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• 22.09.2014

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Pyramide. Pyramide tronquée

Pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (Fig.15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales s’appelle tétraèdre .

Côte latérale d'une pyramide est le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur la pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . Section diagonale s'appelle une section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Surface latérale la pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. Superficie totale est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.

Théorèmes

1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.

2. Si dans une pyramide tous les bords latéraux ont des longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle circonscrit près de la base.

3. Si toutes les faces d'une pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle inscrit dans la base.

Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, la formule correcte est :

Où V- volume;

Socle S– la superficie de base ;

H– hauteur de la pyramide.

Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont correctes :

Où p– périmètre de base ;

ha un– l'apothème ;

H- hauteur;

S plein

Côté S

Socle S– la superficie de base ;

V– volume d'une pyramide régulière.

Pyramide tronquée appelée partie de la pyramide comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée régulière est la partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide.

Terrains pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales – les trapèzes. Hauteur d’une pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. Section diagonale est une section d'une pyramide tronquée par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Pour une pyramide tronquée, les formules suivantes sont valables :

(4)

Où S 1 , S 2 – zones des bases supérieures et inférieures ;

S plein– superficie totale ;

Côté S– surface latérale ;

H- hauteur;

V– volume d’une pyramide tronquée.

Pour une pyramide tronquée régulière, la formule est correcte :

Où p 1 , p 2 – périmètres des bases ;

ha un- apothème d'une pyramide tronquée régulière.

Exemple 1. Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).

La pyramide est régulière, ce qui signifie qu'à la base il y a un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. Angle dièdreà la base - c'est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire est l'angle un entre deux perpendiculaires : etc. Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple S.B.) est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de la base. Pour la côte S.B. cet angle sera l'angle SBD. Pour trouver la tangente, il faut connaître les jambes DONC Et O.B.. Laissez la longueur du segment BD est égal à 3 UN. Point À PROPOS segment BD est divisé en parties : et De on trouve DONC: De là on retrouve :

Répondre:

Exemple 2. Trouvez le volume d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm et que sa hauteur est de 4 cm.

Solution. Pour trouver le volume d’une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver l'aire des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases sont respectivement égaux à 2 cm et 8 cm. Cela signifie les aires des bases et en remplaçant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :

Répondre: 112cm3.

Exemple 3. Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases mesurent 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).

La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la base et la hauteur. Les bases sont données selon la condition, seule la hauteur reste inconnue. Nous la trouverons d'où UN 1 E perpendiculaire à un point UN 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 D– perpendiculaire à UN 1 par CA. UN 1 E= 2 cm, puisque c'est la hauteur de la pyramide. Pour trouver DE Faisons un dessin supplémentaire montrant la vue de dessus (Fig. 20). Point À PROPOS– projection des centres des bases supérieure et inférieure. depuis (voir fig. 20) et d'autre part D'ACCORD– rayon inscrit dans le cercle et OM– rayon inscrit dans un cercle :

MK = DE.

D'après le théorème de Pythagore de

Zone du visage latéral :

Répondre:

Exemple 4. A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases UN Et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouvez la surface totale de la pyramide.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCDégal à la somme des aires et de l'aire du trapèze ABCD.

Utilisons l'affirmation selon laquelle si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point À PROPOS– projection du sommet Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle CDD au plan de la base. Par le théorème sur l'aire de projection orthogonale silhouette plate on obtient :

De même, cela signifie Ainsi, le problème se réduisait à trouver l'aire du trapèze ABCD. Dessinons un trapèze ABCD séparément (Fig. 22). Point À PROPOS– le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.

Puisqu’un cercle peut s’inscrire dans un trapèze, alors ou Du théorème de Pythagore nous avons

est un polyèdre formé par la base de la pyramide et une section parallèle à celle-ci. On peut dire qu’une pyramide tronquée est une pyramide dont le sommet est coupé. Cette figurine possède de nombreuses propriétés uniques :

• Les faces latérales de la pyramide sont des trapèzes ;
• Les bords latéraux d'une pyramide tronquée régulière sont de même longueur et inclinés par rapport à la base du même angle ;
• Les bases sont des polygones similaires ;
• Dans une pyramide tronquée régulière, les faces sont des trapèzes isocèles identiques, dont l'aire est égale. Ils sont également inclinés par rapport à la base selon un angle.

La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est la somme des aires de ses côtés :

Puisque les côtés d'une pyramide tronquée sont des trapèzes, pour calculer les paramètres vous devrez utiliser la formule zone trapézoïdale. Pour une pyramide tronquée régulière, vous pouvez appliquer une formule différente pour calculer l'aire. Puisque tous ses côtés, faces et angles à la base sont égaux, il est possible d'appliquer les périmètres de la base et de l'apothème, et également de déduire l'aire à travers l'angle à la base.

Si, selon les conditions d'une pyramide tronquée régulière, l'apothème (hauteur du côté) et les longueurs des côtés de la base sont donnés, alors l'aire peut être calculée par le demi-produit de la somme des périmètres de les bases et l'apothème :

Regardons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide tronquée.
Étant donné une pyramide pentagonale régulière. Apothème je= 5 cm, la longueur du bord dans la grande base est un= 6 cm, et le bord est à la plus petite base b= 4 cm. Calculez l'aire de la pyramide tronquée.

Commençons par trouver les périmètres des bases. Puisqu’on nous donne une pyramide pentagonale, nous comprenons que les bases sont des pentagones. Cela signifie que les bases contiennent une figure avec cinq côtés identiques. Trouvons le périmètre de la plus grande base :

De la même manière on trouve le périmètre de la plus petite base :

Nous pouvons maintenant calculer l'aire d'une pyramide tronquée régulière. Remplacez les données dans la formule :

Ainsi, nous avons calculé l'aire d'une pyramide tronquée régulière à travers les périmètres et l'apothème.

Une autre façon de calculer la surface latérale d'une pyramide régulière est la formule à travers les angles à la base et l'aire de ces mêmes bases.

Regardons un exemple de calcul. N'oubliez pas que cette formule s'applique uniquement à une pyramide tronquée régulière.

Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Le bord de la base inférieure est a = 6 cm et le bord de la base supérieure est b = 4 cm. L'angle dièdre à la base est β = 60°. Trouvez l'aire latérale d'une pyramide tronquée régulière.

Tout d'abord, calculons l'aire des bases. Puisque la pyramide est régulière, tous les bords des bases sont égaux les uns aux autres. Considérant que la base est un quadrilatère, on comprend qu'il faudra calculer superficie de la place. C'est le produit de la largeur et de la longueur, mais au carré, ces valeurs sont les mêmes. Trouvons l'aire de la plus grande base :


Nous utilisons maintenant les valeurs trouvées pour calculer la surface latérale.

Connaissant quelques formules simples, nous avons facilement calculé l'aire du trapèze latéral d'une pyramide tronquée en utilisant différentes valeurs.

Dans cette leçon, nous examinerons une pyramide tronquée, nous familiariserons avec une pyramide tronquée régulière et étudierons leurs propriétés.

Rappelons le concept de pyramide n-gonale en prenant l'exemple d'une pyramide triangulaire. Le triangle ABC est donné. En dehors du plan du triangle, on prend un point P, relié aux sommets du triangle. La surface polyédrique résultante est appelée pyramide (Fig. 1).

Riz. 1. Pyramide triangulaire

Découpons la pyramide avec un plan parallèle au plan de la base de la pyramide. La figure obtenue entre ces plans est appelée pyramide tronquée (Fig. 2).

Riz. 2. Pyramide tronquée

Principaux éléments :

Base supérieure ;

Base inférieure ABC ;

Face latérale ;

Si PH est la hauteur de la pyramide d’origine, alors c’est la hauteur de la pyramide tronquée.

Les propriétés d'une pyramide tronquée découlent du mode de sa construction, à savoir du parallélisme des plans des bases :

Toutes les faces latérales d'une pyramide tronquée sont des trapèzes. Prenons par exemple le bord. Il a la propriété de plans parallèles (puisque les plans sont parallèles, ils coupent la face latérale de la pyramide AVR originale le long de lignes droites parallèles), mais en même temps ils ne sont pas parallèles. Bien évidemment, le quadrilatère est un trapèze, comme toutes les faces latérales de la pyramide tronquée.

Le rapport des bases est le même pour tous les trapèzes :

Nous avons plusieurs paires de triangles similaires avec le même coefficient de similarité. Par exemple, les triangles et RAB sont similaires en raison du parallélisme des plans et , coefficient de similarité :

Dans le même temps, les triangles et RVS sont similaires avec le coefficient de similarité :

Évidemment, les coefficients de similarité pour les trois paires de triangles similaires sont égaux, donc le rapport des bases est le même pour tous les trapèzes.

Une pyramide tronquée régulière est une pyramide tronquée obtenue en découpant une pyramide régulière avec un plan parallèle à la base (Fig. 3).

Riz. 3. Pyramide tronquée régulière

Définition.

Une pyramide est dite régulière si sa base est un n-gon régulier, et que son sommet est projeté au centre de ce n-gon (le centre du cercle inscrit et circonscrit).

Dans ce cas, il y a un carré à la base de la pyramide, et le sommet est projeté au point d'intersection de ses diagonales. La pyramide tronquée quadrangulaire régulière ABCD résultante a une base inférieure et une base supérieure. La hauteur de la pyramide originale est RO, celle de la pyramide tronquée est (Fig. 4).

Riz. 4. Pyramide tronquée quadrangulaire régulière

Définition.

La hauteur d'une pyramide tronquée est une perpendiculaire tracée depuis n'importe quel point d'une base jusqu'au plan de la deuxième base.

L'apothème de la pyramide originale est RM (M est le milieu de AB), l'apothème de la pyramide tronquée est (Fig. 4).

Définition.

L'apothème d'une pyramide tronquée est la hauteur de n'importe quelle face latérale.

Il est clair que tous les bords latéraux de la pyramide tronquée sont égaux les uns aux autres, c'est-à-dire que les faces latérales sont des trapèzes isocèles égaux.

La surface latérale d'une pyramide tronquée régulière est égale au produit de la moitié de la somme des périmètres des bases et de l'apothème.

Preuve (pour une pyramide tronquée quadrangulaire régulière - Fig. 4) :

Il faut donc prouver :

L'aire de la surface latérale sera ici constituée de la somme des aires des faces latérales - les trapèzes. Puisque les trapèzes sont les mêmes, on a :

L'aire d'un trapèze isocèle est le produit de la moitié de la somme des bases et de la hauteur de l'apothème ; Nous avons:

Q.E.D.

Pour une pyramide à n-gonaux :

Où n est le nombre de faces latérales de la pyramide, a et b sont les bases du trapèze et est l'apothème.

Côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière égal à 3 cm et 9 cm, hauteur - 4 cm Trouvez l'aire de la surface latérale.

Riz. 5. Illustration du problème 1

Solution. Illustrons la condition :

Demandé par : , ,

Par le point O, nous traçons une droite MN parallèle aux deux côtés de la base inférieure, et de même par ce point nous traçons une droite (Fig. 6). Puisque les carrés et les constructions aux bases de la pyramide tronquée sont parallèles, on obtient un trapèze égal aux faces latérales. De plus, son côté passera par les milieux des bords supérieur et inférieur des faces latérales et sera l'apothème de la pyramide tronquée.

Riz. 6. Constructions supplémentaires

Considérons le trapèze résultant (Fig. 6). Dans ce trapèze, la base supérieure, la base inférieure et la hauteur sont connues. Vous devez trouver le côté qui est l’apothème d’une pyramide tronquée donnée. Traçons perpendiculairement à MN. A partir du point on abaisse la perpendiculaire NQ. On constate que la plus grande base est divisée en segments de trois centimètres (). Considérons un triangle rectangle, les pattes qu'il contient sont connues, c'est un triangle égyptien, en utilisant le théorème de Pythagore on détermine la longueur de l'hypoténuse : 5 cm.

Il y a maintenant tous les éléments pour déterminer l'aire de la surface latérale de la pyramide :

La pyramide est coupée par un plan parallèle à la base. Montrer, en utilisant l'exemple d'une pyramide triangulaire, que les arêtes latérales et la hauteur de la pyramide sont divisées par ce plan en parties proportionnelles.

Preuve. Illustrons :

Riz. 7. Illustration du problème 2

La pyramide RABC est donnée. PO - hauteur de la pyramide. La pyramide est découpée par un plan, on obtient une pyramide tronquée, et. Point - le point d'intersection de la hauteur du RO avec le plan de la base de la pyramide tronquée. Il faut prouver :

La clé de la solution réside dans la propriété des plans parallèles. Deux plans parallèles coupent un troisième plan de sorte que les lignes d'intersection sont parallèles. D'ici : . Le parallélisme des droites correspondantes implique la présence de quatre paires de triangles semblables :

De la similitude des triangles découle la proportionnalité des côtés correspondants. Caractéristique importante est que les coefficients de similarité de ces triangles sont les mêmes :

Q.E.D.

Une pyramide triangulaire régulière RABC ayant une hauteur et un côté de la base est disséquée par un plan passant par le milieu de la hauteur PH parallèle à la base ABC. Trouvez la surface latérale de la pyramide tronquée résultante.

Solution. Illustrons :

Riz. 8. Illustration du problème 3

DIA - triangle régulier, H - centre triangle donné(centre des cercles inscrits et circonscrits). RM est l'apothème d'une pyramide donnée. - apothème d'une pyramide tronquée. Selon la propriété des plans parallèles (deux plans parallèles coupent n'importe quel troisième plan de manière à ce que les lignes d'intersection soient parallèles), nous avons plusieurs paires de triangles similaires avec un coefficient de similarité égal. En particulier, nous nous intéressons à la relation :

Trouvons NM. C'est le rayon d'un cercle inscrit dans la base ; on connaît la formule correspondante :

Maintenant, à partir du triangle rectangle PHM, en utilisant le théorème de Pythagore, nous trouvons RM - l'apothème de la pyramide originale :

A partir du rapport initial :

Nous connaissons désormais tous les éléments pour trouver l'aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée :

Ainsi, nous nous sommes familiarisés avec les concepts de pyramide tronquée et de pyramide tronquée régulière, avons donné des définitions de base, examiné les propriétés et prouvé le théorème sur l'aire de la surface latérale. La prochaine leçon portera sur la résolution de problèmes.

Références

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2. Sharygin I. F. Géométrie. 10e-11e année : manuel pour l'enseignement général établissements d'enseignement/ Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 2008. - 233 p. : ill.

1. Uztest.ru ().
2. FMclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

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