", c'est-à-dire les équations du premier degré. Dans cette leçon, nous examinerons ce qu'on appelle une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Important!

Le degré d’une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l’inconnue.

Si la puissance maximale dans laquelle l’inconnue est « 2 », alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! La forme générale d'une équation quadratique ressemble à ceci :

A x 2 + b x + c = 0

« a », « b » et « c » reçoivent des nombres.

• « a » est le premier ou le coefficient le plus élevé ;
• « b » est le deuxième coefficient ;
• «c» est un membre gratuit.

Pour trouver « a », « b » et « c », vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique « ax 2 + bx + c = 0 ».

Pratiquons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

L'équation	Chances
une = 5 b = −14 c = 17
une = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• une = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• une = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• une = 1
• b = 0
• c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement à équations linéaires pour résoudre des équations quadratiques, un spécial formule pour trouver des racines.

Souviens-toi!

Résoudre équation quadratique besoin de:

• amener l'équation quadratique à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».
• Autrement dit, seul « 0 » doit rester sur le côté droit ;

utiliser la formule pour les racines :

Regardons un exemple d'utilisation de la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons une équation quadratique.

X 2 − 3x − 4 = 0 L'équation « x 2 − 3x − 4 = 0 » a déjà été réduite à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 » et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer.

formule pour trouver les racines d'une équation quadratique

Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.
Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.
Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.
Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.

x1;2 =

Il peut être utilisé pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.
Dans la formule « x 1;2 = », l'expression radicale est souvent remplacée

« b 2 − 4ac » pour la lettre « D » et est appelé discriminant. La notion de discriminant est abordée plus en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'un discriminant ».

Regardons un autre exemple d'équation quadratique.

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients « a », « b » et « c ». Réduisons d'abord l'équation à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».

X2 + 9 +x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
X =

6

2

x = 3
Réponse : x = 3

Il arrive parfois que les équations quadratiques n’aient pas de racines. Cette situation se produit lorsque la formule contient un nombre négatif sous la racine.

Dans cet article, nous examinerons la résolution d’équations quadratiques incomplètes.

Mais d’abord, répétons quelles équations sont appelées quadratiques. Une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où x est une variable et les coefficients a, b et c sont des nombres, et a ≠ 0, est appelée carré. Comme on le voit, le coefficient de x 2 n'est pas égal à zéro, et donc les coefficients de x ou le terme libre peuvent être égaux à zéro, auquel cas nous obtenons une équation quadratique incomplète.

Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes:

1) Si b = 0, c ≠ 0, alors ax 2 + c = 0 ;

2) Si b ≠ 0, c = 0, alors ax 2 + bx = 0 ;

3) Si b = 0, c = 0, alors ax 2 = 0.

• Voyons comment résoudre équations de la forme ax 2 + c = 0.

Pour résoudre l’équation, on déplace le terme libre c vers la droite de l’équation, on obtient

hache 2 = ‒s. Puisque a ≠ 0, nous divisons les deux côtés de l’équation par a, alors x 2 = ‒c/a.

Si ‒с/а > 0, alors l'équation a deux racines

x = ±√(–c/une) .

Si ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Essayons de comprendre avec des exemples comment résoudre de telles équations.

Exemple 1. Résolvez l'équation 2x 2 ‒ 32 = 0.

Réponse : x 1 = - 4, x 2 = 4.

Exemple 2. Résolvez l'équation 2x 2 + 8 = 0.

Réponse : l'équation n'a pas de solutions.

• Voyons comment le résoudre équations de la forme ax 2 + bx = 0.

Pour résoudre l'équation ax 2 + bx = 0, factorisons-la, c'est-à-dire retirons x entre parenthèses, nous obtenons x(ax + b) = 0. Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Alors soit x = 0, soit ax + b = 0. En résolvant l'équation ax + b = 0, nous obtenons ax = - b, d'où x = - b/a. Une équation de la forme ax 2 + bx = 0 a toujours deux racines x 1 = 0 et x 2 = ‒ b/a. Voyez à quoi ressemble la solution des équations de ce type dans le diagramme.

Consolidons nos connaissances avec un exemple précis.

Exemple 3. Résolvez l'équation 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ou 3x – 12 = 0

Réponse : x 1 = 0, x 2 = 4.

• Équations du troisième type axe 2 = 0 sont résolus très simplement.

Si ax 2 = 0, alors x 2 = 0. L'équation a deux racines égales x 1 = 0, x 2 = 0.

Pour plus de clarté, regardons le schéma.

Assurons-nous lors de la résolution de l'exemple 4 que les équations de ce type peuvent être résolues très simplement.

Exemple 4. Résolvez l'équation 7x 2 = 0.

Réponse : x 1, 2 = 0.

Il n’est pas toujours clair quel type d’équation quadratique incomplète nous devons résoudre. Considérez l'exemple suivant.

Exemple 5. Résous l'équation

Multiplions les deux côtés de l'équation par un dénominateur commun, c'est-à-dire par 30

Réduisons-le

5(5x2 + 9) – 6(4x2 – 9) = 90.

Ouvrons les parenthèses

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Donnons pareil

Déplaçons 99 du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe à l'opposé

Réponse : pas de racines.

Nous avons examiné comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. J'espère que vous n'aurez désormais aucune difficulté avec de telles tâches. Soyez prudent lorsque vous déterminez le type d'équation quadratique incomplète, vous réussirez.

Si vous avez des questions sur ce sujet, inscrivez-vous à mes cours, nous résoudrons ensemble les problèmes qui se posent.

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L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître. Le discriminant permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique à l'aide d'une formule générale, qui a la forme suivante :

La formule discriminante dépend du degré du polynôme. La formule ci-dessus convient pour résoudre des équations quadratiques de la forme suivante :

Le discriminant a les propriétés suivantes que vous devez connaître :

* « D » vaut 0 lorsque le polynôme a plusieurs racines (racines égales) ;

* « D » est un polynôme symétrique par rapport aux racines du polynôme et est donc un polynôme dans ses coefficients ; de plus, les coefficients de ce polynôme sont des entiers quelle que soit l'extension dans laquelle sont prises les racines.

Disons que l'on nous donne une équation quadratique de la forme suivante :

1 équation

D'après la formule on a :

Puisque \, l’équation a 2 racines. Définissons-les :

Où puis-je résoudre une équation à l’aide d’un solveur discriminant en ligne ?

Vous pouvez résoudre l’équation sur notre site https://site. Le solveur en ligne gratuit vous permettra de résoudre des équations en ligne de toute complexité en quelques secondes. Tout ce que vous avez à faire est simplement de saisir vos données dans le solveur. Vous pouvez également regarder les instructions vidéo et découvrir comment résoudre l'équation sur notre site Web. Et si vous avez des questions, vous pouvez les poser dans notre groupe VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Rejoignez notre groupe, nous sommes toujours heureux de vous aider.

Avec ce programme de mathématiques, vous pouvez résoudre une équation quadratique.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution de deux manières :
- utiliser un discriminant
- en utilisant le théorème de Vieta (si possible).

De plus, la réponse est affichée comme étant exacte et non approximative.
Par exemple, pour l'équation \(81x^2-16x-1=0\), la réponse s'affiche sous la forme suivante :

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ et pas comme ça : \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ce programme peut être utile pour les lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie d'un polynôme quadratique, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme quadratique
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.

De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.
Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez saisir décimales

comme ceci : 2,5x - 3,5x^2
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif. /
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : Partie entière &
séparé de la fraction par une esperluette :
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Lors de la saisie d'une expression tu peux utiliser des parenthèses
. Dans ce cas, lors de la résolution d'une équation quadratique, l'expression introduite est d'abord simplifiée.

=0

Exemple : x^2+2x-1

Décider
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Un peu de théorie.

Équation quadratique et ses racines. Équations quadratiques incomplètes

Chacune des équations
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ressemble à
\(ax^2+bx+c=0, \)
où x est une variable, a, b et c sont des nombres.
Dans la première équation a = -1, b = 6 et c = 1,4, dans la seconde a = 8, b = -7 et c = 0, dans la troisième a = 1, b = 0 et c = 4/9. De telles équations sont appelées équations du second degré.

Définition.
Équation quadratique est appelée une équation de la forme ax 2 +bx+c=0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et \(a \neq 0 \).

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique. Le nombre a est appelé premier coefficient, le nombre b est le deuxième coefficient et le nombre c est le terme libre.

Dans chacune des équations de la forme ax 2 +bx+c=0, où \(a \neq 0 \), la plus grande puissance de la variable x est un carré. D'où le nom : équation quadratique.

Notez qu'une équation quadratique est aussi appelée équation du deuxième degré, puisque son côté gauche est un polynôme du deuxième degré.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient de x 2 est égal à 1 est appelée équation quadratique donnée. Par exemple, les équations quadratiques données sont les équations
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Si dans une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 au moins un des coefficients b ou c est égal à zéro, alors une telle équation est appelée équation quadratique incomplète. Ainsi, les équations -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sont des équations quadratiques incomplètes. Dans le premier d’entre eux b=0, dans le deuxième c=0, dans le troisième b=0 et c=0.

Il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :
1) ax 2 +c=0, où \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, où \(b \neq 0 \);
3) hache 2 =0.

Considérons la résolution d'équations de chacun de ces types.

Pour résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +c=0 pour \(c \neq 0 \), déplacez son terme libre vers la droite et divisez les deux côtés de l'équation par a :
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Puisque \(c \neq 0 \), alors \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Si \(-\frac(c)(a)>0\), alors l'équation a deux racines.

Si \(-\frac(c)(a) Résoudre une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 avec \(b \neq 0 \) factoriser son côté gauche et obtenir l'équation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Cela signifie qu'une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 +bx=0 pour \(b \neq 0 \) a toujours deux racines.

Une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0 et a donc une seule racine 0.

Formule pour les racines d'une équation quadratique

Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques dans lesquelles les coefficients des inconnues et le terme libre sont non nuls.

Résolvons l'équation quadratique dans vue générale et nous obtenons ainsi la formule des racines. Cette formule peut ensuite être utilisée pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Résoudre l'équation quadratique axe 2 +bx+c=0

En divisant les deux côtés par a, nous obtenons l'équation quadratique réduite équivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformons cette équation en sélectionnant le carré du binôme :
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

L'expression radicale s'appelle discriminant d'une équation quadratique ax 2 +bx+c=0 (« discriminant » en latin - discriminateur). Il est désigné par la lettre D, c'est-à-dire
\(D = b^2-4ac\)

Maintenant, en utilisant la notation discriminante, nous réécrivons la formule des racines de l'équation quadratique :
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), où \(D= b^2-4ac \)

Il est évident que:
1) Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines.
2) Si D=0, alors l'équation quadratique a une racine \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Ainsi, selon la valeur du discriminant, une équation quadratique peut avoir deux racines (pour D > 0), une racine (pour D = 0) ou n'avoir aucune racine (pour D). Lors de la résolution d'une équation quadratique en utilisant ce formule, il est conseillé de procéder de la manière suivante :
1) calculer le discriminant et le comparer à zéro ;
2) si le discriminant est positif ou égal à zéro, alors utilisez la formule racine si le discriminant est négatif, notez qu'il n'y a pas de racines ;

Théorème de Vieta

L'équation quadratique donnée ax 2 -7x+10=0 a les racines 2 et 5. La somme des racines est 7 et le produit est 10. On voit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient pris avec l'opposé signe, et le produit des racines est égal au terme libre. Toute équation quadratique réduite ayant des racines possède cette propriété.

La somme des racines de l'équation quadratique ci-dessus est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre.

Ceux. Le théorème de Vieta stipule que les racines x 1 et x 2 de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 ont la propriété :
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Considérons le problème. La base du rectangle est 10 cm plus grande que sa hauteur et sa superficie est de 24 cm². Trouvez la hauteur du rectangle. Laisser X centimètres est la hauteur du rectangle, alors sa base est égale à ( X+10) cm. L'aire de ce rectangle est X(X+ 10)cm². Selon les conditions du problème X(X+ 10) = 24. En ouvrant les parenthèses et en déplaçant le nombre 24 de signe opposé vers la gauche de l'équation, on obtient : X² + 10 X-24 = 0. Lors de la résolution de ce problème, une équation appelée quadratique a été obtenue.

Une équation quadratique est une équation de la forme

hache ²+ bx+c= 0

Où une, b, c- des numéros donnés, et UN≠ 0, et X- inconnu.

Chances une, b, c L'équation quadratique est généralement appelée : un— le premier ou le coefficient le plus élevé, b- deuxième coefficient, c- un membre gratuit. Par exemple, dans notre problème, le coefficient principal est 1, le deuxième coefficient est 10 et le terme libre est -24. Résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et en physique revient à résoudre des équations quadratiques.

Résoudre des équations quadratiques

Complétez les équations quadratiques. La première étape consiste à mettre l’équation donnée sous forme standard hache²+ bx+ c = 0. Revenons à notre problème, dans lequel l'équation peut s'écrire X(X+ 10) = 24 mettons-le sous forme standard, ouvrons les parenthèses X² + 10 X- 24 = 0, on résout cette équation en utilisant la formule des racines d'une équation quadratique générale.

L'expression sous le signe racine dans cette formule est appelée le discriminant D = b²-4 ca

Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines différentes, qui peuvent être trouvées en utilisant la formule des racines d'une équation quadratique.

Si D=0, alors l’équation quadratique a une racine.

Si D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Remplaçons les valeurs dans notre formule UN= 1, b= 10, c= -24.

on obtient D>0, donc on obtient deux racines.

Considérons un exemple où D=0, dans cette condition il devrait y avoir une racine.

25X² — 30 X+ 9 = 0

Prenons un exemple où D<0, при этом условии решения не должно быть.

2X² + 3 X+ 4 = 0

Le nombre sous le signe racine (discriminant) est négatif ; on écrit la réponse comme suit : l'équation n'a pas de racines réelles.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Équation quadratique hache² + bx+ c= 0 est dit incomplet si au moins un des coefficients b ou cégal à zéro. Une équation quadratique incomplète est une équation de l’un des types suivants :

hache² = 0,

hache² + c= 0, c≠ 0,

hache² + bx= 0, b≠ 0.

Regardons quelques exemples et résolvons l'équation

En divisant les deux côtés de l'équation par 5, on obtient l'équation X² = 0, la réponse aura une racine X= 0.

Considérons une équation de la forme

3X² - 27 = 0

En divisant les deux côtés par 3, on obtient l'équation X² - 9 = 0, ou on peut l'écrire X² = 9, la réponse aura deux racines X= 3 et X= -3.

Considérons une équation de la forme

2X² + 7 = 0

En divisant les deux côtés par 2, on obtient l'équation X² = -7/2. Cette équation n’a pas de véritables racines, puisque X² ≥ 0 pour tout nombre réel X.

Considérons une équation de la forme

3X² + 5 X= 0

En factorisant le côté gauche de l’équation, on obtient X(3X+ 5) = 0, la réponse aura deux racines X= 0, X=-5/3.

La chose la plus importante lors de la résolution d'équations quadratiques est d'amener l'équation quadratique à une forme standard, de mémoriser la formule des racines d'une équation quadratique générale et de ne pas se tromper dans les signes.