Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte pour vous-même ( compte) Google et connectez-vous : https://accounts.google.com

Légendes des diapositives :

Séquences de nombres

Noms des mois Cours à l'école Numéro de compte bancaire Maisons dans la rue Les séquences sont des éléments de la nature qui peuvent être numérotés Jours de la semaine

Trouvez des modèles et montrez-les avec une flèche : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; ... Par ordre croissant, les nombres impairs positifs sont 10 ; 19 ; 37 ; 73 ; 145 ; ... Par ordre décroissant, les fractions propres dont le numérateur est égal à 1 6 ; 8 ; 16 ; 18 ; 36 ; ... Par ordre croissant, les nombres positifs sont des multiples de 5 ½ ; 1/3 ; ¼ ; 1/5 ; 1/6 ; Augmenter de 3 fois Augmenter en alternance de 2 et augmenter de 2 fois 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ... 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; ... Augmenter de 2 fois et diminuer de 1 TEST

Définition d'une séquence numérique Une fonction de la forme y = f (x), x appartient à N, est appelée fonction d'un argument naturel ou d'une séquence numérique et est notée y = f (n) ou y 1, y 2 , y 3, ..., y n, ... (Les valeurs de y 1, y 2, y 3, ... sont appelées respectivement les premier, deuxième, troisième (etc.) membres de la séquence. Dans le symbole y n, le nombre n est appelé un indice, qui caractérise le numéro de série de l'un ou l'autre membre de la séquence (y n)).

Méthodes de spécification des séquences Verbale Récurrente Analytique

Tâche analytique d'une suite numérique Si la formule de son nième terme est précisée, n = f (n) Par exemple : X n =3* n+2 X 5 =3 *5+2=17 ; X 45 =3*45+2=137 Par exemple : y n = C C, C, C, ... (stationnaire)

Les séquences sont données par les formules : a n =(-1) n n 2 a n =n 4 a n =n+4 a n =-n- 2 a n =2 n -5 a n =3 n -1 2. Indiquez quels sont les numéros des membres de ces séquences sont Positif et Positif Négatif Négatif Effectuez les tâches suivantes : Remplissez les membres manquants de la séquence : 1 ; ___ ; 81 ; ___ ; 625 ; ... 5 ; ___ ; ___ ; ___ ; 9 ; … ___ ; ___ ; 3 ; 11 ; ___ ; -1 ; 4 ; ___ ; ___ ; -25 ; … ___ ; -4 ; ___ ; ___ ; -7 ; ... 2 ; 8 ; ___ ; ___ ; ___ ; … 16 256 6 7 8 -3 -1 27 -9 16 -3 -5 -6 26 80 242 VÉRIFIEZ-VOUS

Renforcement du matériel étudié n°15.1 et 15.2 oralement. N° 15.4 au tableau et dans les cahiers. N° 15.10 et 15.11 oralement. N° 15.12 (c, d) et 15.13 (c, d) avec commentaires sur place. N° 15.15 (c, d), 15.16 (c, d), 15.17 (c, d), 15.38 (a, c) au tableau et dans les cahiers.

Résumé de la leçon : Devoirs: § 15, pp.136-139; N° 15.12(a, b), 15.13(a, b), 15.15(a, b), 15.38(b, d).

Merci de votre attention !

Sur le thème : évolutions méthodologiques, présentations et notes

Présentation. Séquence de remplissage des niveaux et sous-niveaux d'énergie dans les atomes CE sur de courtes périodes

Cette présentation peut être utile à titre d’illustration lors de l’étude de la structure de l’atome. La présentation montre la séquence de remplissage des niveaux et sous-niveaux d'énergie dans les atomes d'éléments chimiques...

La présentation « Séquences de nombres » présente du matériel pédagogique qui clarifie les explications de l'enseignant en classe sur ce sujet. Grâce à la présentation, l'enseignant peut résoudre les problèmes pédagogiques plus efficacement. La présentation démontre du matériel théorique sur le thème « Séquences de nombres », développe le concept de séquences de nombres, leurs types et les formules qui leur sont associées.

Performance matériel pédagogique sous forme de présentation présente de nombreux avantages qui permettent d’améliorer la mémorisation du matériel par les élèves et d’approfondir leur compréhension des définitions et des concepts. Les effets d'animation utilisés dans la présentation aident à maintenir l'attention des étudiants sur le sujet étudié. L’animation améliore également la présentation de l’information, la structure et favorise une meilleure compréhension. La mémorisation des définitions et des concepts facilite leur mise en évidence à l’aide de couleurs et d’autres techniques.

La présentation commence par la définition de la séquence numérique. Elle est définie comme une fonction de la forme y=f(x), xϵN, autrement appelée fonction argument naturel. L'écran affiche les options permettant de désigner la séquence y=f(n) ou y 1, y 2,…, y n ou (y n).

La deuxième diapositive présente les options permettant de définir la séquence de numéros. A titre d'exemple de méthode d'affectation verbale, la séquence 2, 3, 5,..., 29,... est également décrite. Des variantes de la méthode analytique de spécification de la séquence sont également décrites. A titre d'exemples, y n = n 3 sont démontrés. On note que la séquence elle-même est une séquence de nombres 1, 8, 27, 64, ..., n 3, ... La représentation analytique de la séquence permet de retrouver n'importe quel membre de la séquence. Par exemple, pour n=9 9 =9 3 =729. De plus, si un membre de la séquence est connu, son numéro de série peut être déterminé - pour y n = 1331, il peut être déterminé que n 3 = 1331, c'est-à-dire son numéro n = 11. Un autre exemple d'affectation analytique de la séquence y n =C est présenté. Évidemment, dans cette suite tous ses termes sont égaux à C.

Les élèves connaissent déjà des exemples de séquences numériques étudiées précédemment : progressions arithmétiques et géométriques. Pour définir de telles séquences, une méthode de réglage récurrente a été utilisée. On rappelle qu'une progression arithmétique est donnée par la relation a 1 = a, et n + 1 = a n + d, dans laquelle a et d sont des nombres, et d est la différence des progressions. Nous rappelons également l'attribution récurrente d'une progression géométrique, dans laquelle b 1 = b, b n+1 = b n q, où b et q sont des nombres différents de zéro, et q est le dénominateur de la progression.

La diapositive 4 donne une définition d'une séquence limitée par le haut. Il est typique d'une telle séquence que tous les membres de la séquence ne dépassent pas un certain nombre.

La diapositive suivante donne idée générale sur une suite délimitée ci-dessus par l'inégalité y n<=M, где число М, ограничивающее последовательность иначе называется верхней границей последовательности. Определение выделено цветом для запоминания понятия. Дается пример последовательности, что ограничена сверху - -1, -8, -27, -64, …, -n 3 , … Отмечается, что верхней границей данной последовательности является число М=-1, а также больше него.

Semblable à la limite supérieure, le concept de limite inférieure est pris en compte. Avant d’introduire le concept, examinons ce que cela signifie lorsqu’une séquence est délimitée ci-dessous. Selon la définition donnée sur la diapositive 7, une séquence sera délimitée ci-dessous si les valeurs des termes ne sont pas inférieures à un certain nombre. Ce qui suit est une définition générale d'une séquence délimitée ci-dessous, comme une séquence pour laquelle il existe un nombre dont la valeur est toujours inférieure ou égale aux valeurs des membres de la séquence. Sinon, ce nombre est appelé borne inférieure de la séquence. La définition est mise en évidence en couleur et recommandée pour la mémorisation. La diapositive 9 montre un exemple de séquence délimitée ci-dessous. On note que la séquence 0,1,2,…, (n-1),… est bornée en dessous, et cette borne est égale à 0 ou à un nombre inférieur.

La diapositive 10 montre la définition d'une séquence limitée comme une séquence numérique limitée à la fois au-dessus et au-dessous. Un exemple est la séquence -1, -1/4, -1/9, -1/16,…, -1/n 2 ,… Dans ce cas, la limite supérieure de la séquence est M=0, et la limite inférieure la limite est m=-1. Le terme général de la séquence est exprimé par la formule y n =-1/n 2. La séquence est spécifiée analytiquement y n =-1/x 2, où xϵN. La figure montre un graphique d'une telle fonction, montrant un ensemble de points qui satisfont à la condition et représentent une séquence numérique.

Ensuite, la signification géométrique du concept de limite d'une séquence est révélée. Il est à noter que la limite signifie que tous les nombres de la séquence se trouvent sur un certain segment de l'axe des nombres. La figure montre un exemple de la séquence décrite dans la diapositive précédente. Un segment contenant les valeurs des membres de la séquence est mis en évidence sur l'axe des nombres.

La diapositive 12 donne la définition d'une séquence croissante. On note que la séquence sera croissante si la condition 1 est satisfaite

La définition d'une séquence décroissante est décrite sur la diapositive 14. On note que la condition pour déterminer une telle progression est y 1 >y 2 >y 3 >...>y n >y n+1 >... Un exemple de une telle séquence est 1, 1/3, 1/ 5, ..., 1/(2n-1), ... il est évident que la condition 1>1/3>1/5>...>1 /(2n-1)>1/2(n+1)-1 est satisfait car >... La diapositive 15 note également que les séquences décroissantes et croissantes constituent une série de séquences monotones.

La dernière diapositive donne des exemples de séquences dont le type doit être déterminé. Ainsi, la séquence -1,2,-3,4,...,(-1) n n, ... n'augmente ni ne diminue, c'est-à-dire qu'elle n'est pas monotone. La séquence y n = 3 n augmente de façon monotone. On note que les séquences de la forme y n = an augmentent lorsque a > 1. Dans le troisième exemple on constate que la suite y n = (1/5) n est décroissante. En général, la séquence y n = a n est décroissante pour tout 0<а<1.

La présentation « Séquences de nombres » peut être utilisée lors d'un cours d'algèbre traditionnel pour augmenter son efficacité. Ce matériel contribuera également à garantir la clarté des explications lors de l’enseignement à distance.

Introduction…………………………………………………………………………………3

1. Partie théorique……………………………………………………………….4

Concepts et termes de base……………………………………………………………......4

1.1 Types de séquences……………………………………………………………...6

1.1.1.Séquences de numéros limitées et illimitées…..6

1.1.2.Monotonie des séquences…………………………………6

1.1.3.Séquences infiniment grandes et infinitésimales…….7

1.1.4.Propriétés des séquences infinitésimales…………………8

1.1.5.Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.....9

1.2 Limite de séquence………………………………………………….11

1.2.1.Théorèmes sur les limites des suites……………………………15

1.3.Progression arithmétique…………………………………………………17

1.3.1. Propriétés de la progression arithmétique…………………………………..17

1.4Progression géométrique……………………………………………………………..19

1.4.1. Propriétés de la progression géométrique…………………………………….19

1.5. Nombres de Fibonacci……………………………………………………………..21

1.5.1 Connexion des nombres de Fibonacci avec d'autres domaines de connaissances………………….22

1.5.2. Utiliser la série de Fibonacci pour décrire la vie et nature inanimée…………………………………………………………………………….23

2. Recherches personnelles…………………………………………………….28

Conclusion………………………………………………………………………………….30

Liste des références……………………………………………………………....31

Introduction.

Les séquences de nombres sont un sujet très intéressant et éducatif. Ce sujet se retrouve dans les tâches de complexité accrue qui sont proposées aux étudiants par les auteurs de matériel didactique, dans les problèmes des Olympiades de mathématiques, des examens d'entrée aux établissements d'enseignement supérieur et de l'examen d'État unifié. Je souhaite apprendre comment les séquences mathématiques sont liées à d'autres domaines de connaissances.

Objectif du travail de recherche : Élargir les connaissances sur la séquence de nombres.

1. Considérez la séquence ;

2. Considérez ses propriétés ;

3. Considérez la tâche analytique de la séquence ;

4. Démontrer son rôle dans le développement d'autres domaines de connaissances.

5. Démontrer l'utilisation de la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée.

1. Partie théorique.

Concepts et termes de base.

Définition. Une séquence numérique est une fonction de la forme y = f(x), x О N, où N est un ensemble nombres naturels(ou fonction d'argument naturel), notée y = f(n) ou y1, y2,…, yn,…. Les valeurs y1, y2, y3,... sont appelées respectivement premier, deuxième, troisième,... membres de la séquence.

Un nombre a est appelé la limite de la séquence x = (xn) si pour un nombre positif prédéterminé arbitrairement petit ε il existe un nombre naturel N tel que pour tout n>< ε.

Une suite (yn) est dite croissante si chaque membre (sauf le premier) est supérieur au précédent :

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Une suite (yn) est dite décroissante si chaque membre (sauf le premier) est inférieur au précédent :

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Les séquences croissantes et décroissantes sont combinées sous le terme commun : séquences monotones.

Une séquence est dite périodique s'il existe un nombre naturel T tel que, à partir d'un certain n, l'égalité yn = yn+T est vraie. Le nombre T est appelé la durée de la période.

Une progression arithmétique est une suite (an) dont chaque terme, à partir du second, égal à la somme le terme précédent et le même nombre d sont appelés une progression arithmétique, et le nombre d est la différence d'une progression arithmétique.

Ainsi, une progression arithmétique est une suite numérique (an) définie de manière récurrente par les relations

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Une progression géométrique est une suite dans laquelle tous les termes sont différents de zéro et dont chaque terme, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en multipliant par le même nombre q.

Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (bn) définie de manière récurrente par les relations

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Types de séquences.

1.1.1 Séquences restreintes et non restreintes.

Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessus s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≤ M est vraie ;

Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessous s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≥ M est vraie ;

Par exemple:

1.1.2 Monotonie des séquences.

Une séquence (bn) est dite non croissante (non décroissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) est vraie ;

Une séquence (bn) est dite décroissante (croissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn > bn+1 (bn

Les séquences décroissantes et croissantes sont dites strictement monotones, les séquences non croissantes sont dites monotones au sens large.

Les séquences délimitées au-dessus et en dessous sont appelées limitées.

La séquence de tous ces types est dite monotone.

1.1.3 Séquences infiniment grandes et petites.

Une séquence infinitésimale est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers zéro.

Une suite an est dite infinitésimale si

Une fonction est dite infinitésimale au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)=0.

Une fonction est dite infinitésimale à l'infini si ℓimx→.+∞ f(x)=0 ou ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitésimal est également une fonction qui représente la différence entre une fonction et sa limite, c'est-à-dire que si ℓimx→.+∞ f(x)=a, alors f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Une séquence infiniment grande est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers l’infini.

Une suite an est dite infiniment grande si

ℓimn→0 an=∞.

Une fonction est dite infiniment grande au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Une fonction est dite infiniment grande à l’infini si

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ou ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Propriétés des séquences infinitésimales.

La somme de deux séquences infinitésimales est elle aussi une séquence infinitésimale.

La différence entre deux séquences infinitésimales est elle-même aussi une séquence infinitésimale.

La somme algébrique de tout nombre fini de séquences infinitésimales est elle-même également une séquence infinitésimale.

Le produit d’une suite bornée et d’une suite infinitésimale est une suite infinitésimale.

Le produit de tout nombre fini de séquences infinitésimales est une séquence infinitésimale.

Toute séquence infinitésimale est bornée.

Si une suite stationnaire est infinitésimale, alors tous ses éléments, à partir de certains, sont égaux à zéro.

Si toute la séquence infinitésimale est constituée d’éléments identiques, alors ces éléments sont des zéros.

Si (xn) est une suite infiniment grande ne contenant aucun terme nul, alors il existe une suite (1/xn) qui est infinitésimale. Si, cependant, (xn) contient zéro élément, alors la séquence (1/xn) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infinitésimale.

Si (an) est une séquence infinitésimale ne contenant aucun terme nul, alors il existe une séquence (1/an) qui est infiniment grande. Si (an) contient néanmoins zéro élément, alors la séquence (1/an) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infiniment grande.

1.1.5 Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.

Une séquence convergente est une séquence d'éléments d'un ensemble X qui a une limite dans cet ensemble.

Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Toute séquence infinitésimale est convergente. Sa limite est nulle.

Supprimer un nombre fini d'éléments d'une séquence infinie n'affecte ni la convergence ni la limite de cette séquence.

Toute suite convergente est bornée. Cependant, toutes les séquences limitées ne convergent pas.

Si la suite (xn) converge, mais n'est pas infinitésimale, alors, à partir d'un certain nombre, on définit une suite (1/xn), qui est bornée.

La somme des séquences convergentes est également une séquence convergente.

La différence des séquences convergentes est également une séquence convergente.

Le produit de suites convergentes est aussi une suite convergente.

Le quotient de deux séquences convergentes est défini à partir d'un élément, sauf si la deuxième séquence est infinitésimale. Si le quotient de deux suites convergentes est défini, alors c’est une suite convergente.

Si une suite convergente est bornée en dessous, alors aucun de ses infimums ne dépasse sa limite.

Si une séquence convergente est bornée au-dessus, alors sa limite ne dépasse aucune de ses limites supérieures.

Si pour un nombre quelconque les termes d'une suite convergente ne dépassent pas les termes d'une autre suite convergente, alors la limite de la première suite ne dépasse pas non plus la limite de la seconde.

Si tous les éléments d'une certaine suite, à partir d'un certain nombre, se trouvent sur le segment compris entre les éléments correspondants de deux autres séquences convergeant vers la même limite, alors cette séquence converge également vers la même limite.

Exemple. Montrer que la suite (xn)=((2n+1)/n) converge vers le nombre 2.

Nous avons |xn-2|=|((2n+1)/n)-2|= 1/n. pour tout α>0, m appartient à N tel que 1/m<α. Тогда n>m l'inégalité 1/m est valide<α и, следовательно, |xn-1|<α; т.е. ℓimn→∞ xn=2.

1.2 Limite de cohérence.

Un nombre a est appelé la limite de la séquence x = (xn) si pour un nombre positif arbitrairement petit prédéterminé arbitrairement petit ε il existe un nombre naturel N tel que pour tout n>N l'inégalité |xn - a|< ε.

Si le nombre a est la limite de la séquence x = (xn), alors ils disent que xn tend vers a et écrivent.

Pour formuler cette définition en termes géométriques, nous introduisons le concept suivant.

Un voisinage d'un point x0 est un intervalle arbitraire (a, b) contenant ce point en lui-même. On considère souvent un voisinage d'un point x0, pour lequel x0 est le milieu, alors x0 est appelé le centre du quartier, et la valeur (b – a)/2 est le rayon du quartier.

Voyons donc ce que signifie géométriquement le concept de limite d’une suite de nombres. Pour ce faire, on écrit la dernière inégalité de la définition sous la forme

Cette inégalité signifie que tous les éléments de la séquence avec des nombres n>N doivent se trouver dans l'intervalle (a – ε ; a + ε).

Par conséquent, un nombre constant a est la limite d'une suite de nombres (xn), si pour tout petit voisinage avec un centre au point a de rayon ε (ε est un quartier du point a) il existe un élément de la suite de numéro N de telle sorte que tous les éléments suivants avec des numéros n>N seront situés dans ce voisinage.

1. Laissez la variable x prendre séquentiellement des valeurs

Montrons que la limite de cette suite de nombres est égale à 1. Prenons un nombre arbitraire nombre positifε. Il faut trouver un nombre naturel N tel que pour tout n>N l'inégalité |xn - 1|< ε. Действительно, т.к.

puis satisfaire la relation |xn - a|< ε достаточно, чтобы

Par conséquent, en prenant comme N tout nombre naturel qui satisfait l’inégalité, nous obtenons ce dont nous avons besoin. Donc si l'on prend par exemple

alors, en mettant N=6, pour tout n>6 on aura

2. À l'aide de la définition de la limite d'une suite de nombres, prouver que

Prenons un ε > 0 arbitraire. Considérons

Alors, si ou, c'est-à-dire .

Par conséquent, nous choisissons n’importe quel nombre naturel qui satisfait l’inégalité

Remarque 1. Évidemment, si tous les éléments d'une suite numérique prennent la même valeur constante xn = c, alors la limite de cette suite sera égale à la constante elle-même. En effet, pour tout ε l’inégalité est toujours vraie

|xn-c| = |c - c| = 0< ε.

Remarque 2. De la définition d'une limite il résulte qu'une suite ne peut pas avoir deux limites. En effet, supposons que xn → a et en même temps xn → b. Prenez-en un et marquez les voisinages des points a et b de rayon ε. Alors, par définition d'une limite, tous les éléments de la séquence, à partir d'un certain point, doivent se situer à la fois au voisinage du point a et au voisinage du point b, ce qui est impossible.

Remarque 3. Il ne faut pas penser que toute suite de nombres a une limite. Supposons, par exemple, qu'une variable prenne les valeurs

Il est facile de voir que cette séquence ne tend vers aucune limite.

Montrer que ℓimn→∞qⁿ=0 pour |q|< 1.

Preuve:

1). Si q=0, alors l’égalité est évidente. Soit α> 0 arbitraire et 0<|q|<1. тогда пользуясь неравенством Бернулли, получим

1/|q|= (1+(1/|q|-1))ⁿ > 1+n(1/|q|-1)> n(1/|q|-1)

|q|ⁿ=|q|ⁿ< |q| / (n(1-|q|) <αn>|q| / (n(1-|q|)

1.2.1.Théorèmes sur les limites des suites.

1. Une séquence qui a une limite est limitée ;

2. Une séquence ne peut avoir qu’une seule limite ;

3. Toute séquence non décroissante (non croissante) et non bornée par le haut (par le bas) a une limite ;

4. La limite de la constante est égale à cette constante :

ℓimn→∞ C=C

5. La limite de la somme est égale à la somme des limites : ℓimn→∞(an+bn)= ℓimn→∞ an+ ℓimn→∞ bn ;

6. Le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite :

ℓim n→∞ (Сan)= Cℓim n→∞ an ;

7. La limite d'un produit est égale au produit des limites :

ℓimn→∞ (an∙bn)= ℓimn→∞ an ∙ ℓimn→∞ bn ;

8. La limite du quotient est égale au quotient des limites si la limite du diviseur est différente de zéro :

ℓimn→∞ (an/bn)= ℓimn→∞ an / ℓimn→∞ bn, si

ℓimn→∞bn≠0 ;

9. Si bn ≤ an ≤ cn et que les deux séquences (bn) et (cn) ont la même limite α, alors ℓimn→∞ an=α.

Trouvons la limite ℓimn→∞ ((3n-1)/(4n+5)).

ℓimn→∞ ((3n-1)/(4n+5))= ℓimn→∞(n(3-1/n))/ (n(4+5/n)= (ℓimn→∞ 3-1/n )/ (ℓimn→∞ 4+5/n)= (ℓimn→∞ 3- ℓimn→∞ 1/n)/ (ℓimn→∞ 4+ 5 ℓimn→∞ 1/n)= (3-0)/(4 +5∙0)=3/4.

1.3 Progression arithmétique.

Une progression arithmétique est une suite (an) dont chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre d, appelé différence de progression :

an+1= an+ d, n=1, 2, 3… .

Tout membre de la séquence peut être calculé à l'aide de la formule

une= a1+ (n – 1)d, n≥1

1.3.1. Propriétés d'une progression arithmétique

1. Si d> 0, alors la progression est croissante ; si d< 0- убывающая;

2. Tout membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est la moyenne arithmétique des membres précédent et suivant de la progression :

an= (an-1 + an+1)/2, n≥2

3. La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique peut être exprimée par les formules :

Sn= ((2a1+ d(n-1))/2)∙n

4. Somme de n termes consécutifs d'une progression arithmétique commençant par le terme k :

Sn= ((ak+ak+n-1)/2)∙n

5. Un exemple de somme d'une progression arithmétique est la somme d'une série d'entiers naturels jusqu'à n inclus :

On sait que pour tout n la somme Sn des termes d'une certaine progression arithmétique est exprimée par la formule Sn=4n²-3n. Trouvez les trois premiers termes de cette progression.

Sn=4n²-3n (sous condition).

Soit n=1, alors S1=4-3=1=a1 => a1=1 ;

Soit n=2, alors S2=4∙2²-3∙2=10=a1+a2 ; a2=10-1=9 ;

Puisque a2=a1+d, alors d= a2-a1=9-1=8 ;

Réponse : 1 ; 9 ; 17.

En divisant le neuvième terme d'une progression arithmétique par le deuxième terme du quotient, le résultat est 5, et en divisant le treizième terme par le sixième terme du quotient, le résultat est 2 et le reste est 5. Trouvez le premier terme et la différence de progression.

a1, a2, a3…, an- progression arithmétique

a13/a6=2 (reste S)

En utilisant la formule du nième terme de la progression, on obtient un système d'équations

(a1+8d= S(a1+d); a1+12d = 2(a1+S∙d)+S

( 4a1=3d; a1=2d-S

Où est-ce que 4(2d-S)=3d => Sd= 20 => d=4.

Réponse : a1=3 ; d = 4.

1.4. Progression géométrique.

Une progression géométrique est une suite (bn) dont le premier terme est non nul, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre non nul q, appelé dénominateur de le déroulement :

bn+1= bnq, n= 1, 2, 3… .

Tout terme d'une progression géométrique peut être calculé à l'aide de la formule :

1.4.1. Propriétés de la progression géométrique.

1. Les logarithmes des termes d'une progression géométrique forment une progression arithmétique.

2. b²n= bn-i bn+i, je< n

3. Le produit des n premiers termes d'une progression géométrique peut être calculé à l'aide de la formule :

Pn= (b1∙bn)ⁿ َ ²

4. Le produit des termes d'une progression géométrique commençant au kème terme et se terminant par le nème terme peut être calculé à l'aide de la formule :

Pk, n = (Pn)/(Pk-1);

5. Somme des n premiers termes d'une progression géométrique :

Sn= b1((1-qⁿ)/(1-q)), q≠ 1

6. Si |q|< 1, то bn→0 при n→+∞, и Sn→(b1)/(1-q), при n→+∞

Soient a1, a2, a3, ..., an, ... les termes successifs d'une progression géométrique, Sn la somme de ses n premiers termes.

Sn= a1+a2+a3+…an-2+an-1+ an= a1an (1/an+a2/a1an+a3/a1an+…+an-2/a1an+an-1/a1an+1/a1)= a1an (1/an+ a2/a2an-1+…+ an-2/an-2a3+an-1/an-1a2+1/a1)=

a1a2 (1/an+ 1/an-1+ 1/an-2+…+ 1/a3+1/a2+ 1/a1).

1.5.Nombres de Fibonacci.

En 1202, parut un livre du mathématicien italien Léonard de Pise, qui contenait des informations sur les mathématiques et apportait des solutions à divers problèmes. Parmi eux se trouvait un problème simple, non dénué de valeur pratique, concernant les lapins : « Combien de couples de lapins naissent d’un couple en un an ?

En résolvant ce problème, une série de nombres a été obtenue : 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. Cette série de nombres fut plus tard nommée d’après Fibonacci, comme on appelait Léonard.

Qu’y a-t-il de remarquable dans les nombres obtenus par Fibonacci ?

(Dans cette série, chaque nombre suivant est la somme des deux nombres précédents). Mathématiquement, la série de Fibonacci s'écrit comme suit :

И1, И2, : Иn, où Иn = И n - 1 + Иn - 2

De telles séquences, dans lesquelles chaque membre est fonction des précédents, sont appelées séquences récurrentes ou d'âge.

La série de nombres de Fibonacci est également récurrente et les membres de cette série sont appelés nombres de Fibonacci.

Il s’est avéré qu’ils possèdent un certain nombre de propriétés intéressantes et importantes.

Quatre siècles après la découverte par Fibonacci d'une série de nombres, le mathématicien et astronome allemand Johannes Kepler a établi que le rapport des nombres adjacents tend vers le nombre d'or dans la limite.

F - désignation de la proportion d'or au nom de Phidias - un sculpteur grec qui a utilisé la proportion d'or lors de la création de ses créations.

[Si, lors de la division d'un tout en deux parties, le rapport de la plus grande partie à la plus petite est égal au rapport du tout à la plus grande partie, alors cette proportion est appelée « d'or » et est égale à environ 1,618].

1.5.1.Relation des nombres de Fibonacci avec d'autres domaines de la connaissance

Les propriétés de la série de nombres de Fibonacci sont inextricablement liées au nombre d'or et expriment parfois l'essence magique et même mystique des modèles et des phénomènes.

Rôle fondamental Les nombres dans la nature ont été définis par Pythagore avec sa déclaration « Tout est nombre ». Les mathématiques étaient donc l’un des fondements de la religion des adeptes de Pythagore (Union Pythagoricienne). Les Pythagoriciens croyaient que le dieu Dionysos plaçait le nombre à la base de l'organisation du monde, à la base de l'ordre ; il reflétait l'unité du monde, son commencement, et le monde était une multitude composée d'opposés. Ce qui amène les contraires à l’unité, c’est l’harmonie. L'harmonie est divine et réside dans les relations numériques.

Les nombres de Fibonacci ont plusieurs propriétés intéressantes. Ainsi, la somme de tous les nombres de la série de 1 à In est égale au suivant après un nombre (In+2) sans 2 unités.

Le rapport des nombres alternatifs de Fibonacci dans la limite tend vers le carré de la proportion d'or, égal à environ 2,618 : Une propriété étonnante ! Il s'avère que Ф + 1 = Ф2.

Le nombre d'or est une valeur irrationnelle ; il reflète l'irrationalité des proportions de la nature. Les nombres de Fibonacci reflètent l'intégrité de la nature. L'ensemble de ces modèles reflète l'unité dialectique de deux principes : continu et discret.

En mathématiques, les nombres fondamentaux et e sont connus ; il est possible de leur ajouter F.

Il s’avère que tous ces nombres irrationnels universels, répandus selon divers modèles, sont interconnectés.

e i + 1 = 0 - cette formule a été découverte par Euler et plus tard par de Moivre et nommée d'après ce dernier.

Ces formules ne témoignent-elles pas de l'unité organique des nombres e, Ф ?

De leur fondamentalité ?

1.5.2. Utiliser la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée

Le monde de la nature vivante et inanimée, il semblerait qu'il y ait une distance entre eux taille énorme, ce sont plus des antipodes que des parents. Mais il ne faut pas oublier que faune est finalement né de l'inanimé (sinon sur notre planète, du moins dans l'espace) et, selon les lois de l'hérédité, aurait dû conserver certaines caractéristiques de son ancêtre.

Le monde de la nature inanimée est avant tout un monde de symétrie, qui confère à ses créations stabilité et beauté. La symétrie a été préservée dans la nature vivante. La symétrie des plantes est héritée de la symétrie des cristaux, dont la symétrie est héritée de la symétrie des molécules et des atomes, et la symétrie des atomes est héritée de la symétrie particules élémentaires.

Caractéristique La structure des plantes et leur développement est l'hélicité. Les vrilles des plantes se tordent en spirale, la croissance des tissus dans les troncs d'arbres se produit en spirale et les graines d'un tournesol sont disposées en spirale. Le mouvement du protoplasme dans une cellule est souvent en spirale ; les supports d'information - les molécules d'ADN - sont également tordus en spirale. La disposition en vis des atomes dans certains cristaux (dislocations en vis) a également été établie. À propos, les cristaux à structure vissée sont extrêmement durables. Est-ce pour cela que la faune sauvage préfère cette espèce ? organisation structurelle, l'ayant hérité de substances inorganiques ?

Comment exprimer ce schéma, la similitude entre la nature vivante et la nature inanimée ?

Balance pomme de pin sont disposées en spirale, leur nombre est 8 et 13 ou 13 et 21. Dans les paniers de tournesol, les graines sont également disposées en spirale, leur nombre est généralement 34 et 55 ou 55 et 89.

Regardez de plus près les coquilles. Ils servaient autrefois de maisons pour les petits coquillages, qu'ils construisaient eux-mêmes. Les mollusques sont morts depuis longtemps et leurs maisons existeront pendant des millénaires. Les ingénieurs appellent les saillies des nervures à la surface de la coque des nervures de renforcement - elles augmentent considérablement la résistance de la structure. Ces côtes sont disposées en spirale et il y en a 21 dans n'importe quelle coquille.

Prenez n'importe quelle tortue - de la tortue des marais à la tortue de mer géante - et vous verrez que le motif sur leur carapace est similaire : sur le champ ovale il y a 13 plaques fusionnées - 5 plaques au centre et 8 sur les bords, et sur sur la bordure périphérique, il y a environ 21 plaques.

Les tortues ont 5 orteils aux pattes et la colonne vertébrale est composée de 34 vertèbres. Toutes les valeurs indiquées correspondent aux nombres de Fibonacci.

Le plus proche parent de la tortue, le crocodile, a un corps recouvert de 55 plaques cornées. Il y a 55 taches sombres sur le corps de la vipère du Caucase. Son squelette compte 144 vertèbres.

Par conséquent, le développement d'une tortue, d'un crocodile, d'une vipère, la formation de leurs corps s'est réalisée selon la loi des séries de nombres de Fibonacci.

Le moustique a 3 paires de pattes, 5 antennes sur la tête et son abdomen est divisé en 8 segments.

La libellule a un corps massif et une longue queue fine. Le corps est composé de trois parties : la tête, la poitrine et l'abdomen.

L'abdomen est divisé en 5 segments, la queue est composée de 8 parties.

Il n’est pas difficile de voir dans ces chiffres le déroulement d’une série de nombres de Fibonacci. La longueur de la queue, du corps et la longueur totale de la libellule sont liées entre elles par le nombre d'or : Queue en L = L libellules=F

• Logement L
• Queue en L

Les mammifères sont l'espèce animale la plus élevée de la planète. Le nombre de vertèbres chez de nombreux animaux domestiques est égal ou proche de 55, le nombre de paires de côtes est d'environ 13 et le sternum contient 7 + 1 éléments.

Un chien, un cochon, un cheval ont 21 + 1 paire de dents, une hyène en a 34 et une espèce de dauphin en a 233.

La série de nombres de Fibonacci détermine le plan général du développement d'un organisme et de l'évolution des espèces. Mais le développement des êtres vivants se produit non seulement à pas de géant, mais aussi de manière continue. Le corps de tout animal est en constante évolution, en constante adaptation à son environnement. Les mutations de l'hérédité perturbent le plan de développement. Et il n'est pas surprenant qu'avec la manifestation générale prédominante des nombres de Fibonacci dans le développement des organismes, les écarts par rapport quantités discrètes. Ce n'est pas une erreur de la nature, mais une manifestation de la mobilité de l'organisation de tous les êtres vivants, de son changement continu.

Les nombres de Fibonacci reflètent le schéma de base de la croissance des organismes, et donc dans la structure corps humain ils doivent se manifester d'une manière ou d'une autre.

Chez l'humain :

1 - torse, tête, cœur, etc.

2 - bras, jambes, yeux, reins

Les jambes, les bras et les doigts sont constitués de 3 parties.

5 doigts et orteils

8 - composition de la main avec les doigts

12 paires de côtes (une paire est atrophiée et est présente sous forme de rudiment)

20 - le nombre de dents de lait chez un enfant

32 est le nombre de dents chez un adulte

34 - nombre de vertèbres

Le nombre total d’os du squelette humain est proche de 233.

Cette liste de parties du corps humain est longue. Les nombres de Fibonacci ou les valeurs proches d'eux se retrouvent très souvent dans leur liste. Le rapport des nombres de Fibonacci adjacents se rapproche du nombre d'or, ce qui signifie que le rapport des nombres de divers organes correspond souvent au nombre d'or.

L’homme, comme les autres créations vivantes de la nature, est soumis aux lois universelles du développement. Les racines de ces lois doivent être recherchées profondément - dans la structure des cellules, des chromosomes et des gènes, et jusqu'au bout - dans l'émergence de la vie elle-même sur Terre.

2. Propre recherche.

Tâche n°1.

Quel numéro devrait remplacer point d'interrogation 5 ; 11 ; 23 ; ?; 95 ; 191 ? Comment l'as-tu trouvé ?

Vous devez multiplier le nombre précédent par 2 et en ajouter un. On obtient donc :

(23∙2)+1=47 => 47 est un nombre au lieu d'un point d'interrogation.

Tâche n°2.

Trouver la somme Sn=1/(1∙2)+1/(2∙3)+1/(3∙4)+…+1/n(n+1)

Écrivons que 1/n(n+1)= 1/n - 1/(n+1). Puis on réécrit la somme sous forme de différence =>

Sn= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/(n-1) – 1/n)+ (1/n - 1/(n+1))= 1-1/(n+1)= =n/(n+1n).

Réponse : n/(n+1n).

Tâche n°3.

En utilisant la définition de la limite d’une suite, prouver que :

ℓim n→∞an=a, ifan= (3n-1)/(5n+1); une= 3/5

Montrons que pour tout ε>0 il existe un nombre N(ε) tel que |an-a|< ε, для

|un-un|<|(3n-1)/(5n+1) - 3/5| = |(5(3n-1)-3(5n+1))/5(5n+1)|= |-8/5(5n+1)|= 8/5(5n+1)

8/5(5n+1)< ε =>5n+1> 8/5ε => n> (8/25ε)- 1/5

De la dernière inégalité il résulte que l'on peut choisir N(ε)= [(8/25ε)- 1/5] et pour tout n> N(ε) l'inégalité |an-a|< ε. Значит, по определению предела последовательности ℓimn→∞ (3n-1)/(5n+1)=3/5

Tâche n°4.

Calculer les limites des séquences de nombres

ℓimn→∞ (3-4n)²/(n-3)³-(n+3)²=

ℓimn→∞ (9-24n+16n²)/(n³-9n²+27n-27)- (n³+9n²+27n+27)=

ℓimn→∞(16n²-24n+9)/(-18n²-54)=

ℓimn→∞ (16-24|n+9|n²)/((-18-54)/n²)= 16/-18= -8/9.

Tâche n°5.

Trouver ℓimn→∞ (tgx)/ x

On a ℓimn→∞ (tgx)/ x= ℓimn→∞ (sinx)/ x ∙ 1/ (cosx)= ℓimn→∞ (sinx)/x ∙ ℓimn→∞ 1/(cosx)= 1∙1/1= 1

Conclusion.

En conclusion, je voudrais dire que c'était très intéressant pour moi de travailler sur ce sujet. Parce que ce sujet est très intéressant et pédagogique. Je me suis familiarisé avec la définition d'une séquence, ses types et propriétés, ainsi que les nombres de Fibonacci. J'ai fait connaissance avec la limite de la cohérence, avec les progressions. Tâches analytiques révisées contenant une séquence. J'ai appris des méthodes pour résoudre des problèmes avec des séquences, la connexion des séquences mathématiques avec d'autres domaines de connaissances.

Liste de la littérature utilisée.

1. Mathématiques. Un grand ouvrage de référence pour les écoliers et ceux qui entrent à l'université./

DI. Averyanov, P.I. Altynov, I.I. Bavrin et autres - 2e éd. - Moscou : Outarde, 1999.

2. Déterminez l'opération arithmétique avec laquelle la moyenne est obtenue à partir de deux nombres extrêmes, et au lieu du signe *, insérez le nombre manquant : ,3104.62.51043.60.94 1.7*4.43.1*37.2*0, 8

3. Les élèves ont résolu une tâche dans laquelle ils devaient trouver des nombres manquants. Ils ont obtenu des réponses différentes. Trouvez les règles selon lesquelles les gars ont rempli les cellules. Tâche Réponse 1Réponse

Définition d'une séquence numérique On dit qu'une séquence numérique est donnée si, selon une loi, chaque nombre naturel (numéro de lieu) est attribué de manière unique certain nombre(membre de la séquence). DANS vue générale la correspondance indiquée peut être représentée comme suit : y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Le nombre n est le nième terme de la séquence . La séquence entière est généralement désignée par (y n).

Méthode analytique de spécification de séquences numériques Une séquence est spécifiée analytiquement si la formule du nième terme est spécifiée. Par exemple, 1) y n= n 2 – tâche analytique de la séquence 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – séquence constante (stationnaire) 2) y n= 2 n – tâche analytique de la séquence 2, 4 , 8, 16, ... Résoudre 585

Méthode récurrente de spécification de séquences numériques La méthode récurrente de spécification d'une séquence consiste à indiquer une règle qui permet de calculer le nième terme si ses membres précédents sont connus 1) une progression arithmétique est donnée par les relations récurrentes a 1 =a, an +1 =a n + d 2 ) progression géométrique – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Fixation 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Bornée par le haut Une séquence (y n) est dite bornée par le haut si tous ses termes ne sont pas supérieurs à un certain nombre. En d'autres termes, la séquence (yn) est limitée à une limite supérieure s'il existe un nombre M tel que pour tout n, l'inégalité y n M est la limite supérieure de la séquence. Par exemple, -1, -4, -9, -. 16, ..., -n 2, ...

Bornée par le bas Une séquence (y n) est dite limitée par le bas si tous ses termes ne sont pas inférieurs à un certain nombre. En d’autres termes, la séquence (y n) est bornée par le haut s’il existe un nombre m tel que pour tout n l’inégalité y n m est vraie. m – limite inférieure de la séquence Par exemple, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Limite d'une séquence Une séquence (y n) est dite limitée s'il est possible de spécifier deux nombres A et B entre lesquels se trouvent tous les membres de la séquence. L'inégalité Ay n B A est la borne inférieure, B est la borne supérieure. Par exemple, 1 est la borne supérieure, 0 est la borne inférieure.

Séquence décroissante Une séquence est dite décroissante si chaque membre est inférieur au précédent : y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple," title="Séquence décroissante Une séquence est dite décroissante si chaque membre est inférieur au précédent : y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >...Par exemple,"> title="Séquence décroissante Une séquence est dite décroissante si chaque membre est inférieur au précédent : y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple,"> !} 23

Travail d'essai Option 1Option 2 1. La suite de nombres est donnée par la formule a) Calculer les quatre premiers termes de cette suite b) Un nombre est-il membre de la suite ? b) Le nombre 12,25 est-il membre de la séquence ? 2. Créez une formule pour le ème terme de la séquence 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Séquences de nombres

Une fonction de la forme est appelée fonction d'un argument naturel ou d'une séquence numérique. O désigne y=f(n) ou y 1, y 2, y 3,…, y n,… Définition d'une séquence de nombres

Considérez la fonction Le graphique se compose de points individuels. ...

On obtient une suite de nombres 1, 4, 9, 16, 25, …, … Suite de carrés de nombres naturels – I membre de la suite – I I membre de la suite – III membre de la suite – nième membre de la suite

Méthodes de spécification d'une séquence Spécification analytique d'une séquence numérique. La séquence est spécifiée analytiquement si la formule du e nième terme est spécifiée Exemple 1 : y n = n 2 séquence 1,4,9,16,…, n 2,…

Méthodes de spécification d'une séquence Spécification analytique d'une séquence numérique. Exemple 2 : Trouver les premier, troisième et sixième termes de la séquence

Méthodes de spécification d'une séquence Spécification analytique d'une séquence numérique. Exemple 3 : Définissez la séquence par la formule du nième terme : a) 2, 4, 6, 8, ... b) 4, 8, 12, 16, 20, ...

Méthodes d'attribution d'une séquence Attribution verbale d'une séquence numérique. La règle de composition d'une séquence est décrite par des mots Exemple : séquence de nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... séquence de cubes de nombres naturels 1, 8, 27 , 64, 125, ...

Méthodes de spécification d'une séquence R affectation récurrente d'une séquence numérique. Une règle est spécifiée qui permet de calculer le nième membre d'une séquence si ses membres précédents sont connus. Lors du calcul des membres d'une séquence à l'aide de cette règle, nous revenons toujours en arrière et découvrons à quoi sont égaux les membres précédents, c'est pourquoi cette méthode est appelée récurrente (du latin recurrere - revenir)

Méthodes de spécification d'une séquence R affectation récurrente d'une séquence numérique. Exemple 1 : y 1 = 3, y n = y n-1 + 4, si n = 2, 3, 4, ... Chaque membre de la séquence est obtenu à partir du précédent en y ajoutant le nombre 4 y 1 = 3 et 2 = y 1 + 4 = 3 + 4 = 7 y 3 = y 2 + 4 = 7 + 4 = 11 y 4 = y 3 + 4 = 11 + 4 = 1 5 etc. On obtient la séquence 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...

Méthodes de spécification d'une séquence R affectation récurrente d'une séquence numérique. Exemple 2 : y 1 =1, y 2 =1, y n = y n-2 + y n-1 Chaque terme de la suite est égal à la somme des deux termes précédents y 1 =1 y 2 =1 y 3 = y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2 y 4 = y 2 + y 3 = 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 etc. On obtient la séquence 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Méthodes de spécification d'une séquence R affectation récurrente d'une séquence numérique. Il existe 2 séquences données récurrentes particulièrement importantes : 1) Progression arithmétique y 1 = a, y n = y n-1 + d, a et d sont des nombres, n = 2, 3, ... 2) Progression géométrique y 1 = b , y n = y n-1 q, b et q sont des nombres, n = 2, 3, ...

Séquences monotones Une séquence (y n) est croissante si chacun de ses membres (sauf le premier) est supérieur au précédent, c'est-à-dire y 1 1 , alors la séquence y n = et n – augmente. Une suite (y n) est décroissante si chacun de ses membres (sauf le premier) est inférieur au précédent, c'est-à-dire y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > … > y n > … Exemple : -1, -3, -5, -7, -9, … Si 0

Séquences monotones Les séquences croissantes et décroissantes sont dites monotones. Les séquences qui n’augmentent ni ne diminuent ne sont pas monotones.

En classe n°15.3, 15.7, 15.8, 15.10 Devoirs n°15.4, 15.6, 15.9, 15.11