www.site vous permet de trouver. Le site effectue le calcul. Dans quelques secondes, le serveur émettra la bonne décision. L'équation caractéristique de la matrice sera une expression algébrique trouvée selon la règle de calcul du déterminant de la matrice matricielle, tandis que la diagonale principale sera la différence des valeurs des éléments diagonaux et de la variable. Lors du calcul de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne, chaque élément de la matrice sera multiplié par les autres éléments correspondants de la matrice. Vous pouvez le trouver en ligne uniquement pour une matrice carrée. L'opération de recherche de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne se réduit au calcul de la somme algébrique du produit des éléments de la matrice suite à la recherche du déterminant de la matrice, uniquement dans le but de déterminer l'équation caractéristique de la matrice en ligne. matrice. Cette opération occupe une place particulière dans la théorie des matrices ; elle permet de trouver des valeurs propres et des vecteurs à l'aide de racines. La tâche de trouver en ligne l'équation caractéristique d'une matrice consiste à multiplier les éléments de la matrice puis à additionner ces produits selon une certaine règle. www.site trouve en ligne l'équation caractéristique d'une matrice d'une dimension donnée. Calculer l'équation caractéristique d'une matrice en ligne pour une dimension donnée, c'est trouver un polynôme à coefficients numériques ou symboliques, trouvé selon la règle de calcul du déterminant d'une matrice - comme la somme des produits des éléments correspondants de la matrice, uniquement dans le but de déterminer en ligne l'équation caractéristique de la matrice. Trouver un polynôme par rapport à une variable pour une matrice carrée, en tant que définition de l'équation caractéristique de la matrice, est courant dans la théorie des matrices. La valeur des racines du polynôme d'équation caractéristique d'une matrice en ligne est utilisée pour déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de la matrice. De plus, si le déterminant de la matrice est égal à zéro, alors l'équation caractéristique de la matrice existera toujours, contrairement à matrice inverse. Afin de calculer l'équation caractéristique d'une matrice ou de trouver des équations caractéristiques pour plusieurs matrices à la fois, vous devez consacrer beaucoup de temps et d'efforts, tandis que notre serveur trouvera l'équation caractéristique d'une matrice en ligne en quelques secondes. Dans ce cas, la réponse pour trouver l'équation caractéristique d'une matrice en ligne sera correcte et avec une précision suffisante, même si les chiffres lors de la recherche de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne seront irrationnels. Sur le site www.site, les entrées symboliques dans les éléments matriciels sont autorisées, c'est-à-dire que l'équation caractéristique d'une matrice en ligne peut être représentée sous forme symbolique générale lors du calcul de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne. Il est utile de vérifier la réponse obtenue lors de la résolution du problème de recherche de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne via le site www.site. Lorsque vous effectuez l'opération de calcul d'un polynôme - l'équation caractéristique d'une matrice, vous devez être prudent et extrêmement concentré lors de la résolution de ce problème. À son tour, notre site vous aidera à vérifier votre solution sur le thème de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne. Si vous n'avez pas le temps de procéder à de longues vérifications des problèmes résolus, le site www.site sera certainement un outil pratique pour vérifier lors de la recherche et du calcul de l'équation caractéristique d'une matrice en ligne.

Les matrices diagonales ont la structure la plus simple. La question se pose de savoir s'il est possible de trouver une base sur laquelle la matrice opérateur linéaire aurait une apparence diagonale. Une telle base existe.
Donnons-nous un espace linéaire R n et un opérateur linéaire A agissant dans celui-ci ; dans ce cas, l'opérateur A prend R n en lui-même, c'est-à-dire A:R n → R n .

Définition. Un vecteur non nul est appelé vecteur propre de l'opérateur A si l'opérateur A se traduit par un vecteur colinéaire, c'est-à-dire. Le nombre λ est appelé valeur propre ou valeur propre de l'opérateur A, correspondant au vecteur propre.
Notons quelques propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres.
1. Toute combinaison linéaire de vecteurs propres l'opérateur A correspondant à la même valeur propre λ est un vecteur propre de même valeur propre.
2. Vecteurs propres l'opérateur A avec des valeurs propres deux à deux différentes λ 1 , λ 2 , …, λ m sont linéairement indépendants.
3. Si les valeurs propres λ 1 =λ 2 = λ m = λ, alors la valeur propre λ ne correspond pas à plus de m vecteurs propres linéairement indépendants.

Donc, s’il existe n vecteurs propres linéairement indépendants , correspondant à différentes valeurs propres λ 1, λ 2, ..., λ n, alors elles sont linéairement indépendantes, elles peuvent donc être prises comme base de l'espace R n. Retrouvons la forme de la matrice de l'opérateur linéaire A à base de ses vecteurs propres, pour laquelle nous agirons avec l'opérateur A à base de vecteurs : Alors .
Ainsi, la matrice de l'opérateur linéaire A sur la base de ses vecteurs propres a une forme diagonale, et les valeurs propres de l'opérateur A sont le long de la diagonale.
Existe-t-il une autre base dans laquelle la matrice a une forme diagonale ? La réponse à cette question est donnée par le théorème suivant.

Théorème. La matrice de l'opérateur linéaire A dans la base (i = 1..n) a une forme diagonale si et seulement si tous les vecteurs de la base sont vecteurs propres l'opérateur A.

Règle pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres Soit un vecteur , où x 1, x 2, …, x n sont les coordonnées du vecteur par rapport à la base et est le vecteur propre de l'opérateur linéaire A correspondant à la valeur propre λ, c'est-à-dire. Cette relation peut s'écrire sous forme matricielle

. (*)

L'équation (*) peut être considérée comme une équation pour trouver , et , c'est-à-dire que nous nous intéressons aux solutions non triviales, puisque le vecteur propre ne peut pas être nul. On sait que les solutions non triviales d'un système homogène équations linéaires existe si et seulement si det(A - λE) = 0. Ainsi, pour que λ soit une valeur propre de l'opérateur A il faut et suffisant que det(A - λE) = 0.
Si l'équation (*) est écrite en détail sous forme de coordonnées, nous obtenons un système d'équations linéaires homogènes :

(1)
Où - matrice d'opérateur linéaire.

Le système (1) a une solution non nulle si son déterminant D est égal à zéro

Nous avons reçu une équation pour trouver les valeurs propres.
Cette équation est appelée équation caractéristique, et son côté gauche est appelé polynôme caractéristique de la matrice (opérateur) A. Si le polynôme caractéristique n'a pas de racines réelles, alors la matrice A n'a pas de vecteurs propres et ne peut pas être réduite à une forme diagonale.
Soit λ 1, λ 2, …, λ n les racines réelles de l'équation caractéristique, et parmi elles il peut y avoir des multiples. En substituant ces valeurs tour à tour dans le système (1), on trouve les vecteurs propres.

Exemple 12. L'opérateur linéaire A agit dans R 3 selon la loi, où x 1, x 2, .., x n sont les coordonnées du vecteur dans la base , , . Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de cet opérateur.
Solution. On construit la matrice de cet opérateur :
.
Nous créons un système pour déterminer les coordonnées des vecteurs propres :

Nous composons une équation caractéristique et la résolvons :

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
En substituant λ = -1 dans le système, nous avons :
ou
Parce que , alors il y a deux variables dépendantes et une variable libre.
Soit x 1 une inconnue libre, alors Nous résolvons ce système de quelque manière que ce soit et trouvons solution générale de ce système : Le système de solutions fondamentales est constitué d'une solution, puisque n - r = 3 - 2 = 1.
L'ensemble des vecteurs propres correspondant à la valeur propre λ = -1 a la forme : , où x 1 est tout nombre autre que zéro. Choisissons un vecteur dans cet ensemble, par exemple en mettant x 1 = 1 : .
En raisonnant de la même manière, on trouve le vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = 3 : .
Dans l'espace R 3, la base est constituée de trois vecteurs linéairement indépendants, mais nous n'avons reçu que deux vecteurs propres linéairement indépendants, à partir desquels la base dans R 3 ne peut pas être composée. Par conséquent, on ne peut pas réduire la matrice A d’un opérateur linéaire à une forme diagonale.

Exemple 13. Étant donné une matrice .
1. Prouver que le vecteur est un vecteur propre de la matrice A. Trouver la valeur propre correspondant à ce vecteur propre.
2. Trouvez une base dans laquelle la matrice A a une forme diagonale.
Solution.
1. Si , alors est un vecteur propre

.
Le vecteur (1, 8, -1) est un vecteur propre. Valeur propre λ = -1.
La matrice a une forme diagonale dans une base constituée de vecteurs propres. L'un d'eux est célèbre. Trouvons le reste.
Nous recherchons les vecteurs propres du système :

Équation caractéristique : ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Trouvons le vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = -3 :

Le rang de la matrice de ce système est deux et égal au nombre inconnues, donc ce système n'a que la solution nulle x 1 = x 3 = 0. x 2 ici peut être autre chose que zéro, par exemple, x 2 = 1. Ainsi, le vecteur (0,1,0) est un vecteur propre , correspondant à λ = -3. Vérifions :
.
Si λ = 1, alors on obtient le système
Le rang de la matrice est deux. Nous biffons la dernière équation.
Soit x 3 une inconnue libre. Alors x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
En supposant x 3 = 1, nous avons (-3,-9,1) - un vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = 1. Vérifiez :

.
Puisque les valeurs propres sont réelles et distinctes, les vecteurs qui leur correspondent sont linéairement indépendants, ils peuvent donc être pris comme base dans R 3 . Ainsi, sur la base , , la matrice A a la forme :
.
Toutes les matrices d'un opérateur linéaire A:R n → R n ne peuvent pas être réduites à une forme diagonale, car pour certains opérateurs linéaires, il peut y avoir moins de n vecteurs propres indépendants linéaires. Cependant, si la matrice est symétrique, alors la racine de l'équation caractéristique de multiplicité m correspond exactement à m vecteurs linéairement indépendants.

Définition. Une matrice symétrique est une matrice carrée dans laquelle les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux, c'est-à-dire dans laquelle .
Remarques. 1. Toutes les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles.
2. Les vecteurs propres d'une matrice symétrique correspondant à des valeurs propres deux à deux différentes sont orthogonaux.
Comme l'une des nombreuses applications de l'appareil étudié, nous considérons le problème de la détermination du type d'une courbe du second ordre.

Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?

Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . En plus de la simplicité, cette méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site dans moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.

Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez rapidement connecter un script MathJax à votre site, qui bon moment charger automatiquement depuis un serveur distant (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :

L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est tout. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.

Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

Un vecteur propre d'une matrice carrée est celui qui, multiplié par une matrice donnée, donne un vecteur colinéaire. En mots simples, lors de la multiplication d'une matrice par un vecteur propre, ce dernier reste le même, mais multiplié par un certain nombre.

Définition

Un vecteur propre est un vecteur non nul V, qui, multiplié par une matrice carrée M, devient lui-même augmenté d'un certain nombre λ. En notation algébrique, cela ressemble à :

M × V = λ × V,

où λ est la valeur propre de la matrice M.

Regardons un exemple numérique. Pour faciliter l'enregistrement, les nombres de la matrice seront séparés par un point-virgule. Ayons une matrice :

• M = 0 ; 4 ;
• 6; 10.

Multiplions-le par un vecteur colonne :

• V = -2 ;

Lorsque nous multiplions une matrice par un vecteur colonne, nous obtenons également un vecteur colonne. En langage mathématique strict, la formule pour multiplier une matrice 2 × 2 par un vecteur colonne ressemblera à ceci :

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21 ;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 désigne l'élément de la matrice M situé dans la première ligne et la première colonne, et M22 désigne l'élément situé dans la deuxième ligne et la deuxième colonne. Pour notre matrice, ces éléments sont égaux à M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pour un vecteur colonne, ces valeurs sont égales à V11 = –2, V21 = 1. D'après cette formule, on obtient le résultat suivant du produit d'une matrice carrée par un vecteur :

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4 ;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Pour plus de commodité, écrivons le vecteur colonne dans une ligne. Nous avons donc multiplié la matrice carrée par le vecteur (-2 ; 1), ce qui a donné le vecteur (4 ; -2). Évidemment, il s’agit du même vecteur multiplié par λ = -2. Lambda désigne dans ce cas la valeur propre de la matrice.

Un vecteur propre d'une matrice est un vecteur colinéaire, c'est-à-dire un objet qui ne change pas de position dans l'espace lorsqu'il est multiplié par une matrice. Le concept de colinéarité en algèbre vectorielle est similaire au terme de parallélisme en géométrie. Dans une interprétation géométrique, les vecteurs colinéaires sont des segments dirigés parallèlement et de différentes longueurs. Depuis l’époque d’Euclide, nous savons qu’une droite est accompagnée d’un nombre infini de droites parallèles. Il est donc logique de supposer que chaque matrice possède un nombre infini de vecteurs propres.

D'après l'exemple précédent, il est clair que les vecteurs propres peuvent être (-8 ; 4), et (16 ; -8) et (32, -16). Ce sont tous des vecteurs colinéaires correspondant à la valeur propre λ = -2. En multipliant la matrice d'origine par ces vecteurs, nous nous retrouverons toujours avec un vecteur qui diffère de l'original de 2 fois. C'est pourquoi, lors de la résolution de problèmes de recherche d'un vecteur propre, il est nécessaire de trouver uniquement des objets vectoriels linéairement indépendants. Le plus souvent, pour une matrice n × n, il existe un nombre n de vecteurs propres. Notre calculatrice est conçue pour l'analyse de matrices carrées du second ordre, donc le résultat trouvera presque toujours deux vecteurs propres, sauf dans les cas où ils coïncident.

Dans l'exemple ci-dessus, nous connaissions à l'avance le vecteur propre de la matrice d'origine et déterminions clairement le nombre lambda. Cependant, en pratique, tout se passe dans l'autre sens : on trouve d'abord les valeurs propres et ensuite seulement les vecteurs propres.

Algorithme de solution

Regardons à nouveau la matrice originale M et essayons de trouver ses deux vecteurs propres. La matrice ressemble donc à :

• M = 0 ; 4 ;
• 6; 10.

Il faut d’abord déterminer la valeur propre λ, ce qui nécessite de calculer le déterminant de la matrice suivante :

• (0 - λ); 4 ;
• 6 ; (10 − λ).

Cette matrice est obtenue en soustrayant l'inconnue λ des éléments de la diagonale principale. Le déterminant est déterminé à l'aide de la formule standard :

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Puisque notre vecteur doit être différent de zéro, nous acceptons l’équation résultante comme linéairement dépendante et assimilons notre déterminant detA à zéro.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Ouvrons les parenthèses et obtenons l'équation caractéristique de la matrice :

λ 2 − 10λ − 24 = 0

C'est la norme équation quadratique, qui doit être résolu par le discriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

La racine du discriminant est sqrt(D) = 14, donc λ1 = -2, λ2 = 12. Maintenant, pour chaque valeur lambda, nous devons trouver le vecteur propre. Exprimons les coefficients du système pour λ = -2.

• M − λ × E = 2 ; 4 ;
• 6; 12.

Dans cette formule, E est la matrice identité. Sur la base de la matrice résultante, nous créons un système d'équations linéaires :

2x + 4 ans = 6x + 12 ans,

où x et y sont les éléments du vecteur propre.

Rassemblons tous les X à gauche et tous les Y à droite. Évidemment - 4x = 8 ans. Divisez l'expression par - 4 et obtenez x = –2y. Nous pouvons maintenant déterminer le premier vecteur propre de la matrice, en prenant n'importe quelle valeur des inconnues (rappelez-vous l'infinité de vecteurs propres linéairement dépendants). Prenons y = 1, alors x = –2. Par conséquent, le premier vecteur propre ressemble à V1 = (–2 ; 1). Revenez au début de l'article. C'est par cet objet vectoriel que nous avons multiplié la matrice pour démontrer le concept de vecteur propre.

Trouvons maintenant le vecteur propre pour λ = 12.

• M - λ × E = -12 ; 4
• 6; -2.

Créons le même système d'équations linéaires ;

• -12x + 4a = 6x − 2a
• -18x = -6 ans
• 3x = oui.

Prenons maintenant x = 1, donc y = 3. Ainsi, le deuxième vecteur propre ressemble à V2 = (1 ; 3). En multipliant la matrice d'origine par un vecteur donné, le résultat sera toujours le même vecteur multiplié par 12. C'est là que se termine l'algorithme de solution. Vous savez maintenant comment déterminer manuellement le vecteur propre d’une matrice.

• déterminant;
• tracer, c'est-à-dire la somme des éléments sur la diagonale principale ;
• rang, c'est-à-dire le nombre maximum de lignes/colonnes linéairement indépendantes.

Le programme fonctionne selon l'algorithme ci-dessus, réduisant autant que possible le processus de résolution. Il est important de souligner que dans le programme lambda est désigné par la lettre « c ». Regardons un exemple numérique.

Exemple de fonctionnement du programme

Essayons de déterminer les vecteurs propres de la matrice suivante :

• M = 5 ; 13 ;
• 4; 14.

Entrons ces valeurs dans les cellules de la calculatrice et obtenons la réponse sous la forme suivante :

• Rang matriciel : 2 ;
• Déterminant matriciel : 18 ;
• Trace matricielle : 19 ;
• Calcul du vecteur propre : c 2 − 19,00c + 18,00 (équation caractéristique) ;
• Calcul du vecteur propre : 18 (première valeur lambda) ;
• Calcul du vecteur propre : 1 (deuxième valeur lambda) ;
• Système d'équations pour le vecteur 1 : -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1 ;
• Système d'équations pour le vecteur 2 : 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1 ;
• Vecteur propre 1 : (1 ; 1 );
• Vecteur propre 2 : (-3,25 ; 1).

Ainsi, nous avons obtenu deux vecteurs propres linéairement indépendants.

Conclusion

L'algèbre linéaire et la géométrie analytique sont des matières standard pour tout étudiant de première année spécialité technique. Grande quantité les vecteurs et les matrices sont terrifiants, et dans des calculs aussi fastidieux, il est facile de commettre des erreurs. Notre programme permettra aux étudiants de vérifier leurs calculs ou de résoudre automatiquement le problème de recherche d'un vecteur propre. Il existe d'autres calculatrices d'algèbre linéaire dans notre catalogue ; utilisez-les dans vos études ou votre travail.