1. Étant donné les sommets d'un triangle abc.UN(–9; –2), DANS(3; 7), AVEC(1; –7).

1) longueur du côté AB;

2) équations des côtés AB Et CA et leurs coefficients angulaires ;

3) angle UN en radians ;

4) équation de hauteur AVECD et sa longueur ;

5) l'équation d'un cercle dont la hauteur AVECD il y a un diamètre ;

6) un système d'inégalités linéaires définissant un triangle abc.

Solution. Faisons un dessin.

1. Trouvons la longueur du côté AB. La distance entre deux points est déterminée par la formule

2. Trouvons les équations des côtésAB EtCA et leurs coefficients angulaires.

Écrivons l'équation d'une droite passant par deux points.

Ce équation générale direct. Résolvons-le par rapport à y, nous obtenons

, la pente de la droite est égale à

De même pour le côté AC nous avons.

la pente de la droite est égale à

3. Nous trouveronscoinUN en radians. C'est l'angle entre deux vecteurs
Et
. Notons les coordonnées des vecteurs. Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à

4. Nous trouveronséquation de hauteurAVEC D et sa longueur.
, donc leurs coefficients angulaires sont liés par la relation
.

Écrivons l'équation de la hauteur via le coefficient angulaire

Point
appartient à la droite CD, donc ses coordonnées satisfont à l'équation de la droite, on a donc

Enfin
ou

Nous calculons la longueur de la hauteur comme la distance du point C à la droite AB

5. Trouvons l'équation d'un cercle, pour quelle hauteurAVEC D il y a un diamètre.

On retrouve les coordonnées du point D comme point d'intersection de deux droites AB et CD dont les équations sont connues.

Trouvons les coordonnées du point O - le centre du cercle. Nous sommes au milieu de la section CD.

Le rayon du cercle est

Écrivons l'équation d'un cercle.

6) Définissons un triangleabc système d’inégalités linéaires.

Trouvons l'équation de la droite CB.

Le système d'inégalités linéaires ressemblera à ceci.

2. Décider ce systèmeéquations utilisant les formules de Cramer. Vérifiez la solution obtenue.

Solution. Calculons le déterminant de ce système :

.

Trouvons les déterminants
et résolvez le système :

Examen:

Répondre:

3. Écrivez le système d’équations sous forme matricielle et résolvez-le en utilisant

matrice inverse. Vérifiez la solution résultante

Solution.

Trouvons le déterminant de la matrice A

la matrice est non singulière et a un inverse. Trouvons tous les compléments algébriques et composons matrice syndicale.

Matrice inverse a la forme :

Faisons la multiplication
et trouver le vecteur de solutions.

Examen

.
Répondre:

Solution.

N = (2, 1). Tracez une ligne de niveau perpendiculaire au vecteur normal et déplacez-la dans la direction de la normale,

La fonction objectif atteint son minimum au point A, et son maximum au point B. On trouve les coordonnées de ces points en résolvant conjointement les équations des droites à l'intersection desquelles ils se trouvent.

5. Une agence de voyage n’en demande pas plus UN des bus de trois tonnes et pas plus V

des bus de cinq tonnes. Le prix de vente des bus de la première marque est de 20 000 USD, de la deuxième marque

40 000 dollars Une agence de voyages ne peut allouer plus de Avec c.u.

Combien de bus de chaque marque doivent être achetés séparément pour que leur total

La capacité de charge (totale) était maximale. Résolvez le problème graphiquement.

UN= 20 V= 18 Avec= 1000000

Solution. Composons modèle mathématique tâches . Notons par
- le nombre d'autobus de chaque tonnage qui seront achetés. L'objectif de l'approvisionnement est d'avoir la capacité de charge maximale des machines achetées, décrite par la fonction objectif

Les limites de la tâche sont déterminées par le nombre de bus achetés et leur coût.

Résolvons le problème graphiquement. . Nous construisons la région des solutions réalisables au problème et la normale aux lignes de niveau N = (3, 5). Tracez une ligne de niveau perpendiculaire au vecteur normal et déplacez-la dans la direction de la normale.

La fonction objectif atteint son maximum au point
, la fonction goal prend la valeur .

Solution. 1. Le domaine de définition de la fonction est la droite numérique entière.

2, La fonction n'est ni paire ni impaire.

3. Lorsque x=0, y=20

4. Nous examinons la fonction pour la monotonie et les extrema.

Trouvons les zéros de la dérivée

Points stationnaires d'une fonction.

Traçons les points stationnaires sur l'axe Ox et vérifions les signes de la dérivée sur chaque section de l'axe.

–point maximum
;
- point minimum

5. Nous examinons le graphique de la fonction de convexité et de concavité. Prenons la dérivée 2

Le point d'inflexion d'un graphe de fonctions.

À
- la fonction est convexe ; à
- la fonction est concave.

Le graphique de la fonction ressemble à

6. Trouvez le meilleur et plus petite valeur fonctionne sur l'intervalle [-1; 4]

Calculons la valeur de la fonction aux extrémités du segment
Au point minimum, la fonction prend les valeurs donc la plus petite valeur sur le segment [-1 ; 4] la fonction prend au point minimum, et le maximum à la limite gauche de l'intervalle.

7. Trouver intégrales indéfinies et vérifiez les résultats de l'intégration

différenciation.

Solution.

Examen.

Ici le produit des cosinus a été remplacé par une somme, selon des formules trigonométriques.

1. Équation des côtés AB et BC et leurs coefficients angulaires.
Le devoir donne les coordonnées des points par lesquels passent ces droites, on utilisera donc l'équation d'une droite passant par deux points donnés$$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1)(y_2-y_1)$$ remplacez et obtenez les équations
équation de la droite AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ la pente de la droite AB est égale à \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
équation de la droite BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ la pente de la droite BC est égale à \ (k_( BC) = -7\)

2. Angle B en radians avec une précision de deux chiffres
L'angle B est l'angle entre les lignes AB et BC, qui est calculé par la formule $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$substituer les valeurs des coefficients angulaires de ces lignes et obtenez $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \environ 0,79$$
3. Longueur du côté AB
La longueur du côté AB est calculée comme la distance entre les points et est égale à \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Équation de la hauteur du CD et de sa longueur.
Nous trouverons l'équation de la hauteur à l'aide de la formule d'une droite passant par ce point C(4;13) dans une direction donnée - perpendiculaire à la droite AB selon la formule \(y-y_0=k(x-x_0)\). Trouvons le coefficient angulaire de hauteur \(k_(CD)\) en utilisant la propriété des droites perpendiculaires \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) nous obtenons $$k_(CD)= -\frac( 1)(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ On substitue une ligne droite dans l'équation, on obtient $$ y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Nous chercherons la longueur de la hauteur comme la distance du point C(4;13) à la droite AB en utilisant la formule $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ au numérateur est la équation de la droite AB, réduisons-la à cette forme \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , substituons-y l'équation résultante et les coordonnées du point dans la formule $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. Équation de la médiane AE et des coordonnées du point K, l'intersection de cette médiane avec la hauteur CD.
Nous chercherons l'équation de la médiane comme l'équation d'une droite passant par deux points donnés A(-6;8) et E, où le point E est le milieu entre les points B et C et ses coordonnées se trouvent selon le la formule \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) remplace les coordonnées des points \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), alors l'équation de l'AE médiane sera la suivante $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Trouvons les coordonnées du point d'intersection de les hauteurs et le terre-plein, c'est-à-dire trouvons-les point commun Pour ce faire, nous créons une équation système $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)(3)x+ \frac(23 )(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin(cases)22y = -4x + 152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\begin(cases) y =7\ \ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Coordonnées du point d'intersection \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. Équation d'une droite qui passe par le point K parallèle au côté AB.
Si la droite est parallèle, alors leurs coefficients angulaires sont égaux, c'est-à-dire \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), les coordonnées du point \(K(-\frac(1)(2);7)\) sont également connues , c'est-à-dire . pour trouver l'équation d'une droite, on applique la formule de l'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée \(y - y_0=k(x-x_0)\), on remplace les données et on obtient $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Coordonnées du point M qui est symétrique au point A par rapport à la droite CD.
Le point M se trouve sur la ligne AB, car CD est la hauteur de ce côté. Trouvons le point d'intersection de CD et AB ; pour ce faire, résolvons le système d'équations $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Coordonnées du point D(-2;5). D'après la condition AD=DK, cette distance entre les points est trouvée par la formule de Pythagore \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), où AD et DK sont les hypoténuses de triangles rectangles égaux, et \(Δx =x_2-x_1\) et \(Δy=y_2-y_1\) sont les jambes de ces triangles, c'est-à-dire trouvons les jambes et trouvons les coordonnées du point M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), et \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), puis les coordonnées du point M sera égal à \(x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), et \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), nous avons constaté que les coordonnées du point \( M(2;2)\)

Problème 1. Les coordonnées des sommets du triangle ABC sont données : A(4 ; 3), B(16 ;-6), C(20 ; 16). Trouvez : 1) la longueur du côté AB ; 2) les équations des côtés AB et BC et leurs coefficients angulaires ; 3) angle B en radians avec une précision de deux chiffres ; 4) équation de la hauteur CD et de sa longueur ; 5) l'équation de la médiane AE et les coordonnées du point K de l'intersection de cette médiane avec la hauteur CD ; 6) l'équation d'une droite passant par le point K parallèle au côté AB ; 7) coordonnées du point M, situé symétriquement au point A par rapport à la droite CD.

Solution:

1. La distance d entre les points A(x 1 ,y 1) et B(x 2 ,y 2) est déterminée par la formule

En appliquant (1), on trouve la longueur du côté AB :

2. L'équation de la droite passant par les points A(x 1 ,y 1) et B(x 2 ,y 2) a la forme

(2)

En substituant les coordonnées des points A et B dans (2), on obtient l'équation du côté AB :

Après avoir résolu la dernière équation pour y, on retrouve l'équation du côté AB sous la forme d'une droite à coefficient angulaire :

où

En substituant les coordonnées des points B et C dans (2), on obtient l'équation de la droite BC :

Ou

3. On sait que la tangente de l'angle entre deux droites dont les coefficients angulaires sont respectivement égaux est calculée par la formule

(3)

L'angle B recherché est formé par les droites AB et BC dont on trouve les coefficients angulaires : En appliquant (3), on obtient

Ou content.

4. L'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée a la forme

(4)

La hauteur CD est perpendiculaire au côté AB. Pour trouver la pente de la hauteur CD, on utilise la condition de perpendiculaire des droites. Depuis lors En substituant dans (4) les coordonnées du point C et le coefficient angulaire de hauteur trouvé, on obtient

Pour trouver la longueur de la hauteur CD, nous déterminons d'abord les coordonnées du point D - le point d'intersection des droites AB et CD. Résoudre le système ensemble :

nous trouvons ceux. D(8;0).

En utilisant la formule (1), nous trouvons la longueur de la hauteur CD :

5. Pour trouver l'équation de la médiane AE, on détermine d'abord les coordonnées du point E, qui est le milieu du côté BC, en utilisant les formules pour diviser un segment en deux parties égales :

(5)

Ainsi,

En substituant les coordonnées des points A et E dans (2), on trouve l'équation de la médiane :

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection de la hauteur CD et de la médiane AE, on résout ensemble le système d'équations

Nous trouvons.

6. Puisque la droite souhaitée est parallèle au côté AB, son coefficient angulaire sera égal au coefficient angulaire de la droite AB. En substituant dans (4) les coordonnées du point K trouvé et le coefficient angulaire on obtient

3x + 4a – 49 = 0 (KF)

7. Puisque la droite AB est perpendiculaire à la droite CD, le point recherché M, situé symétriquement au point A par rapport à la droite CD, se trouve sur la droite AB. De plus, le point D est le milieu du segment AM. A l'aide des formules (5), on trouve les coordonnées du point M recherché :

Triangle ABC, la hauteur CD, la médiane AE, la droite KF et le point M sont tracés dans le système de coordonnées xOy sur la figure. 1.

Tâche 2. Créez une équation pour le lieu des points dont les distances à un point donné A(4; 0) et à une ligne donnée x=1 sont égales à 2.

Solution:

Dans le système de coordonnées xOy, nous construisons le point A(4;0) et la droite x = 1. Soit M(x;y) un point arbitraire de l'emplacement géométrique souhaité des points. Abaissons la perpendiculaire MB à la droite donnée x = 1 et déterminons les coordonnées du point B. Puisque le point B se trouve sur la droite donnée, son abscisse est égale à 1. L'ordonnée du point B est égale à l'ordonnée du point M . Par conséquent, B(1;y) (Fig. 2).

Selon les conditions du problème |MA| : |MV| = 2. Distances |MA| et |Mo| on trouve à partir de la formule (1) du problème 1 :

En mettant au carré les côtés gauche et droit, on obtient

ou

L'équation résultante est une hyperbole dont le demi-axe réel est a = 2, et son demi-axe imaginaire est

Définissons les foyers d'une hyperbole. Pour une hyperbole, l’égalité est satisfaite. – astuces hyperboles. Comme vous pouvez le voir, le point donné A(4;0) est le bon foyer de l'hyperbole.

Déterminons l'excentricité de l'hyperbole résultante :

Les équations des asymptotes de l'hyperbole ont la forme et . Par conséquent, ou et sont des asymptotes d’une hyperbole. Avant de construire une hyperbole, on construit ses asymptotes.

Problème 3. Créez une équation pour le lieu des points équidistants du point A(4; 3) et de la droite y = 1. Réduisez l'équation résultante à sa forme la plus simple.

Solution: Soit M(x; y) l'un des points du lieu géométrique des points souhaité. Déposons la perpendiculaire MB du point M à cette droite y = 1 (Fig. 3). Déterminons les coordonnées du point B. Évidemment, l'abscisse du point B est égale à l'abscisse du point M, et l'ordonnée du point B est égale à 1, c'est-à-dire B(x; 1). Selon les conditions du problème |MA|=|MV|. Par conséquent, pour tout point M(x;y) appartenant au lieu géométrique des points souhaité, l'égalité suivante est vraie :

L'équation résultante définit une parabole avec un sommet au point. Pour ramener l'équation de la parabole à sa forme la plus simple, posons et y + 2 = Y, alors l'équation de la parabole prend la forme :

Un exemple de résolution de certaines tâches de l'ouvrage standard « Géométrie analytique sur un plan »

Les sommets sont donnés,
,
triangle ABC. Trouver:

Équations de tous les côtés d’un triangle ;

Système d'inégalités linéaires définissant un triangle abc;

Equations d'altitude, médiane et bissectrice d'un triangle tiré du sommet UN;

Le point d'intersection des altitudes du triangle ;

Le point d'intersection des médianes du triangle ;

Longueur de la hauteur abaissée sur le côté AB;

Coin UN;

Faites un dessin.

Soit les sommets du triangle avoir pour coordonnées : UN (1; 4), DANS (5; 3), AVEC(3 ; 6). Faisons un dessin tout de suite :

1. Pour écrire les équations de tous les côtés d'un triangle, on utilise l'équation d'une droite passant par deux points donnés de coordonnées ( x 0 , oui 0 ) Et ( x 1 , oui 1 ):

=

Ainsi, en remplaçant au lieu de ( x 0 , oui 0 ) coordonnées des points UN, et au lieu de ( x 1 , oui 1 ) coordonnées des points DANS, on obtient l'équation de la droite AB:

L'équation résultante sera l'équation de la droite AB, écrit en forme générale. De même, on retrouve l'équation de la droite CA:

Et aussi l'équation de la droite Soleil:

2. Notez que l'ensemble des points du triangle abc représente l'intersection de trois demi-plans, et chaque demi-plan peut être défini à l'aide d'une inégalité linéaire. Si nous prenons l’équation de chaque côté ∆ abc, Par exemple AB, alors les inégalités

Et

définir des points situés le long différents côtés de la ligne droite AB. Nous devons choisir le demi-plan où se trouve le point C. Remplaçons ses coordonnées dans les deux inégalités :

La deuxième inégalité sera correcte, ce qui signifie que les points requis sont déterminés par l'inégalité

.

On fait de même avec la droite BC, son équation
. Nous utilisons le point A (1, 1) comme point de test :

Cela signifie que l’inégalité recherchée a la forme :

.

Si l’on vérifie la droite AC (point test B), on obtient :

Cela signifie que l'inégalité requise aura la forme

On obtient finalement un système d'inégalités :

Les signes « ≤ », « ≥ » signifient que les points situés sur les côtés du triangle sont également inclus dans l'ensemble des points qui composent le triangle abc.

3. a) Afin de trouver l’équation de la hauteur tombée du sommet UN sur le côté Soleil, considérons l'équation du côté Soleil:
.
Vecteur avec coordonnées Soleil perpendiculaire au côté UN et donc parallèle à la hauteur. Écrivons l'équation d'une droite passant par un point
:

parallèle au vecteur UN C'est l'équation de la hauteur omise de t. Soleil.

sur le côté Soleil b) Trouver les coordonnées du milieu du côté

selon les formules :
Ici DANS– ce sont les coordonnées de t.
, UN AVEC– coordonne t.

. Remplaçons et obtenons : UN La droite passant par ce point et le point

est la médiane requise :
c) Nous chercherons l'équation de la bissectrice basée sur le fait que dans un triangle isocèle la hauteur, la médiane et la bissectrice descendant d'un sommet à la base du triangle sont égales. Trouvons deux vecteurs
Et

et leurs longueurs :
Alors le vecteur
a la même direction que le vecteur
, et sa longueur
De même, le vecteur unitaire
coïncide en direction avec le vecteur

Somme vectorielle UN est un vecteur dont la direction coïncide avec la bissectrice de l'angle

. Ainsi, l’équation de la bissectrice recherchée peut s’écrire : DANS 4) Nous avons déjà construit l'équation pour l'une des hauteurs. Construisons une équation pour une autre hauteur, par exemple à partir du sommet CA. Côté
donné par l'équation
Donc le vecteur CA perpendiculaire DANS, et donc parallèle à la hauteur souhaitée. Alors l'équation de la droite passant par le sommet
dans la direction du vecteur CA(c'est-à-dire perpendiculaire

), a la forme :

On sait que les altitudes d’un triangle se coupent en un point. En particulier, ce point est l'intersection des hauteurs trouvées, c'est-à-dire résoudre le système d'équations :

- les coordonnées de ce point. AB 5. Milieu
. Écrivons l'équation de la médiane à côté AB. Cette droite passe par des points de coordonnées (3, 2) et (3, 6), ce qui signifie que son équation a la forme :

Notez qu'un zéro au dénominateur d'une fraction dans l'équation d'une droite signifie que cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées.

Pour trouver le point d'intersection des médianes, il suffit de résoudre le système d'équations :

Le point d'intersection des médianes d'un triangle a pour coordonnées
.

6. Longueur de hauteur abaissée sur le côté AB,égale à la distance du point AVECà une ligne droite AB avec équation
et se trouve par la formule :

7. Cosinus de l'angle UN peut être trouvé en utilisant la formule du cosinus de l'angle entre les vecteurs c) Nous chercherons l'équation de la bissectrice basée sur le fait que dans un triangle isocèle la hauteur, la médiane et la bissectrice descendant d'un sommet à la base du triangle sont égales. Trouvons deux vecteurs , qui est égal au rapport du produit scalaire de ces vecteurs au produit de leurs longueurs :

.