Thème 4.6. Calcul des limites

La limite d'une fonction ne dépend pas du fait qu'elle soit définie au point limite ou non. Mais dans la pratique du calcul des limites fonctions élémentaires cette circonstance est d'une importance significative.

1. Si la fonction est élémentaire et si la valeur limite de l'argument appartient à son domaine de définition, alors le calcul de la limite de la fonction se réduit à une simple substitution de la valeur limite de l'argument, car limite de la fonction élémentaire f (x) à x lutter pourUN , qui est inclus dans le domaine de définition, est égal à la valeur partielle de la fonction en x = UN, c'est-à-dire limf(x)=f( un) .

2. Si x tend vers l'infini ou l'argument tend vers un nombre qui n'appartient pas au domaine de définition de la fonction, alors dans chacun de ces cas, trouver la limite de la fonction nécessite une recherche particulière.

Vous trouverez ci-dessous les limites les plus simples basées sur les propriétés des limites pouvant être utilisées comme formules :

Cas plus complexes de recherche de la limite d'une fonction :

chacun est considéré séparément.

Cette section décrira les principales façons de divulguer les incertitudes.

1. Le cas où x lutter pourUN la fonction f(x) représente le rapport de deux quantités infinitésimales

a) Vous devez d'abord vous assurer que la limite de la fonction ne peut pas être trouvée par substitution directe et, avec le changement indiqué dans l'argument, elle représente le rapport de deux quantités infinitésimales. Des transformations sont effectuées pour réduire la fraction d'un facteur tendant vers 0. D'après la définition de la limite d'une fonction, l'argument x tend vers son valeur limite, ne coïncidant jamais avec lui.

En général, si l’on cherche la limite d’une fonction à x lutter pourUN , alors vous devez vous rappeler que x ne prend pas de valeur UN, c'est-à-dire x n'est pas égal à a.

b) Le théorème de Bezout est appliqué. Si vous cherchez la limite d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui disparaissent au point limite x = UN, alors selon le théorème ci-dessus les deux polynômes sont divisibles par x- UN.

c) L'irrationalité au numérateur ou au dénominateur est détruite en multipliant le numérateur ou le dénominateur par le conjugué de l'expression irrationnelle, puis après simplification la fraction est réduite.

d) La 1ère limite remarquable (4.1) est utilisée.

e) Le théorème sur l'équivalence des infinitésimaux et les principes suivants sont utilisés :

2. Le cas où x lutter pourUN la fonction f(x) représente le rapport de deux quantités infiniment grandes

a) Diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par la puissance la plus élevée de l'inconnue.

b) En général, vous pouvez utiliser la règle

3. Le cas où x lutter pourUN la fonction f (x) représente le produit d'une quantité infinitésimale et d'une quantité infiniment grande

La fraction est transformée en une forme dont le numérateur et le dénominateur tendent simultanément vers 0 ou vers l'infini, c'est-à-dire le cas 3 se réduit au cas 1 ou au cas 2.

4. Le cas où x lutter pourUN la fonction f (x) représente la différence de deux quantités infiniment grandes positives

Ce cas se réduit au type 1 ou 2 de l'une des manières suivantes :

a) amener les fractions à un dénominateur commun ;

b) convertir une fonction en fraction ;

c) se débarrasser de l'irrationalité.

5. Le cas où x lutter pourUN la fonction f(x) représente une puissance dont la base tend vers 1 et l'exposant vers l'infini.

La fonction est transformée de manière à utiliser la 2ème limite remarquable (4.2).

Exemple. Trouver .

Parce que x tend vers 3, alors le numérateur de la fraction tend vers le nombre 3 2 +3 *3+4=22, et le dénominateur tend vers le nombre 3+8=11. Ainsi,

Exemple

Ici, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont x tend vers 2 tend vers 0 (incertitude de type), on factorise le numérateur et le dénominateur, on obtient lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Exemple

En multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée au numérateur, on a

En ouvrant les parenthèses au numérateur, on obtient

Exemple

Niveau 2. Exemple. Donnons un exemple d'application de la notion de limite d'une fonction dans les calculs économiques. Considérons une opération financière ordinaire : prêter un montant S 0 à condition qu'après un certain temps T le montant sera remboursé ST. Déterminons la valeur r croissance relative formule

r = (S T -S 0)/S 0 (1)

La croissance relative peut être exprimée en pourcentage en multipliant la valeur résultante r par 100.

A partir de la formule (1), il est facile de déterminer la valeur ST:

ST= S 0 (1 + r)

Lors du calcul des prêts à long terme couvrant plusieurs années complètes, un système d'intérêts composés est utilisé. Cela consiste dans le fait que si pour la 1ère année le montant S 0 augmente à (1 + r) fois, puis pour la deuxième année en (1 + r) fois la somme augmente S 1 = S 0 (1 + r), c'est S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Il s'avère que c'est pareil S 3 = S 0 (1 + r) 3 . À partir des exemples ci-dessus, nous pouvons déduire une formule générale pour calculer la croissance du montant de n années lorsqu'il est calculé selon le régime des intérêts composés :

S n= S 0 (1 + r) n.

Dans les calculs financiers, on utilise des systèmes dans lesquels les intérêts composés sont calculés plusieurs fois par an. Dans ce cas il est stipulé taux annuel r Et nombre d'accumulations par an k. En règle générale, les cumuls sont effectués à intervalles égaux, c'est-à-dire la durée de chaque intervalle Merci fait partie de l’année. Puis pour la période en T années (ici T pas nécessairement un nombre entier) ST calculé par la formule

(2)

Où - partie entière numéro, qui coïncide avec le numéro lui-même, si, par exemple, T? entier.

Soit le taux annuel r et est produit n régularisations par an à intervalles réguliers. Puis pour l'année le montant S 0 est augmenté jusqu'à une valeur déterminée par la formule

(3)

En analyse théorique et pratique activités financières La notion d’« intérêts accumulés en continu » est souvent utilisée. Pour passer aux intérêts accumulés en continu, vous devez augmenter indéfiniment dans les formules (2) et (3), respectivement, les nombres k Et n(c'est-à-dire diriger k Et nà l'infini) et calculer jusqu'à quelle limite tendront les fonctions ST Et S 1. Appliquons cette procédure à la formule (3) :

Notez que la limite entre accolades coïncide avec la deuxième limite remarquable. Il s'ensuit qu'au rythme annuel r avec intérêts courus continuellement, le montant S 0 en 1 an augmente la valeur S 1 *, qui est déterminé à partir de la formule

S 1 * = S 0 euh (4)

Laissez maintenant la somme S 0 est accordé sous forme de prêt avec intérêts courus n une fois par an à intervalles réguliers. Notons concernant taux annuel auquel, à la fin de l'année, le montant S 0 est augmenté à la valeur S 1 * de la formule (4). Dans ce cas, nous dirons que concernant- Ce taux d'intérêt annuel n une fois par an, équivalent aux intérêts annuels r avec une accumulation continue. De la formule (3) on obtient

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Assumer les membres droits de la dernière formule et de la formule (4), en supposant dans cette dernière T= 1, on peut déduire des relations entre les quantités r Et concernant:

Ces formules sont largement utilisées dans les calculs financiers.

À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi elle est consommée - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous ne comprenez peut-être pas ce que sont les déterminants et ne réussissez pas à les résoudre ; vous ne comprenez peut-être pas du tout ce qu'est une dérivée et ne les trouvez pas avec un « A ». Mais si vous ne comprenez pas ce qu’est une limite, il sera alors difficile de résoudre des problèmes pratiques. Ce serait également une bonne idée de vous familiariser avec les exemples de solutions et mes recommandations de conception. Toutes les informations sont présentées sous une forme simple et accessible.

Et pour les besoins de cette leçon, nous aurons besoin du matériel pédagogique suivant : Des limites merveilleuses Et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique et, de plus, vous devrez souvent vous y référer hors ligne.

Qu’y a-t-il de si spécial dans les limites remarquables ? Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et que leurs descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de puissances. Autrement dit, pour trouver les limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.

Il existe plusieurs merveilleuses limites, mais en pratique, dans 95 % des cas, les étudiants à temps partiel ont deux merveilleuses limites : La première limite merveilleuse, Deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter qu'il s'agit de noms historiquement établis, et lorsque, par exemple, ils parlent de « la première limite remarquable », ils entendent par là une chose très spécifique, et non une limite aléatoire prise au plafond.

La première limite merveilleuse

Considérez la limite suivante : (au lieu de la lettre native « il », j'utiliserai la lettre grecque « alpha », c'est plus pratique du point de vue de la présentation du matériel).

D'après notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) on essaie de substituer zéro dans la fonction : au numérateur on obtient zéro (le sinus de zéro est zéro), et au dénominateur, évidemment, il y a aussi zéro. Nous sommes donc confrontés à une incertitude sur la forme, qui, heureusement, n’a pas besoin d’être divulguée. Au courant analyse mathématique, il est prouvé que :

Ce fait mathématique est appelé D'abord merveilleuse limite . Je ne donnerai pas de preuve analytique de la limite, mais nous examinerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.

Souvent dans tâches pratiques les fonctions peuvent être disposées différemment, cela ne change rien :

- la même première merveilleuse limite.

Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.

En pratique, non seulement une variable, mais aussi une fonction élémentaire ou une fonction complexe peut faire office de paramètre. La seule chose importante c'est qu'il tende vers zéro.

Exemples :
, , ,

Ici , , , , et tout va bien - la première limite merveilleuse est applicable.

Mais l’entrée suivante est une hérésie :

Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.

Au fait, une petite question : quelle est la limite ? ? La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Dans la pratique, tout ne se passe pas aussi bien ; on ne propose presque jamais à un étudiant de résoudre une limite gratuite et d'obtenir une passe facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il vaut mieux se souvenir par cœur des définitions et des formules mathématiques « libres », cela peut apporter une aide inestimable dans le test, lorsque la question sera être choisi entre « deux » et « trois », et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de lui proposer de la résoudre. exemple le plus simple(« peut-être qu'il(s) sait encore quoi ?! »).

Passons à des exemples pratiques :

Exemple 1

Trouver la limite

Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.

Tout d'abord, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou dans un brouillon) :

On a donc une incertitude de la forme assurez-vous d'indiquer en prenant une décision. L'expression sous le signe limite est similaire à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas exactement cela, elle est sous le sinus, mais au dénominateur.

Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite remarquable, en utilisant une technique artificielle. Le raisonnement pourrait être le suivant : « sous le sinus nous avons , ce qui signifie que nous devons également entrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :

Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par le même sept. Notre enregistrement a désormais pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il convient de marquer la première limite remarquable avec un simple crayon :

Ce qui s'est passé? En fait, notre expression encerclée s'est transformée en une unité et a disparu dans l'œuvre :

Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages :

Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs niveaux, veuillez actualiser le matériel dans l'ouvrage de référence Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école .

Prêt. Réponse finale :

Si vous ne souhaitez pas utiliser de traits de crayon, la solution peut s'écrire comme ceci :

“

Utilisons la première limite merveilleuse

“

Exemple 2

Trouver la limite

Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

En effet, nous sommes dans l’incertitude et nous devons donc essayer d’organiser la première limite merveilleuse. En classe Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle en cas d'incertitude, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Ici c’est la même chose, on représentera les diplômes comme un produit (multiplicateurs) :

Semblable à l'exemple précédent, on dessine au crayon autour des limites remarquables (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers l'unité :

En fait, la réponse est prête :

Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense que comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous l'avez déjà compris.

Exemple 3

Trouver la limite

On substitue zéro dans l'expression sous le signe limite :

Une incertitude a été obtenue et doit être divulguée. S'il y a une tangente dans la limite, alors elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus en utilisant la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).

Dans ce cas:

Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :

Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il faut le transformer en une unité qui disparaît dans le produit.

Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en une et disparaît dans le produit :

En conséquence, l'infini est obtenu, et cela se produit.

Exemple 4

Trouver la limite

Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :

L'incertitude est obtenue (le cosinus de zéro, on s'en souvient, est égal à un)

Nous utilisons la formule trigonométrique. Attention ! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.

Déplaçons les facteurs constants au-delà de l'icône de limite :

Organisons la première merveilleuse limite :

Nous n’avons ici qu’une seule limite remarquable, qui se transforme en une et disparaît dans le produit :

Débarrassons-nous de la structure à trois étages :

La limite étant effectivement résolue, on indique que le sinus restant tend vers zéro :

Exemple 5

Trouver la limite

Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :

Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant une variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes pour résoudre les limites.

Deuxième merveilleuse limite

Dans la théorie de l’analyse mathématique, il a été prouvé que :

Ce fait est appelé deuxième limite merveilleuse.

Référence: est un nombre irrationnel.

Le paramètre peut être non seulement une variable, mais aussi une fonction complexe. La seule chose importante c'est qu'il vise l'infini.

Exemple 6

Trouver la limite

Lorsque l'expression sous le signe limite est en degré, c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.

Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer sans cesse grand nombre dans l'expression sur quel principe cela est fait, discutée dans la leçon Limites. Exemples de solutions.

Il est facile de remarquer que lorsque la base du degré est , et l'exposant est , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude de la forme :

Cette incertitude est précisément révélée à l’aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième limite merveilleuse ne se trouve pas sur un plateau d’argent et doit être organisée artificiellement. On peut raisonner ainsi : dans dans cet exemple paramètre, ce qui signifie que dans l'indicateur nous devons également organiser . Pour ce faire, on élève la base à la puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à la puissance :

Lorsque la tâche est terminée à la main, on marque au crayon :

Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :

Dans ce cas, nous déplaçons l'icône de limite elle-même vers l'indicateur:

Exemple 7

Trouver la limite

Attention! Ce type de limite se produit très souvent, merci d'étudier cet exemple très attentivement.

Essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :

Le résultat est l’incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l’incertitude de la forme. Ce qu'il faut faire? Nous devons convertir la base du diplôme. On raisonne ainsi : au dénominateur on a , ce qui veut dire qu'au numérateur il faut aussi organiser .

Nombre constant UN appelé limite séquences(x n ), si pour tout nombre positif arbitrairement petitε > 0 il existe un nombre N qui a toutes les valeurs xn, pour lequel n>N, satisfait l'inégalité

|x n - une|< ε. (6.1)

Écrivez-le comme suit : ou x n → un.

L'inégalité (6.1) équivaut à la double inégalité

une- ε< x n < a + ε, (6.2)

ce qui veut dire que les points xn, à partir d'un certain nombre n>N, se situe à l'intérieur de l'intervalle (a-ε, une+ ε ), c'est-à-dire tomber dans n'importe quel petitε -quartier d'un point UN.

Une suite ayant une limite est appelée convergent, sinon - divergent.

Le concept de limite de fonction est une généralisation du concept de limite de séquence, puisque la limite d'une séquence peut être considérée comme la limite d'une fonction x n = f(n) d'un argument entier n.

Soit la fonction f(x) et soit un - point limite domaine de définition de cette fonction D(f), c'est-à-dire un tel point, dont tout voisinage contient des points de l'ensemble D(f) autres que un. Point un peut ou non appartenir à l’ensemble D(f).

Définition 1.Le nombre constant A s’appelle limite fonctions f(x) à x →a, si pour toute séquence (x n ) de valeurs d'argument tendant à UN, les séquences correspondantes (f(x n)) ont la même limite A.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Heine, ou " en langage séquentiel”.

Définition 2. Le nombre constant A s’appelle limite fonctions f(x) à x →a, si, en spécifiant un arbitrairement petit nombre positif ε , on peut trouver un tel δ>0 (en fonction de ε), qui s'adresse à tout le monde x, couché dansε-quartiers du nombre UN, c'est-à-dire Pour x, satisfaisant l'inégalité
0 < x-a< ε , les valeurs de la fonction f(x) se situeront dansε-voisinage du nombre A, c'est-à-dire|f(x)-UNE|< ε.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Cauchy, ou « dans la langue ε - δ “.

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Si la fonction f(x) comme x →un a limite, égal à A, cela s'écrit sous la forme

. (6.3)

Dans le cas où la séquence (f(x n)) augmente (ou diminue) sans limite pour toute méthode d'approximation xà ta limite UN, alors nous dirons que la fonction f(x) a limite infinie, et écris-le sous la forme :

Une variable (c'est-à-dire une séquence ou une fonction) dont la limite est zéro est appelée infiniment petit.

Une variable dont la limite est l'infini s'appelle infiniment grand.

Pour trouver la limite en pratique, les théorèmes suivants sont utilisés.

Théorème 1 . Si toutes les limites existent

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commentaire. Des expressions comme 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sont incertains, par exemple le rapport de deux quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et trouver une limite de ce type est appelé « découvrir des incertitudes ».

Théorème 2. (6.7)

ceux. on peut aller à la limite basée sur la puissance à exposant constant, notamment, ;

(6.8)

(6.9)

Théorème 3.

(6.10)

(6.11)

Où e » 2.7 - la base du logarithme népérien. Les formules (6.10) et (6.11) sont appelées les premières merveilleuse limite et la deuxième limite remarquable.

Les conséquences de la formule (6.11) sont également utilisées en pratique :

(6.12)

(6.13)

(6.14)

en particulier la limite,

Si x → a et en même temps x > a, alors écrivez x→a + 0. Si, en particulier, a = 0, alors au lieu du symbole 0+0, écrivez +0. De même si x→a et en même temps x a-0. Nombres et sont appelés en conséquence limite droite Et limite gauche fonctions f(x) au point UN. Pour qu'il y ait une limite de la fonction f(x) comme x→a est nécessaire et suffisant pour que . La fonction f(x) est appelée continu au point x 0 si limite

. (6.15)

La condition (6.15) peut être réécrite comme suit :

,

c'est-à-dire que le passage à la limite sous le signe d'une fonction est possible si elle est continue en un point donné.

Si l’égalité (6.15) est violée, alors on dit que à x = xo fonction f(x) a écart Considérons la fonction y = 1/x. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble R., sauf pour x = 0. Le point x = 0 est un point limite de l'ensemble D(f), puisque dans n'importe quel voisinage de celui-ci, c'est-à-dire dans tout intervalle ouvert contenant le point 0, il y a des points de D(f), mais lui-même n'appartient pas à cet ensemble. La valeur f(x o)= f(0) n'est pas définie, donc au point x o = 0 la fonction a une discontinuité.

La fonction f(x) est appelée continu à droite au point x o si la limite

,

Et continu à gauche au point x o, si la limite

Continuité d'une fonction en un point xoéquivaut à sa continuité en ce point tant à droite qu'à gauche.

Pour que la fonction soit continue au point xo, par exemple, à droite, il faut, d'une part, qu'il y ait une limite finie, et d'autre part, que cette limite soit égale à f(x o). Ainsi, si au moins une de ces deux conditions n’est pas remplie, alors la fonction présentera une discontinuité.

1. Si la limite existe et n'est pas égale à f(x o), alors on dit que fonction f(x) au point x o a rupture du premier type, ou saut.

2. Si la limite est+∞ ou -∞ ou n'existe pas, alors ils disent que dans indiquer xo la fonction a une discontinuité deuxième espèce.

Par exemple, fonction y = lit bébé x à x→ +0 a une limite égale à +∞, ce qui signifie qu'au point x=0 il présente une discontinuité du deuxième type. Fonction y = E(x) (partie entière de x) en des points à abscisses entières présente des discontinuités du premier type, ou sauts.

Une fonction continue en tout point de l’intervalle est appelée continu V. Une fonction continue est représentée par une courbe pleine.

De nombreux problèmes associés à la croissance continue d’une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable. Ces tâches comprennent, par exemple : la croissance des gisements selon la loi des intérêts composés, la croissance de la population du pays, la désintégration des substances radioactives, la prolifération des bactéries, etc.

Considérons exemple de Ya. I. Perelman, donnant une interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Nombre e il y a une limite . Dans les caisses d’épargne, les intérêts sont ajoutés chaque année au capital fixe. Si l'adhésion est effectuée plus souvent, le capital croît plus rapidement, puisqu'un montant plus important est impliqué dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique et très simplifié. Que 100 deniers soient déposés à la banque. unités sur la base de 100 % par an. Si les intérêts ne sont ajoutés au capital fixe qu'après un an, alors à cette période, 100 deniers. unités se transformera en 200 unités monétaires. Voyons maintenant ce que deviendront 100 denize. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 deniers. unités passera à 100× 1,5 = 150, et après encore six mois - 150× 1,5 = 225 (den. unités). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, alors après un an 100 den. unités deviendra 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unités). Nous augmenterons les conditions d'ajout d'intérêts à 0,1 an, jusqu'à 0,01 an, jusqu'à 0,001 an, etc. Puis sur 100 deniers. unités au bout d'un an ce sera :

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unités den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unités den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unités den.).

Avec une réduction illimitée des modalités d'ajout des intérêts, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital déposé à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus ont été ajoutés au capital chaque seconde car la limite

Exemple 3.1.À l’aide de la définition de la limite d’une suite de nombres, prouver que la suite x n =(n-1)/n a une limite égale à 1.

Solution.Nous devons prouver que, quoi qu'il arriveε > 0, peu importe ce que l'on prend, pour cela il existe un nombre naturel N tel que pour tout n N l'inégalité est vraie|xn-1|< ε.

Prenons n'importe quel e > 0. Puisque ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, alors pour trouver N il suffit de résoudre l'inégalité 1/n< e. Donc n>1/ e et, par conséquent, N peut être considéré comme une partie entière de 1/ e , N = E(1/ e ). Nous avons ainsi prouvé que la limite .

Exemple 3.2 . Trouver la limite d'une séquence donnée par un terme commun .

Solution.Appliquons la limite du théorème de la somme et trouvons la limite de chaque terme. Quand n→ ∞ le numérateur et le dénominateur de chaque terme tendent vers l'infini, et on ne peut pas appliquer directement le théorème limite du quotient. Par conséquent, nous transformons d’abord xn, en divisant le numérateur et le dénominateur du premier terme par n°2, et le deuxième sur n. Ensuite, en appliquant la limite du quotient et la limite du théorème de la somme, on trouve :

.

Exemple 3.3. . Trouver .

Solution. .

Ici, nous avons utilisé le théorème de la limite du degré : la limite d'un degré est égale au degré de la limite de la base.

Exemple 3.4 . Trouver ( ).

Solution.Il est impossible d'appliquer le théorème de la limite des différences, puisque nous avons une incertitude de la forme ∞-∞ . Transformons la formule du terme général :

.

Exemple 3.5 . La fonction f(x)=2 1/x est donnée. Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Utilisons la définition 1 de la limite d'une fonction à travers une séquence. Prenons une suite ( x n ) convergeant vers 0, c'est-à-dire Montrons que la valeur f(x n)= se comporte différemment pour différentes séquences. Soit x n = 1/n. Évidemment, alors la limite Choisissons maintenant comme xn une séquence avec un terme commun x n = -1/n, tendant également vers zéro. Il n’y a donc aucune limite.

Exemple 3.6 . Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Soit x 1 , x 2 ,..., x n ,... une suite pour laquelle
. Comment se comporte la séquence (f(x n)) = (sin x n) pour différents x n → ∞

Si x n = p n, alors sin x n = sin p n = 0 pour tout n et la limite Si
xn =2 p n+ p /2, alors péché x n = péché(2 p n+ p /2) = péché p /2 = 1 pour tout n et donc la limite. Donc ça n'existe pas.

Widget pour calculer les limites en ligne

Dans la fenêtre supérieure, au lieu de sin(x)/x, saisissez la fonction dont vous souhaitez rechercher la limite. Dans la fenêtre inférieure, entrez le nombre vers lequel x tend et cliquez sur le bouton Calculer, obtenez la limite souhaitée. Et si dans la fenêtre de résultats vous cliquez sur Afficher les étapes dans le coin supérieur droit, vous obtiendrez une solution détaillée.

Règles de saisie des fonctions : sqrt(x) - racine carrée, cbrt(x) - racine cubique, exp(x) - exposant, ln(x) - logarithme naturel, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arc sinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangente. Signes : * multiplication, / division, ^ exponentiation, à la place infini Infini. Exemple : la fonction est saisie sous la forme sqrt(tan(x/2)).

La première limite remarquable est l’égalité suivante :

\begin(équation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(équation)

Puisque pour $\alpha\to(0)$ nous avons $\sin\alpha\to(0)$, ils disent que la première limite remarquable révèle une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. D'une manière générale, dans la formule (1), à la place de la variable $\alpha$, n'importe quelle expression peut être placée sous le signe sinusoïdal et au dénominateur, à condition que deux conditions soient remplies :

1. Les expressions sous le signe sinus et au dénominateur tendent simultanément vers zéro, c'est-à-dire il existe une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$.
2. Les expressions sous le signe sinus et au dénominateur sont les mêmes.

Les corollaires de la première limite remarquable sont également souvent utilisés :

\begin(équation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \fin(équation)

Onze exemples sont résolus sur cette page. L'exemple n°1 est consacré à la preuve des formules (2)-(4). Les exemples n°2, n°3, n°4 et n°5 contiennent des solutions avec des commentaires détaillés. Les exemples n° 6 à 10 contiennent des solutions pratiquement sans commentaires, car des explications détaillées ont été données dans les exemples précédents. La solution utilise certaines formules trigonométriques que l'on peut trouver.

Précisons que la présence de fonctions trigonométriques couplée à l'incertitude $\frac (0) (0)$ ne signifie pas nécessairement l'application de la première limite remarquable. Parfois, de simples transformations trigonométriques suffisent - par exemple, voir.

Exemple n°1

Prouver que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Puisque $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, alors :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Puisque $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ et $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Que:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Faisons le changement $\alpha=\sin(y)$. Puisque $\sin(0)=0$, alors à partir de la condition $\alpha\to(0)$ nous avons $y\to(0)$. De plus, il existe un voisinage de zéro dans lequel $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, donc :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'égalité $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ a été prouvée.

c) Faisons le remplacement $\alpha=\tg(y)$. Puisque $\tg(0)=0$, alors les conditions $\alpha\to(0)$ et $y\to(0)$ sont équivalentes. De plus, il existe un voisinage de zéro dans lequel $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, donc, sur la base des résultats du point a), nous aurons :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'égalité $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ a été prouvée.

Les égalités a), b), c) sont souvent utilisées avec la première limite remarquable.

Exemple n°2

Calculer la limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Puisque $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ et $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, c'est-à-dire et le numérateur et le dénominateur de la fraction tendent simultanément vers zéro, alors on a affaire ici à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$, c'est-à-dire Fait. De plus, il est clair que les expressions sous le signe sinusoïdal et au dénominateur coïncident (c'est-à-dire et sont satisfaites) :

Ainsi, les deux conditions énumérées au début de la page sont remplies. Il s'ensuit que la formule est applicable, c'est-à-dire $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Répondre: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemple n°3

Recherchez $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ et $\lim_(x\to(0))x=0$, alors on a affaire à une incertitude de la forme $\frac (0 )(0)$, soit Fait. Cependant, les expressions sous le signe sinus et au dénominateur ne coïncident pas. Ici, vous devez ajuster l'expression du dénominateur à la forme souhaitée. Nous avons besoin que l'expression $9x$ soit au dénominateur, alors elle deviendra vraie. Essentiellement, il nous manque un facteur de 9 $ dans le dénominateur, ce qui n'est pas si difficile à saisir : il suffit de multiplier l'expression du dénominateur par 9 $. Naturellement, pour compenser la multiplication par 9$, vous devrez immédiatement diviser par 9$ :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Maintenant, les expressions au dénominateur et sous le signe sinusoïdal coïncident. Les deux conditions pour la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sont satisfaites. Par conséquent, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Et cela signifie que :

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemple n°4

Recherchez $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Puisque $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ et $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, nous avons ici affaire à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, la forme de la première limite remarquable est violée. Un numérateur contenant $\sin(5x)$ nécessite un dénominateur de $5x$. Dans cette situation, le moyen le plus simple est de diviser le numérateur par 5 $x$ et de multiplier immédiatement par 5 $x$. De plus, nous effectuerons une opération similaire avec le dénominateur, en multipliant et en divisant $\tg(8x)$ par $8x$ :

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

En réduisant de $x$ et en prenant la constante $\frac(5)(8)$ en dehors du signe limite, on obtient :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Notez que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisfait pleinement aux exigences de la première limite remarquable. Pour trouver $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ la formule suivante est applicable :

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemple n°5

Recherchez $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rappelez-vous que $\cos(0)=1$) et $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, alors nous avons affaire à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, pour appliquer la première limite remarquable, il faut se débarrasser du cosinus au numérateur et passer aux sinus (pour ensuite appliquer la formule) ou aux tangentes (pour ensuite appliquer la formule). Cela peut être fait avec la transformation suivante :

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Revenons à la limite :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

La fraction $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ est déjà proche de la forme requise pour la première limite remarquable. Travaillons un peu avec la fraction $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, en l'ajustant à la première limite remarquable (notez que les expressions au numérateur et sous le sinus doivent correspondre) :

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Revenons à la limite considérée :

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemple n°6

Trouvez la limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ et $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, alors nous avons affaire à une incertitude $\frac(0)(0)$. Dévoilons-le à l'aide de la première limite remarquable. Pour ce faire, passons des cosinus aux sinus. Puisque $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, alors :

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

En passant aux sinus dans la limite donnée, on aura :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemple n°7

Calculer la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ soumis à $\alpha\neq \ bêta$.

Des explications détaillées ont été données plus tôt, mais ici nous notons simplement qu'il existe encore une fois une incertitude $\frac(0)(0)$. Passons des cosinus aux sinus en utilisant la formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

En utilisant cette formule, on obtient :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\droite| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ bêta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Exemple n°8

Trouvez la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rappelez-vous que $\sin(0)=\tg(0)=0$) et $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, nous avons alors affaire ici à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Décomposons-le comme suit :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Répondre: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemple n°9

Trouvez la limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Puisque $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ et $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, alors il y a une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Avant de procéder à son expansion, il convient de faire un changement de variable de telle sorte que la nouvelle variable tende vers zéro (notez que dans les formules la variable $\alpha \to 0$). Le moyen le plus simple est d'introduire la variable $t=x-3$. Cependant, pour des raisons de commodité lors de transformations ultérieures (cet avantage peut être constaté au cours de la solution ci-dessous), il vaut la peine de procéder au remplacement suivant : $t=\frac(x-3)(2)$. Je note que les deux remplacements sont applicables dans ce cas, c'est juste que le deuxième remplacement permettra de moins travailler avec des fractions. Puisque $x\to(3)$, alors $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\droite| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\à(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\à(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ à(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Répondre: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemple n°10

Trouver la limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Nous avons encore une fois affaire à l'incertitude $\frac(0)(0)$. Avant de procéder à son expansion, il convient de faire un changement de variable de telle sorte que la nouvelle variable tende vers zéro (notez que dans les formules la variable est $\alpha\to(0)$). Le moyen le plus simple est d'introduire la variable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Puisque $x\to\frac(\pi)(2)$, alors $t\to(0)$ :

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\gauche|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\à(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\à(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Répondre: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemple n°11

Trouver les limites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Dans ce cas, nous n’avons pas besoin d’utiliser la première limite merveilleuse. Veuillez noter que les première et deuxième limites contiennent uniquement des fonctions et des nombres trigonométriques. Souvent, dans des exemples de ce genre, il est possible de simplifier l'expression située sous le signe limite. De plus, après la simplification et la réduction susmentionnées de certains facteurs, l’incertitude disparaît. J'ai donné cet exemple dans un seul but : montrer que la présence de fonctions trigonométriques sous le signe limite n'implique pas nécessairement l'utilisation de la première limite remarquable.

Puisque $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rappelez-vous que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) et $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (je vous rappelle que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), alors nous avons traitant d'une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, cela ne signifie pas que nous devrons utiliser la première limite merveilleuse. Pour révéler l'incertitude, il suffit de prendre en compte que $\cos^2x=1-\sin^2x$ :

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Il existe une solution similaire dans le livre de solutions de Demidovitch (n° 475). Quant à la deuxième limite, comme dans les exemples précédents de cette section, nous avons une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Pourquoi cela se produit-il ? Cela se produit parce que $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ et $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Nous utilisons ces valeurs pour transformer les expressions au numérateur et au dénominateur. Le but de nos actions est d'écrire la somme au numérateur et au dénominateur sous forme de produit. D'ailleurs, souvent au sein d'un type similaire, il est pratique de modifier une variable, faite de telle sorte que la nouvelle variable tende vers zéro (voir, par exemple, les exemples n° 9 ou n° 10 sur cette page). Cependant, dans cet exemple, cela ne sert à rien de remplacer, même si si vous le souhaitez, remplacer la variable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ n'est pas difficile à mettre en œuvre.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ à\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Comme vous pouvez le constater, nous n’avons pas eu à appliquer la première merveilleuse limite. Bien sûr, vous pouvez le faire si vous le souhaitez (voir note ci-dessous), mais ce n'est pas nécessaire.

Quelle est la solution utilisant la première limite remarquable ? afficher\masquer

En utilisant la première limite remarquable, nous obtenons :

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ droite))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Répondre: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

La théorie des limites est l'une des branches de l'analyse mathématique. La question de la résolution des limites est assez vaste, puisqu'il existe des dizaines de méthodes pour résoudre les limites différents types. Il existe des dizaines de nuances et d'astuces qui permettent de résoudre telle ou telle limite. Néanmoins, nous tenterons tout de même de comprendre les principaux types de limites les plus souvent rencontrées en pratique.

Commençons par la notion même de limite. Mais d'abord un court contexte historique. Au XIXe siècle vivait un Français, Augustin Louis Cauchy, qui a donné des définitions strictes à de nombreux concepts de matan et en a posé les bases. Il faut dire que ce mathématicien respecté était, est et sera dans les cauchemars de tous les étudiants des départements de physique et de mathématiques, puisqu'il a prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et un théorème est plus mortel que l'autre. À cet égard, nous n'envisagerons pas encore détermination de la limite de Cauchy, mais essayons de faire deux choses :

1. Comprenez ce qu’est une limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.

Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le matériel soit compréhensible même pour une théière, ce qui, en fait, est la tâche du projet.

Alors quelle est la limite ?

Et juste un exemple de pourquoi faire une grand-mère hirsute....

Toute limite se compose de trois parties:

1) L’icône de limite bien connue.
2) Entrées sous l'icône de limite, dans ce cas . L’entrée indique « X tend vers un ». Le plus souvent - exactement, bien qu'au lieu de « X » dans la pratique, il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, la place d'un peut être absolument n'importe quel nombre, ainsi que l'infini ().
3) Fonctionne sous le signe limite, dans ce cas .

L'enregistrement lui-même se lit comme ceci : « la limite d’une fonction lorsque x tend vers l’unité ».

Regardons le suivant question importante– que signifie l’expression « x » ? s'efforceà un" ? Et que signifie « s’efforcer » ?
Le concept de limite est, pour ainsi dire, un concept dynamique. Construisons une séquence : d'abord , puis , , …, , ….
C'est-à-dire l'expression « x s'efforceà un » doit être compris comme suit : « x » prend systématiquement les valeurs qui se rapprochent infiniment de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.

Comment résoudre l’exemple ci-dessus ? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit d'en substituer un dans la fonction sous le signe limite :

Alors, la première règle : Lorsqu'on nous donne une limite, nous essayons d'abord simplement de brancher le numéro dans la fonction.

Nous avons considéré les limites les plus simples, mais celles-ci se retrouvent aussi dans la pratique, et pas si rarement !

Exemple avec l'infini :

Voyons ce que c'est ? C’est le cas lorsqu’il augmente sans limite, c’est-à-dire : d’abord, puis, ensuite, puis et ainsi de suite à l’infini.

Qu'arrive-t-il à la fonction à ce moment-là ?
, , , …

Donc : si , alors la fonction tend vers moins l'infini:

En gros, selon notre première règle, au lieu de « X », nous substituons l'infini dans la fonction et obtenons la réponse.

Autre exemple avec l'infini :

Encore une fois, nous commençons à augmenter jusqu'à l'infini et regardons le comportement de la fonction :

Conclusion : quand la fonction augmente sans limite:

Et une autre série d'exemples :

Veuillez essayer d'analyser mentalement les éléments suivants par vous-même et rappelez-vous les types de limites les plus simples :

, , , , , , , , ,
Si vous avez des doutes, vous pouvez vous procurer une calculatrice et vous entraîner un peu.
Dans le cas où , essayez de construire la séquence , , . Si , alors , , .

! Note: À proprement parler, cette approche de construction de séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais pour comprendre les exemples les plus simples, elle est tout à fait adaptée.

Faites également attention à la chose suivante. Même si on lui donne une limite avec un grand nombre au sommet, même avec un million : c'est tout pareil , puisque tôt ou tard « X » commencera à prendre des valeurs si gigantesques qu'un million en comparaison sera un véritable microbe.

Que devez-vous retenir et comprendre de ce qui précède ?

1) Lorsqu’une limite nous est donnée, nous essayons d’abord simplement de substituer le nombre dans la fonction.

2) Vous devez comprendre et résoudre immédiatement les limites les plus simples, telles que , , etc.

De plus, la limite a une très bonne signification géométrique. Pour une meilleure compréhension du sujet, je vous recommande de lire matériel méthodologique Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Après avoir lu cet article, vous comprendrez non seulement enfin ce qu'est une limite, mais vous vous familiariserez également avec des cas intéressants où la limite d'une fonction en général n'existe pas!

Dans la pratique, malheureusement, les cadeaux sont rares. Nous passons donc à des limites plus complexes. D'ailleurs, sur ce sujet il y a cours intensif au format pdf, ce qui est particulièrement utile si vous disposez de TRÈS peu de temps pour vous préparer. Mais les matériaux du site, bien sûr, ne sont pas pires :

Nous allons maintenant considérer le groupe de limites quand , et la fonction est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes

Exemple:

Calculer la limite

Selon notre règle, nous essaierons de substituer l'infini dans la fonction. Qu'obtient-on au sommet ? Infini. Et que se passe-t-il ci-dessous ? L'infini aussi. Nous avons donc ce qu’on appelle l’incertitude des espèces. On pourrait penser que , et la réponse est prête, mais dans le cas général ce n'est pas du tout le cas, et il est nécessaire d'appliquer une technique de solution, que nous allons maintenant considérer.

Comment résoudre des limites de ce type ?

Nous regardons d’abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée :

La puissance principale au numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et trouvons-le également à la puissance la plus élevée :

Le plus haut degré du dénominateur est deux.

Ensuite, on choisit la puissance la plus élevée du numérateur et du dénominateur : dans cet exemple, ils sont identiques et égaux à deux.

Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée.

La voici, la réponse, et pas du tout l'infini.

Qu’est-ce qui est fondamentalement important dans la conception d’une décision ?

Premièrement, nous indiquons l’incertitude, le cas échéant.

Deuxièmement, il est conseillé d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe, il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.

Troisièmement, dans la limite, il est conseillé de marquer ce qui va où. Lorsque l'ouvrage est rédigé à la main, il est plus pratique de procéder ainsi :

Il est préférable d'utiliser un simple crayon pour les notes.

Bien sûr, vous n’êtes pas obligé de faire quoi que ce soit de tout cela, mais peut-être que l’enseignant signalera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions supplémentaires sur le devoir. En avez-vous besoin ?

Exemple 2

Trouver la limite
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré :

Degré maximum au numérateur : 3
Degré maximum au dénominateur : 4
Choisir le plus grand valeur, dans ce cas quatre.
Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par .
Le devoir complet pourrait ressembler à ceci :

Divisez le numérateur et le dénominateur par

Exemple 3

Trouver la limite
Degré maximum de « X » au numérateur : 2
Degré maximum de « X » au dénominateur : 1 (peut s’écrire)
Pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par . La solution finale pourrait ressembler à ceci :

Divisez le numérateur et le dénominateur par

La notation ne signifie pas division par zéro (on ne peut pas diviser par zéro), mais division par un nombre infinitésimal.

Ainsi, en découvrant l'incertitude relative aux espèces, nous pourrons peut-être numéro final, zéro ou l'infini.

Limites avec incertitude de type et méthode pour les résoudre

Le groupe de limites suivant est quelque peu similaire aux limites que nous venons de considérer : le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes, mais « x » ne tend plus vers l'infini, mais vers nombre fini.

Exemple 4

Résoudre la limite
Tout d'abord, essayons de remplacer -1 dans la fraction :

Dans ce cas, ce qu'on appelle l'incertitude est obtenu.

Règle générale : si le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes et qu'il y a une incertitude sur la forme, alors divulguer il faut prendre en compte le numérateur et le dénominateur.

Pour ce faire, vous devez le plus souvent résoudre une équation quadratique et/ou utiliser des formules de multiplication abrégées. Si ces choses ont été oubliées, alors visitez la page Formules et tableaux mathématiques et lire le matériel pédagogique Des formules chaudes cours scolaire mathématiciens. À propos, il est préférable de l'imprimer ; cela est nécessaire très souvent et les informations sont mieux absorbées sur papier.

Alors, résolvons notre limite

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Afin de factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation quadratique :

On trouve d’abord le discriminant :

Et sa racine carrée : .

Si le discriminant est grand, par exemple 361, on utilise une calculatrice ; la fonction d'extraction de la racine carrée est sur la calculatrice la plus simple.

! Si la racine n'est pas extraite dans son intégralité (un nombre fractionnaire avec une virgule est obtenu), il est très probable que le discriminant ait été mal calculé ou qu'il y ait eu une faute de frappe dans la tâche.

Ensuite, nous trouvons les racines :

Ainsi:

Tous. Le numérateur est factorisé.

Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple et il n’existe aucun moyen de le simplifier.

On peut évidemment le raccourcir en :

Nous remplaçons maintenant -1 dans l'expression qui reste sous le signe limite :

Naturellement, dans travail d'essai, lors d'un test ou d'un examen, la solution n'est jamais écrite avec autant de détails. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci :

Factorisons le numérateur.

Exemple 5

Calculer la limite

Tout d’abord, la version « finie » de la solution

Factorisons le numérateur et le dénominateur.

Numérateur:
Dénominateur:



,

Qu’est-ce qui est important dans cet exemple ?
Tout d'abord, vous devez bien comprendre comment le numérateur est révélé, nous avons d'abord pris 2 entre parenthèses, puis utilisé la formule de la différence des carrés. C'est la formule que vous devez connaître et voir.

Recommandation: Si dans une limite (de presque n'importe quel type) il est possible de retirer un nombre entre parenthèses, alors nous le faisons toujours.
De plus, il est conseillé de déplacer ces nombres au-delà de l'icône de limite. Pour quoi? Oui, juste pour qu’ils ne gênent pas. L'essentiel est de ne pas perdre ces numéros plus tard lors de la résolution.

Veuillez noter qu'à l'étape finale de la solution, j'ai supprimé les deux icônes hors limite, puis le moins.

! Important
Lors de la solution, un fragment de type apparaît très souvent. Réduisez cette fractionc'est interdit . Vous devez d'abord changer le signe du numérateur ou du dénominateur (mettre -1 entre parenthèses).
, c'est-à-dire qu'un signe moins apparaît, qui est pris en compte lors du calcul de la limite et il n'est pas du tout nécessaire de le perdre.

En général, j'ai remarqué que le plus souvent, pour trouver des limites de ce type, il faut résoudre deux équations quadratiques, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux des trinômes carrés.

Méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée

Nous continuons à considérer l'incertitude de la forme

Le type de limites suivant est similaire au type précédent. La seule chose, en plus des polynômes, nous ajouterons des racines.

Exemple 6

Trouver la limite

Commençons par décider.

Nous essayons d'abord de substituer 3 dans l'expression sous le signe limite
Je le répète encore une fois : c'est la première chose que vous devez faire pour TOUTE limite. Cette action est généralement réalisée mentalement ou sous forme de brouillon.

Une incertitude de forme a été obtenue et doit être éliminée.

Comme vous l’avez probablement remarqué, notre numérateur contient la différence des racines. Et en mathématiques, il est d'usage de se débarrasser des racines si possible. Pour quoi? Et la vie est plus facile sans eux.