On peut mettre en évidence les lois de distribution les plus courantes des variables aléatoires discrètes :

• Loi de distribution binomiale
• Loi de distribution de Poisson
• Loi de distribution géométrique
• Loi de distribution hypergéométrique

Pour des distributions données de variables aléatoires discrètes, le calcul des probabilités de leurs valeurs, ainsi que des caractéristiques numériques (espérance mathématique, variance, etc.) est effectué à l'aide de certaines « formules ». Il est donc très important de connaître ces types de distributions et leurs propriétés fondamentales.

1. Loi de distribution binomiale.

Discret variable aléatoire$X$ est soumis à la loi de distribution de probabilité binomiale s'il prend des valeurs $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ avec des probabilités $P\left(X=k\right)=C^k_n\ cdot p^k \cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. En fait, la variable aléatoire $X$ est le nombre d'occurrences de l'événement $A$ dans $n$ essais indépendants. Loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \points & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tableau)$

Pour une telle variable aléatoire, l'espérance mathématique est $M\left(X\right)=np$, la variance est $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Exemple . La famille a deux enfants. En supposant que les probabilités d'avoir un garçon et une fille sont égales à 0,5$, trouvez la loi de distribution de la variable aléatoire $\xi$ - le nombre de garçons dans la famille.

Soit la variable aléatoire $\xi $ le nombre de garçons dans la famille. Valeurs que $\xi peut prendre :\ 0,\ ​​​​​​1,\ 2$. Les probabilités de ces valeurs peuvent être trouvées à l'aide de la formule $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, où $n =2$ est le nombre d'essais indépendants, $p=0,5$ est la probabilité qu'un événement se produise dans une série de $n$ essais. On obtient :

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25 ;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Alors la loi de distribution de la variable aléatoire $\xi $ est la correspondance entre les valeurs $0,\ 1,\ 2$ et leurs probabilités, soit :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(tableau)$

La somme des probabilités dans la loi de distribution doit être égale à $1$, c'est-à-dire $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=1$.

Attente $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, variance $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, moyenne écart type$\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\environ 0,707$.

2. Loi de distribution de Poisson.

Si une variable aléatoire discrète $X$ ne peut prendre que des valeurs entières non négatives $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ avec des probabilités $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Commentaire. La particularité de cette distribution est que, à partir de données expérimentales, on trouve des estimations $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, si les estimations obtenues sont proches les unes des autres, alors on a raison d'affirmer que la variable aléatoire est soumise à la loi de distribution de Poisson.

Exemple . Des exemples de variables aléatoires soumises à la loi de distribution de Poisson peuvent être : le nombre de voitures qui seront desservies par une station-service demain ; nombre d'éléments défectueux dans les produits manufacturés.

Exemple . L'usine a envoyé 500$ de produits à la base. La probabilité que le produit soit endommagé pendant le transport est de 0,002 $. Trouver la loi de distribution de la variable aléatoire $X$, égal au nombre produits endommagés ; qu'est-ce que $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Soit la variable aléatoire discrète $X$ le nombre de produits endommagés. Une telle variable aléatoire est soumise à la loi de distribution de Poisson avec le paramètre $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Les probabilités des valeurs sont égales à $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Loi de distribution de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368 ; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tableau)$

Pour une telle variable aléatoire, l'espérance mathématique et la variance sont égales entre elles et sont égales au paramètre $\lambda $, c'est-à-dire $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda =1$.

3. Loi de distribution géométrique.

Si une variable aléatoire discrète $X$ ne peut prendre que des valeurs naturelles $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ avec des probabilités $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ à droite)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, alors ils disent qu'une telle variable aléatoire $X$ est soumise à la loi géométrique de la distribution de probabilité. En fait, la distribution géométrique est un test de Bernoulli jusqu'au premier succès.

Exemple . Des exemples de variables aléatoires qui ont une distribution géométrique peuvent être : le nombre de tirs avant le premier coup sur la cible ; nombre de tests de l'appareil jusqu'à la première panne ; le nombre de lancers de pièces jusqu'à ce que la première face apparaisse, etc.

L'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire soumise à une distribution géométrique sont respectivement égales à $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ 2 $.

Exemple . Sur le chemin du poisson vers le site de frai, il y a un écluse de 4$. La probabilité que des poissons passent par chaque écluse est $p=3/5$. Construisez une série de distribution de la variable aléatoire $X$ - le nombre d'écluses franchies par le poisson avant la première retenue à l'écluse. Recherchez $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Soit la variable aléatoire $X$ le nombre d'écluses franchies par le poisson avant la première arrestation à l'écluse. Une telle variable aléatoire est soumise à la loi géométrique de la distribution de probabilité. Valeurs que peut prendre une variable aléatoire $X :$ 1, 2, 3, 4. Les probabilités de ces valeurs sont calculées à l'aide de la formule : $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, où : $ p=2/5$ - probabilité que le poisson soit retenu par l'écluse, $q=1-p=3/5$ - probabilité que le poisson passe par l'écluse, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ plus de (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ sur (5))\cdot ((9)\sur (25))=((18)\sur (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\plus de (5))\droite))^4=((27)\plus de (125))=0,216.$

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\gauche(X_i\droite) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(tableau)$

Attente mathématique :

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Dispersion:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2 176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\environ 1,377.$

Écart type :

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1 377)\environ 1 173.$

4. Loi de distribution hypergéométrique.

Si $N$ objets, parmi lesquels $m$ objets ont une propriété donnée. Les objets $n$ sont récupérés aléatoirement sans retour, parmi lesquels il y avait des objets $k$ qui ont une propriété donnée. La distribution hypergéométrique permet d'estimer la probabilité qu'exactement $k$ objets de l'échantillon aient une propriété donnée. Soit la variable aléatoire $X$ le nombre d'objets de l'échantillon qui ont une propriété donnée. Puis les probabilités des valeurs de la variable aléatoire $X$ :

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Commentaire. La fonction statistique HYPERGEOMET de l'assistant de fonction Excel $f_x$ permet de déterminer la probabilité qu'un certain nombre de tests réussissent.

$f_x\à$ statistique$\à$ HYPERGÉOMÈTE$\à$ D'ACCORD. Une boîte de dialogue apparaîtra que vous devrez remplir. Dans la colonne Number_of_successes_in_sample indiquez la valeur $k$. taille_échantillon est égal à $n$. Dans la colonne Number_of_successes_in_together indiquez la valeur $m$. taille_population est égal à $N$.

L'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire discrète $X$, soumises à la loi de distribution géométrique, sont respectivement égales à $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Exemple . Le service de crédit de la banque emploie 5 spécialistes ayant une formation financière supérieure et 3 spécialistes ayant une formation financière supérieure formation juridique. La direction de la banque a décidé d'envoyer 3 spécialistes pour améliorer leurs qualifications, en les sélectionnant au hasard.

a) Faire une série de répartition du nombre de spécialistes ayant une formation financière supérieure qui peuvent être envoyés pour améliorer leurs qualifications ;

b) Trouvez les caractéristiques numériques de cette distribution.

Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de spécialistes ayant une formation financière supérieure parmi les trois sélectionnés. Valeurs que $X peut prendre : 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Cette variable aléatoire $X$ est distribuée selon une distribution hypergéométrique avec les paramètres suivants : $N=8$ - taille de la population, $m=5$ - nombre de réussites dans la population, $n=3$ - taille de l'échantillon, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - nombre de réussites dans l'échantillon. Ensuite, les probabilités $P\left(X=k\right)$ peuvent être calculées à l'aide de la formule : $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ sur C_( N)^(n) ) $. Nous avons:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\environ 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\environ 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\environ 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\environ 0,179.$

Puis la série de distribution de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(tableau)$

Calculons les caractéristiques numériques de la variable aléatoire $X$ en utilisant les formules générales de la distribution hypergéométrique.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1 875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\environ 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\environ 0.7085.$

L'un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités est le concept variable aléatoire.

Aléatoire appelé taille, qui, à la suite de tests, prend certaines valeurs possibles inconnues à l'avance et qui dépendent de raisons aléatoires qui ne peuvent être prises en compte à l'avance.

Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin X, Oui, Z etc. ou en lettres majuscules de l'alphabet latin avec un index inférieur droit, et les valeurs que peuvent prendre les variables aléatoires - dans les petites lettres correspondantes de l'alphabet latin x, oui, z etc.

Le concept de variable aléatoire est étroitement lié au concept d'événement aléatoire. Connexion avec un événement aléatoire réside dans le fait que l'adoption par une variable aléatoire d'une certaine valeur numérique est un événement aléatoire caractérisé par la probabilité .

En pratique, il existe deux principaux types de variables aléatoires :

1. Variables aléatoires discrètes ;

2. Variables aléatoires continues.

Une variable aléatoire est une fonction numérique d'événements aléatoires.

Par exemple, une variable aléatoire est le nombre de points obtenus en lançant dés, ou la croissance d'un élément sélectionné au hasard groupe d'étudeétudiant.

Variables aléatoires discrètes sont appelées variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs éloignées les unes des autres et pouvant être répertoriées à l'avance.

Loi de répartition(fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrivent complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Considérons les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète toute relation est appelée , établir un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes .

La loi de distribution d'une variable aléatoire peut être représentée comme tableaux:

			…	…
			…	…

La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire est égale à un, c'est-à-dire

La loi de distribution peut être représentée graphiquement: les valeurs possibles d'une variable aléatoire sont portées le long de l'axe des abscisses, et les probabilités de ces valeurs sont portées le long de l'axe des ordonnées ; les points résultants sont reliés par des segments. La polyligne construite est appelée polygone de distribution.

Exemple. Un chasseur équipé de 4 cartouches tire sur le gibier jusqu'à ce qu'il réussisse le premier coup ou qu'il épuise toutes les cartouches. La probabilité de toucher au premier coup est de 0,7, à chaque coup suivant, elle diminue de 0,1. Etablir une loi de répartition du nombre de cartouches dépensées par un chasseur.

Solution. Puisqu'un chasseur, possédant 4 cartouches, peut tirer quatre coups, alors la variable aléatoire X- le nombre de cartouches dépensées par le chasseur peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4. Pour retrouver les probabilités correspondantes, on introduit les événements :

- "frapper avec je- oh coup de feu", ;

- "manquer quand je- om shot », et les événements et sont indépendants par paire.

Selon les conditions problématiques, nous avons :

,

En utilisant le théorème de multiplication pour les événements indépendants et le théorème d'addition pour les événements incompatibles, on trouve :

(le chasseur a touché la cible du premier coup) ;

(le chasseur a touché la cible avec le deuxième coup) ;

(le chasseur a touché la cible au troisième coup) ;

(le chasseur a touché la cible au quatrième coup ou a raté les quatre fois).

Vérifiez : - vrai.

Ainsi, la loi de distribution d'une variable aléatoire X a la forme :

	0,7	0,18	0,06	0,06

Exemple. Un ouvrier fait fonctionner trois machines. La probabilité que dans une heure la première machine ne nécessite pas de réglage est de 0,9, la seconde de 0,8 et la troisième de 0,7. Etablir une loi de répartition du nombre de machines qui nécessiteront un réglage dans l'heure.

Solution. Variable aléatoire X- le nombre de machines qui nécessiteront un réglage dans une heure peut prendre les valeurs 0,1, 2, 3. Pour trouver les probabilités correspondantes, on introduit les événements :

- “je- la machine nécessitera un réglage dans une heure, » ;

- “je- la machine ne nécessitera aucun réglage dans l'heure, » .

Selon les conditions problématiques, nous avons :

, .

Comme on le sait, variable aléatoire est une quantité variable qui peut prendre certaines valeurs selon les cas. Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin (X, Y, Z) et leurs valeurs sont désignées par les lettres minuscules correspondantes (x, y, z). Les variables aléatoires sont divisées en discontinues (discrètes) et continues.

Variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui ne prend qu'un ensemble fini ou infini (dénombrable) de valeurs avec certaines probabilités non nulles.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est une fonction qui relie les valeurs d'une variable aléatoire avec leurs probabilités correspondantes. La loi de distribution peut être spécifiée de l'une des manières suivantes.

1 . La loi de distribution peut être donnée par le tableau :

où λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) en utilisant fonctions de distribution F(x) , qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire F(x) = P(X< x).

Propriétés de la fonction F(x)

3 . La loi de distribution peut être spécifiée graphiquement – polygone de distribution (polygone) (voir problème 3).

A noter que pour résoudre certains problèmes il n’est pas nécessaire de connaître la loi de distribution. Dans certains cas, il suffit de connaître un ou plusieurs chiffres qui reflètent le plus caractéristiques importantes droit de la distribution. Il peut s'agir d'un nombre ayant la signification de « moyenne » d'une variable aléatoire, ou d'un nombre indiquant taille moyenneécart d'une variable aléatoire par rapport à sa valeur moyenne.

Les nombres de ce type sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire. :

• Caractéristiques numériques de base d'une variable aléatoire discrète Attente mathématique (valeur moyenne) d'une variable aléatoire discrète.
  M(X)=Σ X je p je
• Pour la distribution binomiale M(X)=np, pour la distribution de Poisson M(X)=λ Dispersion variable aléatoire discrète D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2)− 2
  . La différence X–M(X) est appelée l’écart d’une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique.
• Pour la distribution binomiale D(X)=npq, pour la distribution de Poisson D(X)=λ (Écart type) écart type.

σ(X)=√D(X)

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète »

Tâche 1.

Solution. 1000 billets de loterie ont été émis : 5 d'entre eux gagneront 500 roubles, 10 gagneront 100 roubles, 20 gagneront 50 roubles, 50 gagneront 10 roubles. Déterminez la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire X - gains par ticket.

Le nombre de tickets sans gain est de 1000 – (5+10+20+50) = 915, alors P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De même, on retrouve toutes les autres probabilités : P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Présentons la loi résultante sous forme de tableau :

Trouvons l'espérance mathématique de la valeur X : M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tâche 3.

L'appareil se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment.

Solution. 1. La probabilité de défaillance de chaque élément dans une expérience est de 0,1. Élaborez une loi de distribution pour le nombre d'éléments défaillants dans une expérience, construisez un polygone de distribution. Trouvez la fonction de distribution F(x) et tracez-la. Trouvez l'espérance mathématique, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire discrète.

La variable aléatoire discrète X = (le nombre d'éléments défaillants dans une expérience) a les valeurs possibles suivantes : x 1 =0 (aucun des éléments du dispositif n'a échoué), x 2 =1 (un élément a échoué), x 3 =2 ( deux éléments ont échoué) et x 4 = 3 (trois éléments ont échoué). Les défaillances des éléments sont indépendantes les unes des autres, les probabilités de défaillance de chaque élément sont égales, donc applicable La formule de Bernoulli
. Considérant que, selon la condition n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, on détermine les probabilités des valeurs :
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729 ;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243 ;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027 ;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001 ;

Vérifier : ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Ainsi, la loi de distribution binomiale souhaitée de X a la forme :

3. Nous traçons les valeurs possibles de x i le long de l'axe des abscisses et les probabilités correspondantes p i le long de l'axe des ordonnées. Construisons les points M 1 (0 ; 0,729), M 2 (1 ; 0,243), M 3 (2 ; 0,027), M 4 (3 ; 0,001). En reliant ces points avec des segments de droite, on obtient le polygone de distribution souhaité.

Trouvons la fonction de distribution F(x) = Р(Х<0) = 0;
Pour x ≤ 0 on a F(x) = Р(Х< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pour 0< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pour 1< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pour 2

pour x > 3 il y aura F(x) = 1, car l'événement est fiable.

4. Graphique de la fonction F(x)
Pour la distribution binomiale X :
- espérance mathématique M(X) = np = 3*0,1 = 0,3 ;
- variance D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27 ;

X- écart type σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Solution: L'écart type de la variable aléatoire X est défini comme

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
, où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et(une boule tirée au hasard est noire) on applique la formule de probabilité totale : Voici la probabilité qu'une boule blanche ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité qu'une boule noire ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit noire si une boule blanche a été déplacée de la première urne à la seconde ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit noire si une boule noire a été déplacée de la première urne à la seconde.

La variable aléatoire discrète X est donnée par la loi de distribution de probabilité : Alors la probabilité égal...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
La variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule. Alors

Ou . En résolvant la dernière équation, nous obtenons deux racines et

Sujet : Détermination de la probabilité
Dans un lot de 12 pièces, il y a 5 pièces défectueuses. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Alors la probabilité qu’il n’y ait pas de pièces appropriées parmi les pièces sélectionnées est égale à...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer l'événement A (il n'y a pas de pièces appropriées parmi les pièces sélectionnées), nous utilisons la formule où n m– le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement A. Dans notre cas, le nombre total d'issues élémentaires possibles est égal au nombre de manières dont trois détails peuvent être extraits des 12 disponibles, c'est-à-dire.

Et le nombre total de résultats favorables est égal au nombre de façons dont trois pièces défectueuses peuvent être extraites de cinq, c'est-à-dire.

La banque accorde 44 % de tous les prêts aux personnes morales et 56 % aux particuliers. La probabilité qu'une personne morale ne rembourse pas le prêt à temps est de 0,2 ; et pour un individu, cette probabilité est de 0,1. La probabilité que le prochain prêt soit remboursé à temps est alors...

0,856

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer la probabilité d'un événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et(le prêt émis sera remboursé à temps) appliquer la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité que le prêt ait été accordé à une personne morale ; – la probabilité que le prêt ait été accordé à un particulier ; – la probabilité conditionnelle que le prêt soit remboursé à temps s'il a été accordé à une personne morale ; – la probabilité conditionnelle que le prêt soit remboursé à temps s'il était accordé à un particulier. Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Pour une variable aléatoire discrète X

0,655

Sujet : Détermination de la probabilité
Le dé est lancé deux fois. Alors la probabilité que la somme des points obtenus ne soit pas inférieure à neuf est...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer l'événement (la somme des points obtenus sera d'au moins neuf), on utilise la formule , où est le nombre total de résultats élémentaires possibles du test, et m– le nombre d’issues élémentaires favorables à la survenance de l’événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et. Dans notre cas, c'est possible résultats de tests élémentaires, parmi lesquels les plus favorables sont des résultats de la forme , , , , , , , et , c'est-à-dire. Ainsi,

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes

la fonction de distribution de probabilité a la forme :

Alors la valeur du paramètre peut être égale à...

			0,7
			0,85
			0,6

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Par définition . Par conséquent, et . Ces conditions sont satisfaites, par exemple, par la valeur

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Une variable aléatoire continue est spécifiée par une fonction de distribution de probabilité :

Alors sa variance est...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Cette variable aléatoire est distribuée uniformément dans l'intervalle. Ensuite, sa variance peut être calculée à l'aide de la formule . C'est

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
La première urne contient 6 boules noires et 4 boules blanches. La deuxième urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Une boule a été prise dans une urne choisie au hasard, qui s'est avérée blanche. Alors la probabilité que cette boule ait été tirée de la première urne est...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
, où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et(une boule tirée au hasard est blanche) selon la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité que la boule soit tirée de la première urne ; – la probabilité que la boule soit tirée de la deuxième urne ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la première urne ; est la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la deuxième urne.
Alors .
Calculons maintenant la probabilité conditionnelle que cette boule ait été tirée de la première urne en utilisant la formule de Bayes :

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Variable aléatoire discrète X est donné par la loi de distribution de probabilité :

Alors sa variance est...

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
La variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Par définition . Alors
a) à , ,
b) à , ,
chat , ,
d) à , ,
d) à , .
Ainsi,

Sujet : Détermination de la probabilité
Un point est lancé au hasard à l’intérieur d’un cercle de rayon 4. Alors la probabilité que le point soit en dehors du carré inscrit dans le cercle est...

Sujet : Détermination de la probabilité
Dans un lot de 12 pièces, il y a 5 pièces défectueuses. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Alors la probabilité qu’il n’y ait pas de pièces défectueuses parmi les pièces sélectionnées est égale à...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer l'événement (il n'y a pas de pièces défectueuses parmi les pièces sélectionnées), on utilise la formule, où n est le nombre total de résultats de tests élémentaires possibles, et m– le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement. Dans notre cas, le nombre total de résultats élémentaires possibles est égal au nombre de façons dont trois détails peuvent être extraits des 12 disponibles, c'est-à-dire. Et le nombre total d’issues favorables est égal au nombre de façons dont trois parties non défectueuses peuvent être extraites de sept, c’est-à-dire. Ainsi,

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer la probabilité d'un événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et
Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par la loi de distribution de probabilité :

Alors la probabilité égal...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Utilisons la formule . Alors

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Calculons d'abord la probabilité de l'événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et
.
.

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires

Alors son espérance mathématique est...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Utilisons la formule . Alors .

Sujet : Détermination de la probabilité

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80

Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Une variable aléatoire continue est spécifiée par la densité de distribution de probabilité . Alors l'espérance mathématique un et l'écart type de cette variable aléatoire est égal à...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire normalement distribuée a la forme , Où , . C'est pourquoi .

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par la loi de distribution de probabilité :

Alors les valeurs un Et b peut-être égal...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Puisque la somme des probabilités des valeurs possibles est égale à 1, alors . La réponse satisfait à cette condition : .

Sujet : Détermination de la probabilité
Un cercle plus petit de rayon 5 est placé dans un cercle de rayon 8. Alors la probabilité qu'un point jeté au hasard dans le plus grand cercle tombe également dans le plus petit cercle est...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer la probabilité de l'événement souhaité, nous utilisons la formule , où est l'aire du plus petit cercle et est l'aire du plus grand cercle. Ainsi, .

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
La première urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La deuxième urne contient 4 boules blanches et 5 boules noires. Une boule a été transférée de la première urne à la deuxième urne. Alors la probabilité qu’une boule tirée au hasard dans la deuxième urne soit blanche est…

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer la probabilité d'un événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et(une boule tirée au hasard est blanche) appliquer la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité qu'une boule blanche ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité qu'une boule noire ait été transférée de la première urne à la deuxième urne ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si une boule blanche a été déplacée de la première urne à la seconde ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si une boule noire est déplacée de la première urne à la seconde.
Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Pour une variable aléatoire discrète :

la fonction de distribution de probabilité a la forme :

Alors la valeur du paramètre peut être égale à...

			0,7
			0,85
			0,6

TÂCHE N 10 signaler une erreur
Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
La banque accorde 70 % de tous les prêts aux personnes morales et 30 % aux particuliers. La probabilité qu'une personne morale ne rembourse pas le prêt à temps est de 0,15 ; et pour un individu cette probabilité est de 0,05. Un message a été reçu indiquant que le prêt n'avait pas été remboursé. Alors la probabilité que la personne morale n’ait pas remboursé ce prêt est...

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Calculons d'abord la probabilité de l'événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et(le prêt émis ne sera pas remboursé à temps) selon la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité que le prêt ait été accordé à une personne morale ; – la probabilité que le prêt ait été accordé à un particulier ; – la probabilité conditionnelle que le prêt ne soit pas remboursé à temps s'il a été accordé à une personne morale ; – la probabilité conditionnelle que le prêt ne soit pas remboursé à temps s'il était accordé à un particulier. Alors
.
Calculons maintenant la probabilité conditionnelle que ce prêt ne soit pas remboursé par une personne morale, en utilisant la formule de Bayes :
.

TÂCHE N 11 signaler une erreur
Sujet : Détermination de la probabilité
Dans un lot de 12 pièces, il y a 5 pièces défectueuses. Trois parties ont été sélectionnées au hasard. Alors la probabilité qu’il n’y ait pas de pièces appropriées parmi les pièces sélectionnées est égale à...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer l'événement (il n'y a pas de parties appropriées parmi les parties sélectionnées), nous utilisons la formule, où n est le nombre total de résultats de tests élémentaires possibles, et m– le nombre d'issues élémentaires favorables à la survenance de l'événement. Dans notre cas, le nombre total de résultats élémentaires possibles est égal au nombre de façons dont trois détails peuvent être extraits des 12 disponibles, c'est-à-dire. Et le nombre total de résultats favorables est égal au nombre de façons dont trois pièces défectueuses peuvent être extraites de cinq, c'est-à-dire. Ainsi,

TÂCHE N 12 signaler une erreur
Sujet : Caractéristiques numériques des variables aléatoires
Une variable aléatoire continue est spécifiée par la densité de distribution de probabilité :

Alors sa variance est...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
La variance d'une variable aléatoire continue peut être calculée à l'aide de la formule

Alors

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par la loi de distribution de probabilité :

Alors sa fonction de distribution de probabilité a la forme...

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Par définition . Alors
a) à , ,
b) à , ,
chat , ,
d) à , ,
d) à , .
Ainsi,

Sujet : Probabilité totale. Formules bayésiennes
Il y a trois urnes contenant 5 boules blanches et 5 boules noires, et sept urnes contenant 6 boules blanches et 4 boules noires. Une boule est tirée d'une urne au hasard. Alors la probabilité que cette boule soit blanche est...

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

est donné par la loi de distribution de probabilité : Alors son écart type est égal à ... 0,80
Pour calculer la probabilité d'un événement , où la variance d'une variable aléatoire discrète peut être calculée à l'aide de la formule Alors , et(une boule tirée au hasard est blanche) appliquez la formule de probabilité totale : . Voici la probabilité qu'une boule soit tirée de la première série d'urnes ; – la probabilité que la boule soit tirée de la deuxième série d'urnes ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la première série d'urnes ; – la probabilité conditionnelle que la boule tirée soit blanche si elle est tirée de la deuxième série d'urnes.
Alors .

Sujet : Lois de la distribution de probabilité des variables aléatoires discrètes
Une variable aléatoire discrète est spécifiée par la loi de distribution de probabilité :

Alors la probabilité égal...

Sujet : Détermination de la probabilité
Le dé est lancé deux fois. Alors la probabilité que la somme des points tirés soit égale à dix est...

Variable aléatoire Une variable est appelée une variable qui, à la suite de chaque test, prend une valeur jusqu'alors inconnue, en fonction de raisons aléatoires. Les variables aléatoires sont désignées par des lettres majuscules latines : $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Selon leur type, les variables aléatoires peuvent être discret Et continu.

Variable aléatoire discrète- il s'agit d'une variable aléatoire dont les valeurs ne peuvent être que dénombrables, c'est-à-dire finies ou dénombrables. Par dénombrabilité, nous entendons que les valeurs d'une variable aléatoire peuvent être numérotées.

Exemple 1 . Voici des exemples de variables aléatoires discrètes :

a) le nombre de coups sur la cible avec $n$ tirs, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) le nombre d'emblèmes abandonnés lors du lancer d'une pièce, ici les valeurs possibles sont $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) le nombre de navires arrivant à bord (un ensemble dénombrable de valeurs).

d) le nombre d'appels arrivant au PBX (ensemble dénombrable de valeurs).

1. Loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire discrète $X$ peut prendre des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ avec des probabilités $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondance entre ces valeurs et leurs probabilités s'appelle loi de distribution d'une variable aléatoire discrète. En règle générale, cette correspondance est précisée à l'aide d'un tableau dont la première ligne indique les valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$, et la deuxième ligne les probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$. correspondant à ces valeurs sont indiquées.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tableau)$

Exemple 2 . Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de points obtenu en lançant un dé. Une telle variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs suivantes : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Les probabilités de toutes ces valeurs sont égales à 1/6$. Puis la loi de distribution de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tableau)$

Commentaire. Puisque dans la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète $X$ les événements $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forment un groupe complet d'événements, alors la somme des probabilités doit être égale à un, c'est-à-dire $ \sum(p_i)=1$.

2. Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète.

Attente d'une variable aléatoire fixe sa signification « centrale ». Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance mathématique est calculée comme la somme des produits des valeurs $x_1,\dots ,\ x_n$ et des probabilités $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondant à ces valeurs, soit : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dans la littérature de langue anglaise, une autre notation $E\left(X\right)$ est utilisée.

Propriétés de l'espérance mathématique$M\gauche(X\droite)$ :

1. $M\left(X\right)$ se situe entre les valeurs les plus petites et les plus grandes de la variable aléatoire $X$.
2. L'espérance mathématique d'une constante est égale à la constante elle-même, c'est-à-dire $M\gauche(C\droite)=C$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'espérance mathématique : $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemple 3 . Trouvons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sur (6))+4\cdot ((1)\sur (6))+5\cdot ((1)\sur (6))+6\cdot ((1 )\plus de (6))=3,5.$$

On peut remarquer que $M\left(X\right)$ se situe entre la plus petite ($1$) et la plus grande ($6$) valeurs de la variable aléatoire $X$.

Exemple 4 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=2$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $3X+5$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemple 5 . On sait que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est égale à $M\left(X\right)=4$. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $2X-9$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous obtenons $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersion d'une variable aléatoire discrète.

Les valeurs possibles de variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales peuvent se disperser différemment autour de leurs valeurs moyennes. Par exemple, dans deux groupes d'étudiants, la note moyenne à l'examen de théorie des probabilités s'est avérée être de 4, mais dans un groupe, tout le monde s'est avéré être de bons étudiants, et dans l'autre groupe, il n'y avait que des étudiants C et d'excellents étudiants. Par conséquent, il existe un besoin d'une caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui montrerait la répartition des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cette caractéristique est la dispersion.

Variance d'une variable aléatoire discrète$X$ est égal à :

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Dans la littérature anglaise, la notation $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ est utilisée. Très souvent, la variance $D\left(X\right)$ est calculée à l'aide de la formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ gauche(X \droite)\droite))^2$.

Propriétés de dispersion$D\gauche(X\droite)$ :

1. La variance est toujours supérieure ou égale à zéro, c'est-à-dire $D\gauche(X\droite)\ge 0$.
2. La variance de la constante est nulle, c'est-à-dire $D\gauche(C\droite)=0$.
3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de dispersion à condition qu'il soit au carré, c'est-à-dire $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. La variance de la somme des variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La variance de la différence entre les variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances, c'est-à-dire $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Exemple 6 . Calculons la variance de la variable aléatoire $X$ à partir de l'exemple $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\environ 2,92.$$

Exemple 7 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=2$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $4X+1$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ gauche(X\droite)=16\cdot 2=32$.

Exemple 8 . On sait que la variance de la variable aléatoire $X$ est égale à $D\left(X\right)=3$. Trouvez la variance de la variable aléatoire $3-2X$.

En utilisant les propriétés ci-dessus, nous trouvons $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ gauche(X\droite)=4\cdot 3=12$.

4. Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète.

La méthode de représentation d'une variable aléatoire discrète sous la forme d'une série de distribution n'est pas la seule, et surtout, elle n'est pas universelle, puisqu'une variable aléatoire continue ne peut pas être spécifiée à l'aide d'une série de distribution. Il existe une autre façon de représenter une variable aléatoire : la fonction de distribution.

Fonction de répartition la variable aléatoire $X$ est appelée une fonction $F\left(x\right)$, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $x$, c'est-à-dire $F\ gauche(x\droite)=P\gauche(X< x\right)$

Propriétés de la fonction de distribution:

1. $0\le F\gauche(x\droite)\le 1$.
2. La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - non décroissant.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Exemple 9 . Trouvons la fonction de distribution $F\left(x\right)$ pour la loi de distribution de la variable aléatoire discrète $X$ de l'exemple $2$.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tableau)$

Si $x\le 1$, alors, évidemment, $F\left(x\right)=0$ (y compris pour $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si 4$< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si 5$< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, alors $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\gauche(X=4\droite)+P\gauche(X=5\droite)+P\gauche(X=6\droite)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Donc $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ à\ x\le 1,\\
1/6,à\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ à\ 2< x\le 3,\\
1/2,à\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ à\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ à\ 4< x\le 5,\\
1,\ pour\ x > 6.
\fin(matrice)\droite.$