Projection d'une force sur un avion est un vecteur sur un plan, compris entre des perpendiculaires tracées depuis le début et la fin du vecteur force jusqu'à ce plan.
• Loi 1 (loi de l'inertie). Un point matériel isolé est au repos ou se déplace de manière uniforme et rectiligne.
  Le mouvement uniforme et rectiligne d’un point matériel est un mouvement par inertie. L'état d'équilibre d'un point matériel et d'un corps rigide s'entend non seulement comme un état de repos, mais aussi comme un mouvement par inertie. Pour un corps rigide, il existe différents types de mouvement par inertie, par exemple la rotation uniforme d'un corps rigide autour d'un axe fixe.
• Loi 2. Un corps rigide n’est en équilibre sous l’action de deux forces que si ces forces sont de même ampleur et dirigées dans des directions opposées le long d’une ligne d’action commune.
  Ces deux forces sont appelées équilibrage.
  En général, les forces sont dites équilibrées si le corps solide auquel ces forces sont appliquées est au repos.
• Loi 3. Sans perturber l'état (le mot « état » désigne ici l'état de mouvement ou de repos) d'un corps rigide, on peut ajouter et rejeter des forces d'équilibrage.
  Conséquence. Sans perturber l’état du corps solide, la force peut être transférée le long de sa ligne d’action vers n’importe quel point du corps.
  Deux systèmes de forces sont dits équivalents si l’un d’eux peut être remplacé par l’autre sans perturber l’état du corps solide.
• Loi 4. La résultante de deux forces appliquées en un point, appliquées au même point, est égale en grandeur à la diagonale d'un parallélogramme construit sur ces forces, et est dirigée le long de ce
  diagonales.
  La valeur absolue de la résultante est :
  
• Loi 5 (loi d'égalité d'action et de réaction). Les forces avec lesquelles deux corps agissent l’un sur l’autre sont de même ampleur et dirigées dans des directions opposées le long d’une même ligne droite.
  Il faut garder à l'esprit que action- force appliquée au corps B, Et opposition- force appliquée au corps UN, ne sont pas équilibrés, puisqu’ils s’appliquent à des corps différents.
• Loi 6 (loi de solidification). L'équilibre d'un corps non solide n'est pas perturbé lorsqu'il se solidifie.
  Il ne faut pas oublier que les conditions d'équilibre, nécessaires et suffisantes pour un corps solide, sont nécessaires mais insuffisantes pour le corps non solide correspondant.
• Loi 7 (loi d'émancipation des liens). Un corps solide non libre peut être considéré comme libre s'il est mentalement libéré des liens, remplaçant l'action des liens par les réactions correspondantes des liens.

Connexions et leurs réactions
• Surface lisse limite le mouvement normal à la surface d’appui. La réaction est dirigée perpendiculairement à la surface.
• Support mobile articulé limite le mouvement du corps normal au plan de référence. La réaction est dirigée normalement à la surface du support.
• Support fixe articulé neutralise tout mouvement dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation.
• Canne articulée en apesanteur neutralise le mouvement du corps le long de la ligne de la tige. La réaction sera dirigée le long de la ligne de la tige.
• Joint aveugle neutralise tout mouvement et rotation dans l’avion. Son action peut être remplacée par une force représentée sous la forme de deux composantes et d'un couple de forces avec un moment.

Cinématique

Cinématique- une section de mécanique théorique qui examine les propriétés géométriques générales du mouvement mécanique en tant que processus se produisant dans l'espace et dans le temps. Les objets en mouvement sont considérés comme des points géométriques ou des corps géométriques.

Concepts de base de la cinématique
• Loi du mouvement d'un point (corps)– c'est la dépendance de la position d'un point (corps) dans l'espace au temps.
• Trajectoire des points– c'est la localisation géométrique d'un point dans l'espace lors de son mouvement.
• Vitesse d'un point (corps)– c'est une caractéristique du changement dans le temps de la position d'un point (corps) dans l'espace.
• Accélération d'un point (corps)– c'est une caractéristique du changement dans le temps de la vitesse d'un point (corps).

Détermination des caractéristiques cinématiques d'un point
• Trajectoire des points
  Dans un référentiel vectoriel, la trajectoire est décrite par l'expression : .
  Dans le système de référence de coordonnées, la trajectoire est déterminée par la loi du mouvement du point et est décrite par les expressions z = f(x,y)- dans l'espace, ou y = f(x)- dans un avion.
  Dans un référentiel naturel, la trajectoire est précisée à l'avance.
• Détermination de la vitesse d'un point dans un système de coordonnées vectorielles
  Lors de la spécification du mouvement d'un point dans un système de coordonnées vectorielles, le rapport du mouvement à un intervalle de temps est appelé valeur moyenne de la vitesse sur cet intervalle de temps : .
  En prenant l'intervalle de temps comme infinitésimal, on obtient la valeur de la vitesse en à l'heure actuelle temps (valeur de vitesse instantanée) : .
  Vecteur vitesse moyenne est dirigé le long du vecteur dans la direction du mouvement du point, le vecteur vitesse instantanée est dirigé tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement du point.
  Conclusion: la vitesse d'un point est une quantité vectorielle égale à la dérivée temporelle de la loi du mouvement.
  Propriété dérivée : la dérivée de toute quantité par rapport au temps détermine le taux de variation de cette quantité.
• Détermination de la vitesse d'un point dans un système de référence de coordonnées
  Taux de changement des coordonnées du point :
  .
  Le module de la vitesse totale d'un point de système de coordonnées rectangulaires sera égal à :
  .
  La direction du vecteur vitesse est déterminée par les cosinus des angles directeurs :
  ,
  où sont les angles entre le vecteur vitesse et les axes de coordonnées.
• Détermination de la vitesse d'un point dans un référentiel naturel
  La vitesse d'un point dans le repère naturel est définie comme la dérivée de la loi du mouvement du point : .
  Selon les conclusions précédentes, le vecteur vitesse est dirigé tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement du point et dans les axes est déterminé par une seule projection.

Cinématique du corps rigide
• Dans la cinématique des corps rigides, deux problèmes principaux sont résolus :
  1) définir le mouvement et déterminer les caractéristiques cinématiques du corps dans son ensemble ;
  2) détermination des caractéristiques cinématiques des points du corps.
• Mouvement de translation d'un corps rigide
  Le mouvement de translation est un mouvement dans lequel une ligne droite passant par deux points d'un corps reste parallèle à sa position d'origine.
  Théorème: lors d'un mouvement de translation, tous les points du corps se déplacent le long de trajectoires identiques et ont à chaque instant la même ampleur et la même direction de vitesse et d'accélération.
  Conclusion: mouvement vers l'avant d'un corps rigide est déterminé par le mouvement de l'un de ses points, et par conséquent, la tâche et l'étude de son mouvement sont réduites à la cinématique du point.
• Mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe
  Le mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe est le mouvement d'un corps rigide dans lequel deux points appartenant au corps restent immobiles pendant toute la durée du mouvement.
  La position du corps est déterminée par l'angle de rotation. L'unité de mesure de l'angle est le radian. (Le radian est l'angle au centre d'un cercle dont la longueur de l'arc est égale au rayon, plein angle le cercle contient 2π radian.)
  La loi du mouvement de rotation d'un corps autour d'un axe fixe.
  Nous déterminons la vitesse angulaire et l'accélération angulaire du corps en utilisant la méthode de différenciation :
  — vitesse angulaire, rad/s ;
  — accélération angulaire, rad/s².
  Si vous disséquez le corps avec un plan perpendiculaire à l'axe, sélectionnez un point sur l'axe de rotation AVEC et un point arbitraire M, puis pointez M décrira autour d'un point AVEC rayon du cercle R.. Pendant le temps dt il y a une rotation élémentaire d'un angle , et le point M se déplacera le long de la trajectoire sur une distance .
  Module de vitesse linéaire :
  .
  Accélération ponctuelle M de trajectoire connue, elle est déterminée par ses composantes :
  ,
  Où .
  En conséquence, nous obtenons les formules
  accélération tangentielle : ;
  accélération normale : .

Dynamique

Dynamique est une section de mécanique théorique dans laquelle les mouvements mécaniques des corps matériels sont étudiés en fonction des raisons qui les provoquent.

Concepts de base de la dynamique
• Inertie- c'est la propriété des corps matériels de maintenir un état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme jusqu'à ce que des forces extérieures modifient cet état.
• Poids est une mesure quantitative de l'inertie d'un corps. L'unité de masse est le kilogramme (kg).
• Point matériel- il s'agit d'un corps avec une masse dont les dimensions sont négligées lors de la résolution de ce problème.
• Centre de masse d'un système mécanique- un point géométrique dont les coordonnées sont déterminées par les formules :
  
  Où mk , xk , yk , zk— masse et coordonnées k-ce point du système mécanique, m— masse du système.
  Dans un champ de gravité uniforme, la position du centre de masse coïncide avec la position du centre de gravité.
• Moment d'inertie d'un corps matériel par rapport à un axe est une mesure quantitative de l'inertie lors d'un mouvement de rotation.
  Le moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe est égal au produit de la masse du point par le carré de la distance du point à l'axe :
  .
  Le moment d'inertie du système (corps) par rapport à l'axe est égal à somme arithmétique moments d'inertie de tous les points :
  
• Force d'inertie d'un point matériel est une grandeur vectorielle égale en module au produit de la masse d'un point et du module d'accélération et dirigée à l'opposé du vecteur accélération :
• La force d'inertie d'un corps matériel est une grandeur vectorielle égale en module au produit de la masse corporelle et du module d'accélération du centre de masse du corps et dirigée à l'opposé du vecteur accélération du centre de masse : ,
  où est l'accélération du centre de masse du corps.
• Impulsion élémentaire de force est une quantité vectorielle égale au produit du vecteur force et d'une période de temps infinitésimale dt:
  .
  L'impulsion de force totale pour Δt est égale à l'intégrale des impulsions élémentaires :
  .
• Travail de force élémentaire est une quantité scalaire dA, égal au scalaire proi

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Cours magistral sur la mécanique théorique Dynamique (Partie I) Bondarenko A.N. Moscou - 2007 Le cours de formation électronique a été rédigé sur la base de conférences données par l'auteur pour les étudiants étudiant dans les spécialités SZhD, PGS et SDM au NIIZhT et au MIIT (1974-2006). Matériel pédagogique correspond aux plans calendaires pour trois semestres. Pour mettre pleinement en œuvre les effets d'animation lors d'une présentation, vous devez utiliser une visionneuse Power Point non inférieure à celle intégrée à Microsoft Office du système d'exploitation Windows XP Professionnel. Les commentaires et suggestions peuvent être envoyés par e-mail : [email protégé]. Moscou université d'état Chemins de fer (MIIT) Département de mécanique théorique Centre scientifique et technique des technologies des transports

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Contenu Cours 1. Introduction à la dynamique. Lois et axiomes de la dynamique d'un point matériel. Équation de base de la dynamique. Equations différentielles et naturelles du mouvement. Deux problèmes principaux de dynamique. Exemples de résolution d'un problème direct de dynamique Cours 2. Solution d'un problème inverse de dynamique. Instructions générales pour résoudre le problème inverse de la dynamique. Exemples de résolution du problème inverse de la dynamique. Mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizontale, sans tenir compte de la résistance de l'air. Cours 3. Oscillations rectilignes d'un point matériel. Condition d'apparition d'oscillations. Classement des vibrations. Vibrations libres sans prise en compte des forces de résistance. Oscillations amorties. Décrémentation des oscillations. Cours 4. Oscillations forcées d'un point matériel. Résonance. L'influence de la résistance au mouvement lors de vibrations forcées. Cours 5. Mouvement relatif d'un point matériel. Forces d'inertie. Cas particuliers de mouvement pour différents types de mouvements portables. L'influence de la rotation de la Terre sur l'équilibre et le mouvement des corps. Cours 6. Dynamique d'un système mécanique. Système mécanique. Forces externes et internes. Centre de masse du système. Théorème sur le mouvement du centre de masse. Lois de conservation. Un exemple de résolution d'un problème en utilisant le théorème sur le mouvement du centre de masse. Conférence 7. Impulsion de force. Quantité de mouvement. Théorème sur le changement de quantité de mouvement. Lois de conservation. Théorème d'Euler. Un exemple de résolution d'un problème en utilisant le théorème sur le changement de quantité de mouvement. Élan. Théorème sur le changement du moment cinétique. Cours 8. Lois de conservation. Éléments de la théorie des moments d'inertie. Moment cinétique d'un corps rigide. Équation différentielle rotation d'un corps rigide. Un exemple de résolution d'un problème en utilisant le théorème sur la variation du moment cinétique d'un système. Théorie élémentaire du gyroscope. Lectures recommandées 1. Yablonsky A.A. Cours de mécanique théorique. Partie 2. M. : Lycée. 1977 368 p. 2. Meshchersky I.V. Recueil de problèmes de mécanique théorique. M. : Sciences. 1986 416 p. 3. Collecte de tâches pour cours/Éd. Les AA Yablonski. M. : Lycée. 1985 366 p. 4. Bondarenko A.N. « Mécanique théorique en exemples et problèmes. Dynamics » (manuel électronique www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

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Leçon 1 Dynamique est une section de mécanique théorique qui étudie le mouvement mécanique du point de vue le plus général. Le mouvement est considéré en relation avec les forces agissant sur un objet. La section se compose de trois sections : Dynamique d'un point matériel Dynamique Dynamique d'un système mécanique Mécanique analytique ■ Dynamique d'un point – étudie le mouvement d'un point matériel, en tenant compte des forces provoquant ce mouvement. L'objet principal est un point matériel - un corps matériel avec une masse dont les dimensions peuvent être négligées. Hypothèses de base : – il existe un espace absolu (a des propriétés purement géométriques qui ne dépendent pas de la matière et de son mouvement. – il existe un temps absolu (indépendant de la matière et de son mouvement). Il en résulte : – il existe un système de référence absolument immobile . – le temps ne dépend pas du mouvement du système de référence. – les masses des points en mouvement ne dépendent pas du mouvement du système de référence. Ces hypothèses sont utilisées dans la mécanique classique, créée par Galilée et Newton. gamme d'applications, puisque les systèmes mécaniques considérés dans les sciences appliquées n'ont pas des vitesses de mouvement de masses aussi grandes, pour lesquelles il faut prendre en compte leur influence sur la géométrie de l'espace, du temps, du mouvement, comme on le fait en mécanique relativiste. (théorie de la relativité) ■ Les lois fondamentales de la dynamique - découvertes pour la première fois par Galilée et formulées par Newton constituent la base de toutes les méthodes de description et d'analyse du mouvement des systèmes mécaniques et de leur interaction dynamique sous l'influence de diverses forces. ■ Loi de l'inertie (loi de Galilée-Newton) – Un point matériel isolé, un corps, maintient son état de repos ou de mouvement linéaire uniforme jusqu'à ce que des forces appliquées le forcent à changer cet état. Cela implique l'équivalence de l'état de repos et de mouvement par inertie (loi de la relativité de Galilée). Le système de référence par rapport auquel s'applique la loi de l'inertie est appelé inertiel. La propriété d’un point matériel de s’efforcer de maintenir constante la vitesse de son mouvement (son état cinématique) est appelée inertie. ■ Loi de proportionnalité de la force et de l'accélération (Équation de base de la dynamique – Loi de Newton II) – L'accélération conférée à un point matériel par une force est directement proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse de ce point : ou Ici m est le masse du point (une mesure d'inertie), mesurée en kg, poids numériquement égal divisé par l'accélération due à la gravité : F est la force agissante, mesurée en N (1 N confère une accélération de 1 m/s2 à un point pesant 1kg, 1N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamique d'un système mécanique - étudie le mouvement d'un ensemble de points matériels et de corps rigides combinés lois générales interaction, en tenant compte des forces provoquant ce mouvement. ■ Mécanique analytique – étudie le mouvement des systèmes mécaniques contraints à l'aide de méthodes analytiques. 1

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Cours 1 (suite – 1.2) Equations différentielles du mouvement d'un point matériel : - équation différentielle du mouvement d'un point sous forme vectorielle. - les équations différentielles du mouvement d'un point sous forme de coordonnées. Ce résultat peut être obtenu en projetant formellement l’équation différentielle vectorielle (1). Après regroupement, la relation vectorielle se décompose en trois équations scalaires : Sous forme de coordonnées : On utilise la connexion entre le vecteur rayon avec coordonnées et le vecteur force avec projections : ou : On substitue l'accélération d'un point par un vecteur mouvement spécifié dans le équation de base de la dynamique : Les équations naturelles du mouvement d'un point matériel sont obtenues en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement sur des axes de coordonnées naturels (en mouvement) : ou : - les équations naturelles du mouvement d'un point. ■ Equation de base de la dynamique : - correspond à la méthode vectorielle de spécification du mouvement d'un point. ■ Loi d'indépendance de l'action des forces - L'accélération d'un point matériel sous l'action de plusieurs forces est égale à la somme géométrique des accélérations du point sous l'action de chacune des forces séparément : ou La loi est valable pour tout état cinématique des corps. Les forces d'interaction, appliquées à différents points (corps), ne sont pas équilibrées. ■ Loi d'égalité d'action et de réaction (loi de Newton III) – À chaque action correspond une réaction égale et de direction opposée : 2

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Deux problèmes principaux de dynamique : 1. Problème direct : Le mouvement est donné (équations de mouvement, trajectoire). Il est nécessaire de déterminer les forces sous l'influence desquelles un mouvement donné se produit. 2. Problème inverse : Les forces sous l'influence desquelles le mouvement se produit sont données. Il est nécessaire de trouver les paramètres du mouvement (équations du mouvement, trajectoire du mouvement). Les deux problèmes sont résolus en utilisant l'équation de base de la dynamique et sa projection sur les axes de coordonnées. Si l'on considère le mouvement d'un point non libre, alors, comme en statique, le principe de libération des connexions est utilisé. De ce fait, les réactions des liaisons sont incluses dans les forces agissant sur le point matériel. La solution au premier problème est liée aux opérations de différenciation. La résolution du problème inverse nécessite l'intégration des équations différentielles correspondantes, ce qui est beaucoup plus difficile que la différenciation. Le problème inverse est plus difficile que le problème direct. Regardons la solution au problème direct de la dynamique à l'aide d'exemples : Exemple 1. Une cabine d'ascenseur pesant G est soulevée par un câble avec une accélération a. Déterminez la tension du câble. 1. Sélectionnez un objet (la cabine d'ascenseur se déplace en translation et peut être considérée comme un point matériel). 2. Nous rejetons la connexion (câble) et la remplaçons par la réaction R. 3. Nous composons l'équation de base de la dynamique : Déterminer la réaction du câble : Déterminer la tension du câble : Avec un mouvement uniforme de la cabine, ay = 0 et la tension du câble est égale au poids : T = G. Si le câble casse, T = 0 et l'accélération de la cabine est égale à l'accélération de la pesanteur : ay = -g. 3 4. Nous projetons l'équation de base de la dynamique sur l'axe y : y Exemple 2. Un point de masse m se déplace le long d'une surface horizontale (plan Oxy) selon les équations : x = a coskt, y = b coskt. Déterminez la force agissant sur le point. 1. Sélectionnez un objet (point matériel). 2. Nous supprimons la connexion (plan) et la remplaçons par la réaction N. 3. Nous ajoutons une force inconnue F au système de forces 4. Nous composons l'équation de base de la dynamique : 5. Nous projetons l'équation de base de la dynamique sur. axes x, y: On détermine les projections de force : Module de force : Cosinus directeurs : Ainsi, l'amplitude de la force est proportionnelle à la distance du point au centre de coordonnées et est dirigée vers le centre le long de la ligne reliant le point au centre . La trajectoire d'un point est une ellipse avec un centre à l'origine : O r Cours 1 (suite – 1.3)

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Leçon 1 (suite 1.4) Exemple 3 : Une charge de poids G est suspendue à un câble de longueur l et se déplace le long d'une trajectoire circulaire dans un plan horizontal avec une certaine vitesse. L'angle de déviation du câble par rapport à la verticale est égal. Déterminez la tension du câble et la vitesse de la charge. 1. Sélectionnez un objet (cargaison). 2. Nous rejetons la connexion (câble) et la remplaçons par la réaction R. 3. Nous composons l'équation de base de la dynamique : A partir de la troisième équation nous déterminons la réaction du câble : Nous déterminons la tension du câble : Nous substituons la valeur de la réaction du câble, l'accélération normale dans la deuxième équation et déterminons la vitesse de la charge : 4. Nous projetons l'équation principale dynamique sur l'axe,n,b : Exemple 4 : Une voiture de poids G se déplace sur une surface convexe pont (rayon de courbure égal à R) avec vitesse V. Déterminer la pression de la voiture sur le pont. 1. Sélectionnez un objet (voiture, négligez les dimensions et considérez-le comme un point). 2. Nous rejetons la connexion (surface rugueuse) et la remplaçons par des réactions N et une force de frottement Ftr. 3. Nous composons l'équation de base de la dynamique : 4. Nous projetons l'équation de base de la dynamique sur l'axe n : De là, nous déterminons la réaction normale : Nous déterminons la pression de la voiture sur le pont : De là, nous pouvons déterminer la vitesse correspondant à une pression nulle sur le pont (Q = 0) : 4

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Cours 2 Après avoir substitué les valeurs trouvées des constantes, on obtient : Ainsi, sous l'influence du même système de forces, un point matériel peut effectuer toute une classe de mouvements déterminés par les conditions initiales. Les coordonnées initiales tiennent compte de la position initiale du point. La vitesse initiale spécifiée par les projections prend en compte l'influence sur son déplacement le long de la section considérée de la trajectoire des forces agissant sur le point avant d'arriver à cette section, c'est-à-dire état cinématique initial. Solution du problème inverse de la dynamique - Dans le cas général du mouvement d'un point, les forces agissant sur ce point sont variables en fonction du temps, des coordonnées et de la vitesse. Le mouvement d'un point est décrit par un système de trois équations différentielles du second ordre : Après avoir intégré chacune d'elles il y aura six constantes C1, C2,…., C6 : Les valeurs des constantes C1, C2,…. , C6 sont trouvés à partir de six conditions initiales à t = 0 : Exemple 1 solution problème inverse : Un point matériel libre de masse m se déplace sous l'action d'une force F, constante en module et en amplitude. . Au moment initial, la vitesse du point était v0 et coïncidait en direction avec la force. Déterminer l'équation du mouvement d'un point. 1. Nous composons l'équation de base de la dynamique : 3. Nous abaissons l'ordre de la dérivée : 2. Nous choisissons un référentiel cartésien, orientant l'axe des x dans la direction de la force et projetons l'équation de base de la dynamique sur cet axe : ou x y z 4. Nous séparons les variables : 5. Nous calculons les intégrales des deux côtés de l'équation : 6. Imaginons la projection de vitesse comme la dérivée de la coordonnée par rapport au temps : 8. Nous calculons les intégrales des deux côtés de l'équation : 7. On sépare les variables : 9. Pour déterminer les valeurs des constantes C1 et C2, on utilise les conditions initiales t = 0, vx = v0, x = x0 : En conséquence, on obtient l'équation du mouvement uniformément alterné (le long de l'axe x) : 5

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Instructions générales pour résoudre des problèmes directs et inverses. Procédure de résolution : 1. Élaboration d'une équation différentielle du mouvement : 1.1. Choisissez un système de coordonnées - rectangulaire (fixe) pour une trajectoire inconnue, naturel (en mouvement) pour une trajectoire connue, par exemple un cercle ou une ligne droite. Dans ce dernier cas, vous pouvez utiliser une coordonnée rectiligne. Le point de référence doit être aligné sur la position initiale du point (à t = 0) ou sur la position d'équilibre du point, si elle existe, par exemple lorsque le point oscille. 6 1.2. Dessinez un point dans une position correspondant à un instant arbitraire (à t > 0) de sorte que les coordonnées soient positives (s > 0, x > 0). Dans le même temps, nous pensons également que la projection de la vitesse dans cette position est également positive. Dans le cas d'oscillations, la projection de vitesse change de signe, par exemple lors du retour à la position d'équilibre. Il faut ici supposer qu'à l'instant considéré, le point s'éloigne de la position d'équilibre. Il est important de suivre cette recommandation à l'avenir lorsque l'on travaille avec des forces de résistance qui dépendent de la vitesse. 1.3. Libérez le point matériel des connexions, remplacez leurs actions par des réactions, ajoutez des forces actives. 1.4. Notez la loi fondamentale de la dynamique sous forme vectorielle, projetez-la sur les axes sélectionnés, exprimez les forces spécifiées ou réactives à travers les variables temps, coordonnées ou vitesses, si elles en dépendent. 2. Résolution d'équations différentielles : 2.1. Réduisez la dérivée si l'équation n'est pas réduite à la forme canonique (standard). par exemple : ou 2.2. Variables séparées, par exemple : ou 2.4. Calculer non intégrales définies sur les côtés gauche et droit de l'équation, par exemple : 2.3. S'il y a trois variables dans l'équation, alors effectuez un changement de variables, par exemple : puis divisez les variables. Commentaire. Au lieu d'évaluer des intégrales indéfinies, vous pouvez évaluer des intégrales définies avec une limite supérieure variable. Les limites inférieures représentent les valeurs initiales des variables (conditions initiales). Il n'est alors pas nécessaire de trouver séparément une constante, qui est automatiquement incluse dans la solution, par exemple : En utilisant les conditions initiales, par exemple t = 0. , vx = vx0, déterminez la constante d'intégration : 2.5. Exprimez la vitesse par la dérivée de la coordonnée par rapport au temps, par exemple, et répétez les paragraphes 2.2 à 2.4 Remarque. Si l'équation est réduite à une forme canonique ayant une solution standard, alors cette solution toute faite est utilisée. Les constantes d'intégration sont toujours trouvées à partir des conditions initiales. Voir, par exemple, les oscillations (Leçon 4, p. 8). Cours 2 (suite 2.2)

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Cours 2 (suite 2.3) Exemple 2 de résolution du problème inverse : La force dépend du temps. Une charge de poids P commence à se déplacer le long d'une surface horizontale lisse sous l'influence d'une force F dont l'ampleur est proportionnelle au temps (F = kt). Déterminez la distance parcourue par la charge dans le temps t. 3. On compose l'équation de base de la dynamique : 5. On abaisse l'ordre de la dérivée : 4. On projette l'équation de base de la dynamique sur l'axe des x : soit 7 6. On sépare les variables : 7. On calcule les intégrales des deux côtés de l'équation : 9. On imagine la projection de la vitesse comme la dérivée de la coordonnée par rapport au temps : 10. On calcule les intégrales des deux côtés de l'équation : 9. On sépare les variables : 8. On détermine la valeur de la constante C1 à partir de la condition initiale t = 0, vx = v0=0 : On obtient ainsi l'équation du mouvement (selon l'axe des x), qui donne la valeur de la distance parcourue dans le temps t : 1 . On choisit un système de référence (coordonnées cartésiennes) pour que le corps ait une coordonnée positive : 2. On prend l'objet du mouvement comme un point matériel (le corps se déplace en translation), on le libère de la connexion (le plan de référence) et on le remplace. avec une réaction (la réaction normale d'une surface lisse) : 11. Déterminer la valeur de la constante C2 à partir de la condition initiale t = 0, x = x0=0 : Exemple 3 de résolution du problème inverse : La force dépend de la coordonner. Un point matériel de masse m est projeté vers le haut depuis la surface de la Terre avec une vitesse v0. La force de gravité de la Terre est inversement proportionnelle au carré de la distance d'un point au centre de gravité (le centre de la Terre). Déterminez la dépendance de la vitesse sur la distance y au centre de la Terre. 1. On choisit un système de référence (coordonnées cartésiennes) pour que le corps ait une coordonnée positive : 2. On compose l'équation de base de la dynamique : 3. On projette l'équation de base de la dynamique sur l'axe des y : ou Le coefficient de proportionnalité peut être trouvé à partir du poids d'un point de la surface terrestre : R D'où la différentielle l'équation a la forme : ou 4. On abaisse l'ordre de la dérivée : 5. On fait un changement de variable : 6. On sépare les variables : 7. Nous calculons les intégrales des deux côtés de l'équation : 8. Nous substituons les limites : En conséquence, nous obtenons une expression de la vitesse en fonction de la coordonnée y : La hauteur maximale de vol peut être trouvée en assimilant la vitesse à zéro : Hauteur maximale vol lorsque le dénominateur tend vers zéro : Ainsi, en réglant le rayon de la Terre et l'accélération de la chute libre, on obtient II vitesse de fuite:

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Leçon 2 (suite 2.4) Exemple 2 de résolution du problème inverse : La force dépend de la vitesse. Un vaisseau de masse m avait une vitesse v0. La résistance de l'eau au mouvement du navire est proportionnelle à la vitesse. Déterminez le temps pendant lequel la vitesse du navire diminuera de moitié après l'arrêt du moteur, ainsi que la distance parcourue par le navire jusqu'à son arrêt complet. 8 1. On choisit un système de référence (coordonnées cartésiennes) pour que le corps ait une coordonnée positive : 2. On prend l'objet du mouvement comme point matériel (le navire se déplace en translation), on le libère des connexions (eau) et on le remplace avec une réaction (force de poussée - la force d'Archimède), et aussi la force de résistance au mouvement. 3. Ajoutez la force active (gravité). 4. On compose l'équation de base de la dynamique : 5. On projette l'équation de base de la dynamique sur l'axe des x : ou 6. On abaisse l'ordre de la dérivée : 7. On sépare les variables : 8. On calcule les intégrales de des deux côtés de l'équation : 9. On substitue les limites : On obtient une expression qui relie la vitesse et le temps t, à partir de laquelle on peut déterminer le temps de déplacement : Temps de déplacement pendant lequel la vitesse va baisser de moitié : Il est intéressant de notez que lorsque la vitesse se rapproche de zéro, le temps de déplacement tend vers l'infini, c'est-à-dire la vitesse finale ne peut pas être nulle. Pourquoi pas le « mouvement perpétuel » ? Cependant, la distance parcourue jusqu'à l'arrêt est une valeur finie. Pour déterminer la distance parcourue, on se tourne vers l'expression obtenue après abaissement de l'ordre de la dérivée et effectué un changement de variable : Après intégration et substitution des limites, on obtient : Distance parcourue pour s'arrêter : ■ Le mouvement d'un point lancé sur un angle par rapport à l'horizon dans un champ de gravité uniforme sans tenir compte de la résistance de l'air. En éliminant le temps des équations de mouvement, nous obtenons l'équation de la trajectoire : Le temps de vol est déterminé en assimilant la coordonnée y à zéro : La distance de vol est déterminée en substituant le temps de vol :

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Cours 3 Oscillations rectilignes d'un point matériel - Le mouvement oscillatoire d'un point matériel se produit sous la condition : il existe une force de rappel qui tend à ramener le point à la position d'équilibre pour tout écart par rapport à cette position. 9 Il y a une force de rappel, la position d'équilibre est stable Il n'y a pas de force de rappel, la position d'équilibre est instable Il n'y a pas de force de rappel, la position d'équilibre est indifférente Il y a une force de rappel, la position d'équilibre est stable Une analyse est nécessaire L'élastique La force d'un ressort est un exemple de force de rappel linéaire. Toujours orientée vers la position d'équilibre, la valeur est directement proportionnelle à l'allongement linéaire (raccourcissement) du ressort, égal à l'écart du corps par rapport à la position d'équilibre : c est le coefficient de raideur du ressort, numériquement égal à la force sous l'influence dont le ressort change de longueur d'une unité, mesurée en N/m dans le système SI. x y O Types de vibrations d'un point matériel : 1. Vibrations libres (sans tenir compte de la résistance du milieu). 2. Oscillations libres tenant compte de la résistance du milieu (oscillations amorties). 3. Vibrations forcées. 4. Vibrations forcées tenant compte de la résistance du milieu. ■ Vibrations libres – se produisent uniquement sous l'influence de la force de rappel. Écrivons la loi fondamentale de la dynamique : Choisissons un système de coordonnées dont le centre est à la position d'équilibre (point O) et projetons l'équation sur l'axe des x : Amenons l'équation résultante à la forme standard (canonique) : Cette équation est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre dont le type de solution est déterminé par les racines des équations caractéristiques obtenues par substitution universelle : Les racines de l'équation caractéristique sont imaginaires et égales à : Solution générale l'équation différentielle a la forme : Vitesse ponctuelle : Conditions initiales: Définissons les constantes : Ainsi, l'équation des oscillations libres a la forme : L'équation peut être représentée par une expression à un terme : où a est l'amplitude, est la phase initiale. Les nouvelles constantes a et - sont associées aux relations constantes C1 et C2 : Définissons a et : La cause de l'apparition des oscillations libres est le déplacement initial x0 et/ou la vitesse initiale v0.

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10 Cours 3 (suite 3.2) Oscillations amorties d'un point matériel – Le mouvement oscillatoire d'un point matériel se produit en présence d'une force de rappel et d'une force de résistance au mouvement. La dépendance de la force de résistance au mouvement sur le déplacement ou la vitesse est déterminée par la nature physique de l'environnement ou de la connexion qui empêche le mouvement. La dépendance la plus simple est une dépendance linéaire sur la vitesse (résistance visqueuse) : - coefficient de viscosité x y O Équation de base de la dynamique : Projection de l'équation de la dynamique sur l'axe : Ramenons l'équation à la forme standard : où L'équation caractéristique a des racines : La solution générale de cette équation différentielle a une forme différente selon les valeurs des racines : 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – cas de résistance visqueuse élevée : - les racines sont réelles, différentes. ou - ces fonctions sont apériodiques : 3. n = k : - les racines sont réelles, multiples. ces fonctions sont également apériodiques :

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Cours 3 (suite 3.3) Classification des solutions de vibrations libres. Méthodes de connexion des ressorts. Dureté équivalente. o o 11 Diff. Équation de caractère. équation Racines du caractère. équations Solution de l'équation différentielle Graphique nk n=k

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Cours 4 Oscillations forcées d'un point matériel - Parallèlement à la force de rappel, une force changeant périodiquement agit, appelée force perturbatrice. La force perturbatrice peut être de nature différente. Par exemple, dans un cas particulier, l'action inertielle du balourd m1 d'un rotor en rotation provoque des projections de force variant harmoniquement : Équation de base de la dynamique : Projection de l'équation de la dynamique sur l'axe : Réduisons l'équation à la forme standard : 12 La solution de cette équation différentielle inhomogène se compose de deux parties x = x1 + x2 : x1 est la solution générale de l'équation homogène correspondante et x2 est la solution particulière de l'équation inhomogène : On sélectionne une solution particulière sous la forme de membre de droite : l’égalité résultante doit être satisfaite pour tout t. Alors : ou Ainsi, avec l'action simultanée de forces de rappel et de perturbation, un point matériel effectue un mouvement oscillatoire complexe, qui est le résultat de l'addition (superposition) d'oscillations libres (x1) et forcées (x2). Si p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием solution complète(!) : Ainsi, une solution particulière : Si p > k (oscillations forcées de haute fréquence), alors la phase des oscillations est opposée à la phase de la force perturbatrice :

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Cours 4 (suite 4.2) 13 Coefficient dynamique - le rapport de l'amplitude des oscillations forcées à la déviation statique d'un point sous l'influence d'une force constante H = const : Amplitude des oscillations forcées : L'écart statique peut être trouvé à partir de l'équation d'équilibre : Ici : D'ici : Ainsi, à p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >coefficient dynamique k (haute fréquence des oscillations forcées) : Résonance - se produit lorsque la fréquence des oscillations forcées coïncide avec la fréquence des oscillations naturelles (p = k). Cela se produit le plus souvent lors du démarrage et de l'arrêt de la rotation de rotors mal équilibrés montés sur suspensions élastiques. Équation différentielle des oscillations à fréquences égales : Une solution particulière sous la forme du côté droit ne peut pas être prise, car vous obtenez une solution linéairement dépendante (voir solution générale). Solution générale : Remplacer dans l'équation différentielle : Prendre une solution particulière sous la forme et calculer les dérivées : Ainsi, la solution est obtenue : ou Les oscillations forcées lors de la résonance ont une amplitude qui augmente indéfiniment proportionnellement au temps. L'influence de la résistance au mouvement lors de vibrations forcées. L'équation différentielle en présence de résistance visqueuse a la forme : La solution générale est choisie dans le tableau (Leçon 3, page 11) en fonction du rapport de n et k (voir). On prend la solution partielle sous la forme et on calcule les dérivées : On la remplace dans l'équation différentielle : En égalisant les coefficients des mêmes fonctions trigonométriques, on obtient un système d'équations : En élevant les deux équations à la puissance et en les additionnant, on obtient la amplitude des oscillations forcées : En divisant la deuxième équation par la première on obtient le déphasage des oscillations forcées : Ainsi , l'équation du mouvement pour les oscillations forcées prenant en compte la résistance au mouvement, par exemple pour n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Cours 5 Mouvement relatif d'un point matériel – Supposons que le système de coordonnées mobile (non inertiel) Oxyz se déplace selon une certaine loi par rapport au système de coordonnées fixe (inertiel) O1x1y1z1. Le mouvement du point matériel M (x, y, z) par rapport au système mobile Oxyz est relatif, par rapport au système fixe O1x1y1z1 est absolu. Le mouvement du système mobile Oxyz par rapport au système fixe O1x1y1z1 est un mouvement portable. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Équation de base de la dynamique : Accélération absolue d'un point : Remplaçons l'accélération absolue d'un point dans l'équation de base de la dynamique : Déplaçons les termes avec accélération portable et de Coriolis vers la droite : Les termes transférés ont la dimension des forces et sont considérés comme les forces d'inertie correspondantes, égales : Alors le mouvement relatif du point peut être considéré comme absolu, si l'on ajoute les forces d'inertie de transfert et de Coriolis aux forces agissantes : Dans les projections sur le axes du système de coordonnées mobile nous avons : Cas particuliers du mouvement relatif du point pour différents types mouvement portable : 1. Rotation autour d'un axe fixe : Si la rotation est uniforme, alors εe = 0 : 2. Mouvement curviligne de translation : Si le mouvement est rectiligne, alors = : Si le mouvement est rectiligne et uniforme, alors le système mobile est le mouvement inertiel et relatif peut être considéré comme absolu : Aucun phénomènes mécaniques il est impossible de détecter un mouvement rectiligne uniforme (principe de relativité de la mécanique classique). L'influence de la rotation terrestre sur l'équilibre des corps - Supposons que le corps soit en équilibre à la surface de la Terre à une latitude arbitraire φ (parallèle). La Terre tourne autour de son axe d’ouest en est à une vitesse angulaire : le rayon de la Terre est d’environ 6 370 km. S R – réaction totale d'une surface non lisse. G est la force d'attraction de la Terre vers le centre. F – force centrifuge d'inertie. Condition d'équilibre relatif : La résultante des forces d'attraction et d'inertie est la force de gravité (poids) : L'amplitude de la force de gravité (poids) à la surface de la Terre est P = mg. La force centrifuge d'inertie est une petite fraction de la force de gravité : L'écart de la force de gravité par rapport à la direction de la force d'attraction est également faible : Ainsi, l'influence de la rotation de la Terre sur l'équilibre des corps est extrêmement faible et n’est pas pris en compte dans les calculs pratiques. La valeur maximale de la force d'inertie (à φ = 0 - à l'équateur) n'est que de 0,00343 de la force de gravité

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Cours 5 (suite 5.2) 15 L’influence de la rotation de la Terre sur le mouvement des corps dans le champ gravitationnel terrestre – Supposons qu’un corps tombe sur la Terre d’une certaine hauteur H au-dessus de la surface terrestre à la latitude φ. Choisissons un référentiel mobile rigidement relié à la Terre, orientant les axes x, y tangentiellement au parallèle et au méridien : Equation du mouvement relatif : La petitesse de la force d'inertie centrifuge par rapport à la force de gravité est prise en compte compte ici. Ainsi, la force de gravité s’identifie à la force de gravité. De plus, nous pensons que la force de gravité est dirigée perpendiculairement à la surface de la Terre en raison de la faible déviation, comme indiqué ci-dessus. L'accélération de Coriolis est égale et dirigée parallèlement à l'axe y à l'ouest. La force d'inertie de Coriolis est dirigée vers le côté opposé. Projetons l'équation du mouvement relatif sur l'axe : La solution de la première équation donne : Conditions initiales : La solution de la troisième équation donne : Conditions initiales : La troisième équation prend la forme : Conditions initiales : Sa solution donne : La solution résultante montre que le corps dévie vers l'est en tombant. Calculons l'ampleur de cet écart, par exemple lors d'une chute d'une hauteur de 100 m. Nous trouverons le temps de chute à partir de la solution de la deuxième équation : Ainsi, l'influence de la rotation de la Terre sur le mouvement des corps est extrêmement. petit pour des hauteurs et des vitesses pratiques et n'est pas pris en compte dans les calculs techniques. De la solution de la deuxième équation, il découle également l'existence d'une vitesse le long de l'axe y, qui devrait également provoquer et provoque effectivement l'accélération et la force d'inertie de Coriolis correspondantes. L'influence de cette vitesse et de la force d'inertie qui lui est associée sur le changement de mouvement sera encore moindre que la force d'inertie de Coriolis considérée associée à la vitesse verticale.

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Cours 6 Dynamique d'un système mécanique. Un système de points matériels ou un système mécanique - Un ensemble de points matériels ou matériels, unis par des lois générales d'interaction (la position ou le mouvement de chaque point ou corps dépend de la position et du mouvement de tous les autres) Un système de points libres points - dont le mouvement n'est limité par aucune connexion (par exemple, un système planétaire dans lequel les planètes sont considérées comme des points matériels). Un système de points non libres ou un système mécanique non libre - le mouvement des points ou des corps matériels est limité par des connexions imposées au système (par exemple, un mécanisme, une machine, etc.). 16 Forces agissant sur le système. En plus de la classification des forces précédemment existante (forces actives et réactives), une nouvelle classification des forces est introduite : 1. Forces externes (e) - agissant sur les points et les corps du système à partir de points ou de corps qui n'en font pas partie. système. 2. Forces internes (i) – forces d'interaction entre des points matériels ou des corps inclus dans ce système. La même force peut être à la fois une force externe et une force interne. Tout dépend du type de système mécanique envisagé. Par exemple : Dans le système Soleil, Terre et Lune, toutes les forces gravitationnelles entre elles sont internes. Lorsque l’on considère le système Terre et Lune, les forces gravitationnelles appliquées par le Soleil sont externes : C Z L D’après la loi d’action et de réaction, chaque force interne Fk correspond à une autre force interne Fk’, égale en ampleur et de direction opposée. Deux propriétés remarquables des forces internes en découlent : Le vecteur principal de toutes les forces internes du système est égal à zéro : Le moment principal de toutes les forces internes du système par rapport à n'importe quel centre est égal à zéro : Ou en projections sur la coordonnée axes : Remarque. Bien que ces équations soient similaires aux équations d'équilibre, ce ne sont pas des équations d'équilibre puisque des forces internes sont appliquées à divers points ou des corps du système et peuvent provoquer le mouvement de ces points (corps) les uns par rapport aux autres. De ces équations il résulte que les forces internes n'affectent pas le mouvement du système considéré dans son ensemble. Centre de masse d'un système de points matériels. Pour décrire le mouvement du système dans son ensemble, un point géométrique est introduit, appelé centre de masse, dont le rayon vecteur est déterminé par l'expression, où M est la masse de l'ensemble du système : Ou en projections sur la coordonnée axes : Les formules pour le centre de masse sont similaires aux formules pour le centre de gravité. Cependant, la notion de centre de masse est plus générale car elle n'est pas liée aux forces gravitationnelles ou aux forces gravitationnelles.

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Cours 6 (suite 6.2) 17 Théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système – Considérons un système de n points matériels. Nous divisons les forces appliquées à chaque point en externes et internes et les remplaçons par les résultantes correspondantes Fke et Fki. Écrivons l'équation de base de la dynamique pour chaque point : ou On additionne ces équations sur tous les points : A gauche de l'équation on rentre les masses sous le signe de la dérivée et on remplace la somme des dérivées par la dérivée de la somme : De la définition du centre de masse : On substitue dans l'équation résultante : Après avoir sorti la masse du système du signe de la dérivée on obtient soit : Le produit de la masse du système et de l'accélération de son centre la masse est égale au vecteur principal des forces externes. Dans les projections sur des axes de coordonnées : Le centre de masse du système se déplace comme un point matériel avec une masse égale à la masse de l'ensemble du système, auquel sont appliquées toutes les forces externes agissant sur le système. Corollaires du théorème sur le mouvement du centre de masse du système (lois de conservation) : 1. Si dans l'intervalle de temps le vecteur principal des forces externes du système est nul, Re = 0, alors la vitesse du centre de masse est constante, vC = const (le centre de masse se déplace uniformément de manière rectiligne - la loi de conservation du mouvement du centre de masse). 2. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal des forces externes du système sur l'axe des x est nulle, Rxe = 0, alors la vitesse du centre de masse le long de l'axe des x est constante, vCx = const ( le centre de masse se déplace uniformément le long de l'axe). Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z. Exemple : Deux personnes de masses m1 et m2 se trouvent dans un bateau de masse m3. Au début, le bateau avec les gens était au repos. Déterminer le déplacement du bateau si une personne de masse m2 se déplaçait vers la proue du bateau à une distance a. 3. Si dans l'intervalle de temps le vecteur principal des forces externes du système est nul, Re = 0, et à l'instant initial la vitesse du centre de masse est nulle, vC = 0, alors le rayon vecteur du centre de masse reste constante, rC = const (le centre de masse est au repos – loi de conservation de la position du centre de masse). 4. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal des forces externes du système sur l'axe des x est nulle, Rxe = 0, et à l'instant initial la vitesse du centre de masse le long de cet axe est nulle, vCx = 0, alors la coordonnée du centre de masse le long de l'axe x reste constante, xC = const (le centre de masse ne se déplace pas le long de cet axe). Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z. 1. Objet du mouvement (bateau avec des personnes) : 2. Rejeter les connexions (eau) : 3. Remplacer la connexion par la réaction : 4. Ajouter les forces actives : 5. Écrire le théorème sur le centre de masse : Projeter sur l'axe des x : O Déterminez la distance que vous devez parcourir jusqu'à une personne de masse m1, pour que le bateau reste en place : Le bateau se déplacera d'une distance l dans la direction opposée.

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Cours 7 L'impulsion de force est une mesure d'interaction mécanique qui caractérise la transmission du mouvement mécanique des forces agissant sur un point pendant une période de temps donnée : 18 En projections sur les axes de coordonnées : Dans le cas d'une force constante : En projections sur les axes de coordonnées : L'impulsion résultante est égale à la somme géométrique des impulsions appliquées au point de forces dans la même période de temps : Multiplier par dt : Intégrer sur une période de temps donnée : L'impulsion d'un point est une mesure de mouvement mécanique, déterminé par un vecteur égal au produit de la masse d'un point par le vecteur de sa vitesse : Théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système - Considérons un système à n points matériels. Nous divisons les forces appliquées à chaque point en externes et internes et les remplaçons par les résultantes correspondantes Fke et Fki. Écrivons pour chaque point l'équation de base de la dynamique : ou L'impulsion d'un système de points matériels est la somme géométrique des quantités de mouvement des points matériels : Par définition du centre de masse : Le vecteur impulsion du système est égal au produit de la masse de l'ensemble du système par le vecteur vitesse du centre de masse du système. Alors : En projections sur les axes de coordonnées : La dérivée temporelle du vecteur impulsion du système est égale au vecteur principal des forces extérieures du système. Résumons ces équations sur tous les points : Sur le côté gauche de l'équation, inscrivez les masses sous le signe de la dérivée et remplacez la somme des dérivées par la dérivée de la somme : De la définition de la quantité de mouvement du système : En projections sur les axes de coordonnées :

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Théorème d'Euler - Application du théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système au mouvement d'un milieu continu (l'eau). 1. On sélectionne comme objet de mouvement le volume d'eau situé dans le canal curviligne de la turbine : 2. On écarte les connexions et on remplace leur action par des réactions (Rsur est la résultante des forces de surface) 3. On ajoute des forces actives ( Rob est la résultante des forces volumétriques) : 4. Nous écrivons le théorème sur le changement de la quantité de mouvement du système : Nous présentons la quantité de mouvement de l'eau aux instants t0 et t1 sous forme de sommes : Modification de la quantité de mouvement de l'eau dans l'intervalle de temps : Changement dans l'impulsion de l'eau sur un intervalle de temps infinitésimal dt : , où F1 F2 En prenant le produit de la densité, de l'aire de la section transversale et de la vitesse pour la deuxième masse, nous obtenons : En substituant la différentielle de l'impulsion du système dans le théorème de changement, nous obtenons : Corollaires du théorème sur le changement de la quantité de mouvement du système (lois de conservation) : 1. Si dans l'intervalle de temps le vecteur principal des forces externes du système est nul, Re = 0, alors la quantité vecteur mouvement est constante, Q = const – la loi de conservation de la quantité de mouvement du système). 2. Si dans l'intervalle de temps la projection du vecteur principal des forces externes du système sur l'axe des x est nulle, Rxe = 0, alors la projection de l'impulsion du système sur l'axe des x est constante, Qx = const . Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z. Cours 7 (suite de 7.2) Exemple : Une grenade de masse M, volant à une vitesse v, a explosé en deux parties. La vitesse d'un des fragments de masse m1 a augmenté dans le sens du mouvement jusqu'à une valeur v1. Déterminez la vitesse du deuxième fragment. 1. Objet de mouvement (grenade) : 2. Objet – système gratuit, les connexions et leurs réactions sont absentes. 3. Additionner les forces actives : 4. Écrire le théorème sur le changement de quantité de mouvement : Projeter sur l'axe : β Séparer les variables et intégrer : L'intégrale droite est pratiquement égale à zéro, car temps d'explosion t

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Cours 7 (suite 7.3) 20 Le moment cinétique d'un point ou le moment cinétique d'un point par rapport à un centre est une mesure du mouvement mécanique déterminé par un vecteur égal au produit vectoriel du rayon vecteur d'un point matériel et du vecteur de son élan : Le moment cinétique d'un système de points matériels par rapport à un centre est géométrique la somme du moment cinétique de tous les points matériels par rapport au même centre : Dans les projections sur l'axe : Dans les projections sur l'axe : Théorème du changement le moment cinétique du système – Considérons un système de n points matériels. Nous divisons les forces appliquées à chaque point en externes et internes et les remplaçons par les résultantes correspondantes Fke et Fki. Écrivons l'équation de base de la dynamique pour chaque point : ou Faisons la somme de ces équations sur tous les points : Remplaçons la somme des dérivées par la dérivée de la somme : L'expression entre parenthèses est le moment cinétique du système. D'où : Multiplions vectoriellement chacune des égalités par le rayon vecteur de gauche : Voyons s'il est possible de déplacer le signe de la dérivée en dehors du produit vectoriel : On obtient ainsi : La dérivée du vecteur moment cinétique du système par rapport à un centre est égal en temps au moment principal des forces externes du système par rapport au même centre. Dans les projections sur des axes de coordonnées : La dérivée du moment d'impulsion du système par rapport à un certain axe dans le temps est égale au moment principal des forces externes du système par rapport au même axe.

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Cours 8 21 ■ Corollaires du théorème sur la variation du moment cinétique d'un système (lois de conservation) : 1. Si dans un intervalle de temps le vecteur du moment principal des forces externes du système par rapport à un centre est nul, MOe = 0, puis le vecteur moment cinétique du système par rapport à la même constante centrale, KO = const – loi de conservation du moment cinétique du système). 2. Si dans l'intervalle de temps le moment principal des forces externes du système par rapport à l'axe x est nul, Mxe = 0, alors le moment cinétique du système par rapport à l'axe x est constant, Kx = const. Des affirmations similaires sont vraies pour les axes y et z. 2. Moment d'inertie d'un corps rigide par rapport à l'axe : Le moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe est égal au produit de la masse du point par le carré de la distance du point à l'axe. Moment d'inertie d'un corps rigide autour d'un axe égal à la somme produits de la masse de chaque point par le carré de la distance de ce point à l'axe. ■ Éléments de la théorie des moments d'inertie – Dans le mouvement de rotation d'un corps rigide, la mesure de l'inertie (résistance au changement de mouvement) est le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation. Considérons les concepts de base de définition et les méthodes de calcul des moments d'inertie. 1. Moment d'inertie d'un point matériel par rapport à l'axe : Lors du passage d'une petite masse discrète à une masse infinitésimale d'un point, la limite d'une telle somme est déterminée par l'intégrale : moment d'inertie axial d'un corps rigide. En plus du moment d'inertie axial d'un corps solide, il existe d'autres types de moments d'inertie : le moment d'inertie centrifuge d'un corps solide. moment d'inertie polaire d'un corps rigide. 3. Le théorème sur les moments d'inertie d'un corps rigide par rapport aux axes parallèles - la formule de passage aux axes parallèles : Moment d'inertie par rapport à l'axe de référence Moments d'inertie statiques par rapport aux axes de référence Masse corporelle Distance entre les axes z1 et z2 Ainsi : Si l'axe z1 passe par le centre de masse, alors les moments statiques sont nuls :

24 diapositives

Cours 8 (suite 8.2) 22 Moment d'inertie d'une tige homogène de section constante par rapport à l'axe : x z L Choisir le volume élémentaire dV = Adx à une distance x : x dx Masse élémentaire : Pour calculer le moment d'inertie relatif à l'axe central (passant par le centre de gravité), il suffit de changer l'emplacement de l'axe et de fixer des limites d'intégration (-L/2, L/2). Nous démontrons ici la formule de transition vers des axes parallèles : zC 5. Le moment d'inertie d'un cylindre solide homogène par rapport à l'axe de symétrie : H dr r Sélectionnons le volume élémentaire dV = 2πrdrH (cylindre mince de rayon r) : Masse élémentaire : La formule du volume du cylindre V = πR2H est utilisée ici. Pour calculer le moment d'inertie d'un cylindre creux (épais), il suffit de fixer les limites d'intégration de R1 à R2 (R2> R1) : 6. Moment d'inertie d'un cylindre mince par rapport à l'axe de symétrie (t

25 diapositives

Cours 8 (suite 8.3) 23 ■ Équation différentielle pour la rotation d'un corps rigide autour d'un axe : Écrivons un théorème sur la variation du moment cinétique d'un corps rigide tournant autour d'un axe fixe : Le moment cinétique d'un corps rigide en rotation corps est égal à : Le moment des forces extérieures par rapport à l'axe de rotation est égal au couple (les moments de réaction et de force de gravité ne créent pas) : On substitue le moment cinétique et le couple dans le théorème Exemple : Deux personnes de même poids G1 = G2 sont suspendus à une corde jetée sur un bloc de poids solide G3 = G1/4. À un moment donné, l’un d’eux a commencé à grimper sur la corde avec une vitesse relative u. Déterminez le taux de croissance de chaque personne. 1. Sélectionnez l'objet de mouvement (bloc avec personnes) : 2. Jetez les connexions (dispositif de support du bloc) : 3. Remplacez la connexion par des réactions (appui) : 4. Ajoutez des forces actives (forces de gravité) : 5. Écrivez le théorème sur la modification du moment cinétique du système par rapport à l'axe de rotation du bloc : R Puisque le moment des forces externes est nul, le moment cinétique doit rester constant : Au moment initial t = 0, il y avait un équilibre et Kz0 = 0. Après le début du mouvement d'une personne par rapport à la corde, l'ensemble du système a commencé à bouger, mais le système de moments cinétiques doit rester égal à zéro : Kz = 0. Le moment cinétique du système est constitué des moments cinétiques des deux personnes et du bloc : Ici v2 est la vitesse de la deuxième personne, égale à la vitesse du câble Exemple : Déterminer la période des petites oscillations libres d'une tige homogène de masse M et de longueur l, suspendue par une extrémité à. l'axe de rotation fixe. Ou : Dans le cas de petites oscillations sinφ φ : Période d'oscillation : Moment d'inertie de la tige :

26 diapositives

Conférence 8 (suite du 8.4 – matériel supplémentaire) 24 ■ Théorie élémentaire du gyroscope : Un gyroscope est un corps rigide tournant autour d'un axe de symétrie matérielle dont l'un des points est immobile. Gyroscope libre - fixé de manière à ce que son centre de masse reste stationnaire et que l'axe de rotation passe par le centre de masse et puisse prendre n'importe quelle position dans l'espace, c'est-à-dire l’axe de rotation change de position comme l’axe de rotation du corps lors d’un mouvement sphérique. L'hypothèse principale de la théorie approximative (élémentaire) d'un gyroscope est que le vecteur moment cinétique (moment cinétique) du rotor est considéré comme étant dirigé le long de son propre axe de rotation. Ainsi, malgré le fait que dans le cas général le rotor participe à trois rotations, seule la vitesse angulaire de sa propre rotation ω = dφ/dt est prise en compte. La raison en est que dans technologie moderne Le rotor du gyroscope tourne à une vitesse angulaire de l'ordre de 5 000 à 8 000 rad/s (environ 50 000 à 80 000 tr/min), tandis que les deux autres vitesses angulaires associées à la précession et à la nutation de son propre axe de rotation sont des dizaines de milliers de fois inférieures. que cette vitesse. La propriété principale d'un gyroscope libre est que l'axe du rotor maintient une direction constante dans l'espace par rapport au référentiel inertiel (stellaire) (démontré par le pendule de Foucault, qui maintient le plan d'oscillation inchangé par rapport aux étoiles, 1852) . Cela découle de la loi de conservation du moment cinétique par rapport au centre de masse du rotor, à condition de négliger les frottements dans les roulements des axes de suspension du rotor, des bâtis externes et internes : L'action de la force sur l'axe du gyroscope libre . Dans le cas d'une force appliquée sur l'axe du rotor, le moment des forces extérieures par rapport au centre de masse n'est pas égal à zéro : ω ω C La dérivée du moment cinétique par rapport au temps est égale à la vitesse de l'extrémité de ce vecteur (théorème de Resal) : Cela signifie que l'axe du rotor va s'écarter dans une autre direction que la force d'action, et vers le vecteur du moment de cette force, soit ne tournera pas autour de l'axe x (suspension interne), mais autour de l'axe y (suspension externe). Lorsque la force cesse, l'axe du rotor restera dans une position inchangée correspondant au dernier moment de la force, car à partir de ce moment, le moment des forces extérieures redevient égal à zéro. En cas de force (impact) à court terme, l'axe du gyroscope ne change pratiquement pas de position. Ainsi, la rotation rapide du rotor donne au gyroscope la capacité de contrecarrer les influences aléatoires qui tendent à modifier la position de l'axe de rotation du rotor, et avec une force constante, il maintient la position du plan perpendiculaire à la force agissant dans laquelle le rotor l'axe se trouve. Ces propriétés sont utilisées dans le fonctionnement des systèmes de navigation inertielle.

Dans le cadre de tout cursus pédagogique, l’étude de la physique commence par la mécanique. Pas de théorie, pas de théorie appliquée ou informatique, mais de la bonne vieille mécanique classique. Cette mécanique est aussi appelée mécanique newtonienne. Selon la légende, un scientifique se promenait dans le jardin et a vu une pomme tomber, et c'est ce phénomène qui l'a poussé à découvrir la loi de la gravitation universelle. Bien sûr, la loi a toujours existé et Newton ne lui a donné qu'une forme compréhensible pour les gens, mais son mérite est inestimable. Dans cet article, nous ne décrirons pas les lois de la mécanique newtonienne de manière aussi détaillée que possible, mais nous présenterons les principes fondamentaux, les connaissances de base, les définitions et les formules qui peuvent toujours jouer en votre faveur.

La mécanique est une branche de la physique, une science qui étudie le mouvement des corps matériels et les interactions entre eux.

Le mot lui-même a origine grecque et se traduit par « l’art de construire des machines ». Mais avant de construire des machines, nous sommes toujours comme la Lune, alors suivons les traces de nos ancêtres et étudions le mouvement des pierres lancées en biais par rapport à l'horizon et des pommes qui tombent sur nos têtes d'une hauteur h.

Pourquoi l’étude de la physique commence-t-elle par la mécanique ? Parce que c’est tout à fait naturel, ne faudrait-il pas commencer par l’équilibre thermodynamique ?!

La mécanique est l’une des sciences les plus anciennes et, historiquement, l’étude de la physique a commencé avec les fondements de la mécanique. Placés dans le cadre du temps et de l'espace, les gens, en fait, ne pouvaient pas commencer par autre chose, peu importe ce qu'ils voulaient. Les corps en mouvement sont la première chose à laquelle nous prêtons attention.

Qu'est-ce que le mouvement ?

Le mouvement mécanique est un changement de position des corps dans l'espace les uns par rapport aux autres au fil du temps.

C’est après cette définition qu’on arrive tout naturellement à la notion de référentiel. Changer la position des corps dans l'espace les uns par rapport aux autres. Mots clés ici : les uns par rapport aux autres . Après tout, un passager dans une voiture se déplace par rapport à la personne debout sur le bord de la route à une certaine vitesse, et est au repos par rapport à son voisin assis sur le siège à côté de lui, et se déplace à une autre vitesse par rapport au passager. dans la voiture qui les dépasse.

C'est pourquoi, afin de mesurer normalement les paramètres des objets en mouvement et de ne pas se tromper, nous avons besoin système de référence - corps de référence, système de coordonnées et horloge rigidement interconnectés. Par exemple, la Terre tourne autour du Soleil en système héliocentrique compte à rebours. Au quotidien, nous effectuons la quasi-totalité de nos mesures dans un référentiel géocentrique associé à la Terre. La Terre est un corps de référence par rapport auquel se déplacent les voitures, les avions, les personnes et les animaux.

La mécanique, en tant que science, a sa propre tâche. La tâche de la mécanique est de connaître à tout moment la position d’un corps dans l’espace. En d’autres termes, la mécanique construit une description mathématique du mouvement et établit des liens entre les grandeurs physiques qui le caractérisent.

Pour aller plus loin, nous avons besoin du concept « point matériel " On dit que la physique est une science exacte, mais les physiciens savent combien d’approximations et d’hypothèses doivent être faites pour s’entendre sur cette précision même. Personne n’a jamais vu un point matériel ni senti un gaz parfait, mais ils existent ! Ils sont tout simplement beaucoup plus faciles à vivre.

Un point matériel est un corps dont la taille et la forme peuvent être négligées dans le cadre de ce problème.

Sections de mécanique classique

La mécanique se compose de plusieurs sections

• Cinématique
• Dynamique
• Statique

Cinématique d'un point de vue physique, il étudie exactement comment un corps bouge. En d’autres termes, cette section traite des caractéristiques quantitatives du mouvement. Trouver la vitesse, la trajectoire - problèmes cinématiques typiques

Dynamique résout la question de savoir pourquoi il bouge comme il le fait. Autrement dit, il prend en compte les forces agissant sur le corps.

Statiqueétudie l'équilibre des corps sous l'influence de forces, c'est-à-dire répond à la question : pourquoi ne tombe-t-il pas du tout ?

Limites d'applicabilité de la mécanique classique

La mécanique classique ne prétend plus être une science qui explique tout (au début du siècle dernier, tout était complètement différent) et dispose d'un cadre d'applicabilité clair. En général, les lois de la mécanique classique sont valables dans le monde auquel nous sommes habitués en taille (macromonde). Ils cessent de fonctionner dans le cas du monde des particules, lorsque la mécanique quantique remplace la mécanique classique. De plus, la mécanique classique n'est pas applicable aux cas où le mouvement des corps se produit à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Dans de tels cas, les effets relativistes deviennent prononcés. En gros, dans le cadre de la mécanique quantique et relativiste - la mécanique classique, il s'agit d'un cas particulier où les dimensions du corps sont grandes et la vitesse est petite.

D’une manière générale, les effets quantiques et relativistes ne disparaissent jamais ; ils se produisent également lors du mouvement ordinaire des corps macroscopiques à une vitesse bien inférieure à la vitesse de la lumière. Une autre chose est que l'effet de ces effets est si faible qu'il ne dépasse pas les mesures les plus précises. La mécanique classique ne perdra donc jamais son importance fondamentale.

Nous continuerons à étudier les fondements physiques de la mécanique dans les prochains articles. Pour une meilleure compréhension de la mécanique, vous pouvez toujours vous référer à à nos auteurs, qui éclaireront individuellement la tache sombre de la tâche la plus difficile.

Cours de mécanique théorique

Dynamique d'un point

Conférence 1

Concepts de base de la dynamique

Dans la rubrique Dynamique le mouvement des corps sous l'influence des forces qui leur sont appliquées est étudié. Par conséquent, en plus des concepts introduits dans la section Cinématique, ici, il est nécessaire d'utiliser de nouveaux concepts qui reflètent les spécificités de l'influence des forces sur divers corps et la réaction des corps à ces influences. Considérons les principaux de ces concepts.

a) force

La force est le résultat quantitatif de l'influence exercée sur un corps donné par d'autres corps. La force est une quantité vectorielle (Fig. 1).

Point A du début du vecteur force F appelé point d'application de la force. La droite MN sur laquelle se situe le vecteur force est appelée ligne d'action de la force. La longueur du vecteur force, mesurée sur une certaine échelle, est appelée valeur numérique ou ampleur du vecteur force. Le module de force est noté ou.

L'action d'une force sur un corps se manifeste soit par sa déformation, si le corps est immobile, soit par l'application d'une accélération lorsque le corps se déplace. La conception de divers appareils (forcemètres ou dynamomètres) de mesure de forces s'appuie sur ces manifestations de force.

b) système de forces L’ensemble des forces considéré se forme système de forces.

Tout système constitué de n forces peut s’écrire sous la forme suivante :

c) corps libre Un corps qui peut se déplacer dans l'espace dans n'importe quelle direction sans éprouver d'interaction directe (mécanique) avec d'autres corps est appelé gratuit ou isolé

. L’influence d’un système de forces particulier sur un corps ne peut être éclaircie que si ce corps est libre.

d) force résultante Si une force a le même effet sur un corps libre qu'un système de forces, alors cette force est appelée résultante d'un système de forces donné

,

. Celui-ci s'écrit ainsi : Qu'est-ce que ça veut direéquivalence

influence sur le même corps libre de la résultante et d'un certain système de n forces.

Passons maintenant à considérer des concepts plus complexes liés à la détermination quantitative des effets de rotation des forces.

e) moment de force par rapport à un point (centre) Si un corps sous l'influence d'une force peut tourner autour d'un point fixe O (Fig. 2), alors pour quantifier cet effet de rotation, une quantité physique est introduite, appelée

moment de force par rapport à un point (centre). Le plan passant par un point fixe donné et la ligne d'action de la force s'appelle plan d'action de la force

. Sur la figure 2, il s'agit du plan OAB.

( 1)

Le moment d'une force par rapport à un point (centre) est une grandeur vectorielle égale au produit vectoriel du rayon vecteur du point d'application de la force par le vecteur force : D'après la règle de multiplication vectorielle de deux vecteurs, leur produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire au plan de localisation des vecteurs facteurs (en l'occurrence le plan du triangle OAB), dirigé dans la direction à partir de laquelle la rotation la plus courte de du premier vecteur de facteurs au deuxième vecteur de facteurs Avec cet ordre des vecteurs des facteurs du produit vectoriel (1), la rotation du corps sous l'action de la force sera visible dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (Fig. 2 puisque le vecteur est perpendiculaire au plan d'action du). force, sa localisation dans l'espace détermine la position du plan d'action de la force. La valeur numérique du vecteur du moment de force par rapport au centre est égale à deux fois l'aire OAB et peut être déterminée par la formule :

, (2)

Où ampleurh, égal à la distance la plus courte d'un point O donné à la ligne d'action de la force, est appelé le bras de la force.

Si la position du plan d'action de la force dans l'espace n'est pas indispensable pour caractériser l'action rotationnelle de la force, alors dans ce cas, pour caractériser l'action rotationnelle de la force, à la place du vecteur du moment de force, utiliser moment de force algébrique:

(3)

Le moment algébrique d'une force par rapport à un centre donné est égal au produit du module de la force et de son épaule pris avec un signe plus ou moins. Dans ce cas, le moment positif correspond à la rotation du corps sous l'action d'une force donnée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et le moment négatif correspond à la rotation du corps dans le sens des aiguilles d'une montre. Des formules (1), (2) et (3), il résulte que le moment d'une force par rapport à un point n'est nul que si le bras de cette forcehégal à zéro. Une telle force ne peut pas faire tourner un corps autour d’un point donné.

e) Moment de force autour de l'axe

Si un corps, sous l'influence d'une force, peut tourner autour d'un axe fixe (par exemple, la rotation d'un cadre de porte ou de fenêtre dans ses charnières lors de leur ouverture ou de leur fermeture), alors pour quantifier cet effet de rotation, une grandeur physique est introduit, appelé moment de force autour d'un axe donné.

z

 b Fxy

La figure 3 montre un diagramme selon lequel le moment de force par rapport à l'axe z est déterminé :

L'angle  est formé par deux directions perpendiculaires z et aux plans des triangles O ab et OAV, respectivement. Depuis  O ab est la projection de OAB sur le plan xy, alors d'après le théorème de stéréométrie sur la projection d'une figure plane sur un plan donné on a :

où le signe plus correspond à une valeur cos positive, c'est-à-dire des angles aigus , et le signe moins correspond à une valeur cos négative, c'est-à-dire des angles obtus , qui est déterminé par la direction du vecteur. À son tour, SO ab=1/2abh, Où h  ab . Taille du segment ab est égal à la projection de la force sur le plan xy, c'est-à-dire . ab = F xy .

Sur la base de ce qui précède, ainsi que des égalités (4) et (5), nous déterminons le moment de force par rapport à l'axe z comme suit :

L'égalité (6) permet de formuler la définition suivante du moment de force par rapport à n'importe quel axe : Le moment de force par rapport à un axe donné est égal à la projection sur cet axe du vecteur du moment de cette force par rapport à tout point de cet axe et est défini comme le produit de la projection de la force prise avec un signe plus ou moins sur un plan perpendiculaire à l'axe donné sur l'épaule de cette projection par rapport au point d'intersection de l'axe avec le plan de projection . Dans ce cas, le signe du moment est considéré comme positif si, en regardant depuis la direction positive de l'axe, la rotation du corps autour de cet axe est visible dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Sinon, le moment de force par rapport à l'axe est pris comme négatif. Cette définition du moment de force autour d'un axe étant assez difficile à retenir, il est recommandé de se souvenir de la formule (6) et de la figure 3, qui explique cette formule.

De la formule (6), il résulte que le moment de force autour de l'axe est nul si elle est parallèle à l'axe (dans ce cas sa projection sur le plan perpendiculaire à l'axe est nulle), ou la ligne d'action de la force coupe l'axe (alors le bras de projection h=0). Cela correspond pleinement à la signification physique du moment de force autour d'un axe en tant que caractéristique quantitative de l'effet de rotation d'une force sur un corps ayant un axe de rotation.

g) poids corporel

On a remarqué depuis longtemps que sous l’influence d’une force, un corps prend progressivement de la vitesse et continue de se déplacer si la force est supprimée. Cette propriété des corps à résister aux changements de leur mouvement s'appelle inertie ou inertie des corps. Une mesure quantitative de l’inertie d’un corps est sa masse. En plus, la masse corporelle est une mesure quantitative de l'effet des forces gravitationnelles sur un corps donné Plus la masse du corps est grande, plus la force gravitationnelle agissant sur le corps est importante. Comme cela sera montré ci-dessous, euh Ces deux définitions du poids corporel sont liées.

Les autres concepts et définitions de la dynamique seront discutés plus tard dans les sections où ils apparaissent pour la première fois.

2. Connexions et réactions des connexions

Auparavant, dans la section 1, paragraphe (c), le concept de corps libre était donné, comme un corps qui peut se déplacer dans l'espace dans n'importe quelle direction sans être en contact direct avec d'autres corps. La plupart des corps réels qui nous entourent sont en contact direct avec d’autres corps et ne peuvent pas bouger dans un sens ou dans un autre. Ainsi, par exemple, les corps situés sur la surface de la table peuvent se déplacer dans n'importe quelle direction, sauf dans la direction perpendiculaire à la surface de la table vers le bas. Les portes fixées sur charnières peuvent effectuer un mouvement de rotation, mais ne peuvent pas se déplacer en translation, etc. Les corps qui ne peuvent pas se déplacer dans l'espace dans un sens ou dans un autre sont appelés pas gratuit.

Tout ce qui limite le mouvement d'un corps donné dans l'espace est appelé contrainte. Il peut s'agir d'autres corps qui empêchent le mouvement de ce corps dans certaines directions ( connexions physiques); dans un sens plus large, certaines conditions imposées au mouvement du corps peuvent limiter ce mouvement. Ainsi, on peut poser la condition selon laquelle le mouvement d'un point matériel se produit le long d'une courbe donnée. Dans ce cas, la connexion est spécifiée mathématiquement sous la forme de l'équation ( équation de connexion). La question des types de connexions sera abordée plus en détail ci-dessous.

La plupart des connexions imposées aux corps sont des connexions pratiquement physiques. Se pose alors la question de l’interaction d’un corps donné et de la connexion imposée à ce corps. Cette question trouve sa réponse dans l'axiome sur l'interaction des corps : deux corps agissent l'un sur l'autre avec des forces égales en grandeur, de direction opposée et situées sur la même ligne droite. Ces forces sont appelées forces d’interaction. Les forces d'interaction sont appliquées à différents corps en interaction. Ainsi, par exemple, lors de l'interaction d'un corps donné et d'une connexion, l'une des forces d'interaction est appliquée du côté du corps à la connexion, et l'autre force d'interaction est appliquée du côté de la connexion à ce corps. Cette dernière force est appelée force de réaction de liaison ou, tout simplement, réaction de communication.

Lors de la résolution de problèmes pratiques de dynamique, il est nécessaire de pouvoir trouver la direction des réactions différents types relations. Une règle générale pour déterminer le sens de la réaction d'une connexion peut parfois aider : la réaction d'une connexion est toujours dirigée à l'opposé de la direction dans laquelle cette connexion empêche le mouvement d'un corps donné. Si cette direction peut être spécifiée avec précision, alors la réaction de la liaison sera déterminée par la direction. Sinon, la direction de la réaction de couplage est incertaine et ne peut être trouvée qu’à partir des équations de mouvement ou d’équilibre correspondantes du corps. La question des types de liens et du sens de leurs réactions mériterait d'être étudiée plus en détail à l'aide du manuel : S.M. Targ Cours abrégé de mécanique théorique "Ecole Supérieure", M., 1986. Chapitre 1, §3.

Dans la section 1, paragraphe (c), il a été dit que l'influence de tout système de forces ne peut être complètement déterminée que si ce système de forces est appliqué à un corps libre. Puisque la plupart des corps, en réalité, ne sont pas libres, alors, pour étudier le mouvement de ces corps, la question se pose de savoir comment rendre ces corps libres. Cette question trouve une réponse axiome des connexions de cours Par philosophie à la maison. Conférencesétaient... psychologie sociale et ethnopsychologie. 3. Théorique résultats Dans le darwinisme social, il y avait...

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