Produit scalaire des vecteurs

Nous continuons à traiter avec des vecteurs. A la première leçon Vecteurs pour les nuls Nous avons examiné le concept de vecteur, les actions avec des vecteurs, les coordonnées vectorielles et les problèmes les plus simples avec les vecteurs. Si vous êtes arrivé sur cette page pour la première fois à partir d'un moteur de recherche, je vous recommande fortement de lire l'article d'introduction ci-dessus, car pour maîtriser le matériel, vous devez vous familiariser avec les termes et les notations que j'utilise, avoir des connaissances de base sur les vecteurs et être capable de résoudre des problèmes fondamentaux. Cette leçon est une suite logique du sujet, et j'y analyserai en détail les tâches typiques qui utilisent le produit scalaire des vecteurs. C'est une activité TRÈS IMPORTANTE.. Essayez de ne pas sauter les exemples ; ils sont accompagnés d'un bonus utile : la pratique vous aidera à consolider le matériel que vous avez couvert et à mieux résoudre les problèmes courants de géométrie analytique.

Addition de vecteurs, multiplication d'un vecteur par un nombre.... Il serait naïf de penser que les mathématiciens n’ont pas trouvé autre chose. En plus des actions déjà évoquées, il existe un certain nombre d'autres opérations avec des vecteurs, à savoir : produit scalaire des vecteurs, produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs. Le produit scalaire des vecteurs nous est familier depuis l'école ; les deux autres produits appartiennent traditionnellement au cours de mathématiques supérieures. Les sujets sont simples, l'algorithme permettant de résoudre de nombreux problèmes est simple et compréhensible. La seule chose. Il existe une quantité décente d'informations, il n'est donc pas souhaitable d'essayer de tout maîtriser et de TOUT résoudre à la fois. Cela est particulièrement vrai pour les nuls ; croyez-moi, l'auteur ne veut absolument pas se sentir comme Chikatilo en mathématiques. Eh bien, pas des mathématiques, bien sûr, non plus =) Les étudiants les plus préparés peuvent utiliser le matériel de manière sélective, dans un certain sens, "obtenir" les connaissances manquantes, pour vous je serai un comte Dracula inoffensif =)

Ouvrons enfin la porte et observons avec enthousiasme ce qui se passe lorsque deux vecteurs se rencontrent...

Définition du produit scalaire des vecteurs.
Propriétés du produit scalaire. Tâches typiques

Le concept de produit scalaire

D'abord à propos angle entre les vecteurs. Je pense que tout le monde comprend intuitivement quel est l'angle entre les vecteurs, mais juste au cas où, un peu plus de détails. Considérons les vecteurs libres non nuls et . Si vous tracez ces vecteurs à partir d'un point arbitraire, vous obtiendrez une image que beaucoup ont déjà imaginée mentalement :

J'avoue, ici j'ai décrit la situation uniquement au niveau de la compréhension. Si vous avez besoin d'une définition stricte de l'angle entre vecteurs, veuillez vous référer au manuel pour les problèmes pratiques, en principe, cela ne nous est d'aucune utilité ; Aussi ICI ET ICI, j'ignorerai les vecteurs nuls par endroits en raison de leur faible signification pratique. J'ai fait une réservation spécifiquement pour les visiteurs avancés du site qui pourraient me reprocher le caractère incomplet théorique de certaines déclarations ultérieures.

peut prendre des valeurs de 0 à 180 degrés (0 en radians), inclus. Analytiquement ce fait s'écrit sous la forme d'une double inégalité : ou (en radians).

Dans la littérature, le symbole de l'angle est souvent ignoré et simplement écrit.

Définition: Le produit scalaire de deux vecteurs est un NOMBRE égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare :

Or, c'est une définition assez stricte.

Nous nous concentrons sur les informations essentielles :

Désignation: le produit scalaire est noté ou simplement.

Le résultat de l'opération est un NOMBRE: Le vecteur est multiplié par le vecteur et le résultat est un nombre. En effet, si les longueurs des vecteurs sont des nombres, le cosinus d'un angle est un nombre, alors leur produit sera également un nombre.

Juste quelques exemples d’échauffement :

Exemple 1

Solution: Nous utilisons la formule . Dans ce cas:

Répondre:

Les valeurs du cosinus peuvent être trouvées dans table trigonométrique. Je recommande de l'imprimer - il sera nécessaire dans presque toutes les sections de la tour et sera nécessaire plusieurs fois.

D'un point de vue purement mathématique, le produit scalaire est sans dimension, c'est-à-dire que le résultat, dans ce cas, n'est qu'un nombre et c'est tout. Du point de vue des problèmes de physique, un produit scalaire a toujours une certaine signification physique, c'est-à-dire qu'après le résultat, l'une ou l'autre unité physique doit être indiquée. Un exemple canonique de calcul du travail d'une force peut être trouvé dans n'importe quel manuel (la formule est exactement un produit scalaire). Le travail d'une force se mesure en Joules, la réponse sera donc écrite de manière assez précise, par exemple .

Exemple 2

Trouver si , et l'angle entre les vecteurs est égal à .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, la réponse se trouve à la fin de la leçon.

Angle entre les vecteurs et la valeur du produit scalaire

Dans l’exemple 1, le produit scalaire s’est avéré positif et dans l’exemple 2, il s’est avéré négatif. Voyons de quoi dépend le signe du produit scalaire. Regardons notre formule : . Les longueurs des vecteurs non nuls sont toujours positives : , le signe ne peut donc dépendre que de la valeur du cosinus.

Note: Pour mieux comprendre les informations ci-dessous, il est préférable d'étudier le graphique cosinus dans le manuel Graphiques de fonctions et propriétés. Voyez comment le cosinus se comporte sur le segment.

Comme déjà noté, l'angle entre les vecteurs peut varier dans , et les cas suivants sont possibles :

1) Si coin entre vecteurs épicé: (de 0 à 90 degrés), puis , Et le produit scalaire sera positif co-dirigé, alors l'angle entre eux est considéré comme nul et le produit scalaire sera également positif. Puisque , la formule se simplifie : .

2) Si coin entre vecteurs émoussé: (de 90 à 180 degrés), puis , et, en conséquence, le produit scalaire est négatif: . Cas particulier : si les vecteurs directions opposées, alors l'angle entre eux est considéré étendu: (180 degrés). Le produit scalaire est également négatif puisque

Les affirmations inverses sont également vraies :

1) Si , alors l’angle entre ces vecteurs est aigu. Alternativement, les vecteurs sont codirectionnels.

2) Si , alors l'angle entre ces vecteurs est obtus. Alternativement, les vecteurs sont dans des directions opposées.

Mais le troisième cas est particulièrement intéressant :

3) Si coin entre vecteurs direct: (90 degrés), alors le produit scalaire est nul: . L’inverse est également vrai : si , alors . La déclaration peut être formulée de manière compacte comme suit : Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. Notation mathématique courte :

! Note : Répétons bases de la logique mathématique: Une icône de conséquence logique recto-verso se lit généralement "si et seulement si", "si et seulement si". Comme vous pouvez le voir, les flèches sont dirigées dans les deux sens - "de ceci suit ceci, et vice versa - de cela suit ceci". Au fait, quelle est la différence avec l'icône de suivi à sens unique ? L'icône indique seulement ça, que « de ceci découle ceci », et ce n'est pas un fait que le contraire soit vrai. Par exemple : , mais tous les animaux ne sont pas des panthères, donc dans ce cas vous ne pouvez pas utiliser l'icône. En même temps, au lieu de l'icône Peut utilisez l'icône unilatérale. Par exemple, en résolvant le problème, nous avons découvert que nous avions conclu que les vecteurs sont orthogonaux : - une telle entrée sera correcte, et encore plus appropriée que .

Le troisième cas a plus signification pratique , puisqu'il permet de vérifier si les vecteurs sont orthogonaux ou non. Nous résoudrons ce problème dans la deuxième partie de la leçon.

Propriétés du produit scalaire

Revenons à la situation où deux vecteurs co-dirigé. Dans ce cas, l'angle qui les sépare est nul, , et la formule du produit scalaire prend la forme : .

Que se passe-t-il si un vecteur est multiplié par lui-même ? Il est clair que le vecteur est aligné sur lui-même, nous utilisons donc la formule simplifiée ci-dessus :

Le numéro est appelé carré scalaire vecteur, et sont notés .

Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de la longueur du vecteur donné :

De cette égalité on peut obtenir une formule pour calculer la longueur du vecteur :

Jusqu'à présent, cela ne semble pas clair, mais les objectifs de la leçon remettront chaque chose à sa place. Pour résoudre les problèmes dont nous avons également besoin propriétés du produit scalaire.

Pour les vecteurs arbitraires et n'importe quel nombre, les propriétés suivantes sont vraies :

1) – commutatif ou commutatif loi des produits scalaires.

2) – distribution ou distributif loi des produits scalaires. Simplement, vous pouvez ouvrir les supports.

3) – associatif ou associatif loi des produits scalaires. La constante peut être dérivée du produit scalaire.

Souvent, toutes sortes de propriétés (qui doivent également être prouvées !) sont perçues par les étudiants comme des déchets inutiles, qu'il suffit de mémoriser et d'oublier en toute sécurité immédiatement après l'examen. Il semblerait que ce qui est important ici, tout le monde sait déjà dès la première année que la réorganisation des facteurs ne change pas le produit : . Je dois vous prévenir qu’en mathématiques supérieures, il est facile de gâcher les choses avec une telle approche. Ainsi, par exemple, la propriété commutative n’est pas vraie pour matrices algébriques. Ce n'est pas vrai non plus pour produit vectoriel de vecteurs. Par conséquent, il est au minimum préférable d'approfondir toutes les propriétés que vous rencontrez dans un cours de mathématiques supérieures afin de comprendre ce qui peut être fait et ce qui ne peut pas être fait.

Exemple 3

.

Solution: Tout d'abord, clarifions la situation avec le vecteur. Qu'est-ce que c'est d'ailleurs ? La somme des vecteurs est un vecteur bien défini, noté . Une interprétation géométrique des actions avec des vecteurs peut être trouvée dans l'article Vecteurs pour les nuls. Le même persil avec un vecteur est la somme des vecteurs et .

Ainsi, selon la condition, il faut trouver le produit scalaire. En théorie, vous devez appliquer la formule de travail , mais le problème est que nous ne connaissons pas les longueurs des vecteurs ni l'angle qui les sépare. Mais la condition donne des paramètres similaires pour les vecteurs, nous allons donc emprunter un chemin différent :

(1) Remplacez les expressions des vecteurs.

(2) On ouvre les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes ; un vulgaire virelangue se trouve dans l'article ; Nombres complexes ou Intégration d'une fonction fractionnaire-rationnelle. Je ne me répéterai pas =) D'ailleurs, la propriété distributive du produit scalaire nous permet d'ouvrir les parenthèses. Nous avons le droit.

(3) Dans le premier et le dernier termes, nous écrivons de manière compacte les carrés scalaires des vecteurs : . Dans le deuxième terme on utilise la commutabilité du produit scalaire : .

(4) Nous présentons des termes similaires : .

(5) Dans le premier terme, nous utilisons la formule du carré scalaire, mentionnée il n'y a pas longtemps. Au dernier terme, donc, la même chose fonctionne : . On développe le deuxième terme selon la formule standard .

(6) Remplacer ces conditions , et effectuez ATTENTIVEMENT les calculs finaux.

Répondre:

Valeur négative Le produit scalaire indique que l’angle entre les vecteurs est obtus.

Le problème est typique, voici un exemple pour le résoudre vous-même :

Exemple 4

Trouver le produit scalaire des vecteurs et si l'on sait que .

Maintenant, une autre tâche courante, juste pour la nouvelle formule pour la longueur d'un vecteur. La notation ici se chevauchera un peu, donc pour plus de clarté, je vais la réécrire avec une lettre différente :

Exemple 5

Trouver la longueur du vecteur si .

Solution sera le suivant :

(1) Nous fournissons l’expression du vecteur .

(2) Nous utilisons la formule de longueur : , et l'expression entière ve agit comme le vecteur « ve ».

(3) Nous utilisons la formule scolaire pour le carré de la somme. Remarquez comment cela fonctionne ici d’une manière curieuse : – en fait, c’est le carré de la différence, et, en fait, c’est comme ça. Ceux qui le souhaitent peuvent réarranger les vecteurs : - il se passe la même chose, jusqu'au réarrangement des termes.

(4) Ce qui suit est déjà familier des deux problèmes précédents.

Répondre:

Puisque nous parlons de longueur, n'oubliez pas d'indiquer la dimension - « unités ».

Exemple 6

Trouver la longueur du vecteur si .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Nous continuons à extraire des éléments utiles du produit scalaire. Regardons à nouveau notre formule . En utilisant la règle de proportion, on remet les longueurs des vecteurs au dénominateur du côté gauche :

Échangeons les pièces :

Quel est le sens de cette formule ? Si les longueurs de deux vecteurs et leur produit scalaire sont connus, alors on peut calculer le cosinus de l'angle entre ces vecteurs et, par conséquent, l'angle lui-même.

Un produit scalaire est-il un nombre ? Nombre. Les longueurs vectorielles sont-elles des nombres ? Nombres. Cela signifie qu’une fraction est aussi un nombre. Et si le cosinus de l'angle est connu : , puis en utilisant la fonction inverse, il est facile de trouver l'angle lui-même : .

Exemple 7

Trouvez l'angle entre les vecteurs et s'il est connu.

Solution: Nous utilisons la formule :

Au stade final des calculs, une technique technique a été utilisée - éliminant l'irrationalité du dénominateur. Afin d'éliminer l'irrationalité, j'ai multiplié le numérateur et le dénominateur par .

Alors si , Que:

Les valeurs des fonctions trigonométriques inverses peuvent être trouvées par table trigonométrique. Bien que cela arrive rarement. Dans les problèmes de géométrie analytique, certains ours maladroits aiment beaucoup plus souvent, et la valeur de l'angle doit être trouvée approximativement à l'aide d'une calculatrice. En fait, nous verrons une telle image plus d’une fois.

Répondre:

Encore une fois, n'oubliez pas d'indiquer les dimensions - radians et degrés. Personnellement, afin de bien évidemment « résoudre toutes les questions », je préfère indiquer les deux (à moins que la condition, bien entendu, n'exige de présenter la réponse uniquement en radians ou uniquement en degrés).

Vous pouvez désormais faire face de manière indépendante à une tâche plus complexe :

Exemple 7*

Donnés sont les longueurs des vecteurs et l’angle entre eux. Trouvez l'angle entre les vecteurs , .

La tâche n’est pas tant difficile qu’elle comporte plusieurs étapes.
Regardons l'algorithme de solution :

1) Selon la condition, vous devez trouver l'angle entre les vecteurs et , vous devez donc utiliser la formule .

2) Trouver le produit scalaire (voir exemples n°3, 4).

3) Trouver la longueur du vecteur et la longueur du vecteur (voir exemples n°5, 6).

4) La fin de la solution coïncide avec l'exemple n°7 - nous connaissons le nombre , ce qui signifie qu'il est facile de trouver l'angle lui-même :

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

La deuxième section de la leçon est consacrée au même produit scalaire. Coordonnées. Ce sera encore plus simple que dans la première partie.

Produit scalaire de vecteurs,
donné par des coordonnées dans une base orthonormée

Répondre:

Inutile de dire que gérer les coordonnées est bien plus agréable.

Exemple 14

Trouver le produit scalaire des vecteurs et si

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, vous pouvez utiliser l'associativité de l'opération, c'est-à-dire ne pas compter , mais prendre immédiatement le triple en dehors du produit scalaire et le multiplier par celui-ci en dernier. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

En fin de paragraphe, un exemple provocateur sur le calcul de la longueur d'un vecteur :

Exemple 15

Trouver les longueurs des vecteurs , Si

Solution: La méthode de la section précédente se suggère à nouveau : mais il existe une autre manière :

Trouvons le vecteur :

Et sa longueur selon la formule triviale :

Le produit scalaire n’est pas du tout pertinent ici !

Ce n'est pas non plus utile pour calculer la longueur d'un vecteur :
Arrêt. Ne devrions-nous pas profiter de la propriété évidente de la longueur du vecteur ? Que pouvez-vous dire de la longueur du vecteur ? Ce vecteur est 5 fois plus long que le vecteur. La direction est opposée, mais cela n'a pas d'importance, car nous parlons de longueur. Évidemment, la longueur du vecteur est égale au produit module nombres par longueur de vecteur :
– le signe du module « mange » l’éventuel moins du nombre.

Ainsi:

Répondre:

Formule pour le cosinus de l'angle entre les vecteurs spécifiés par les coordonnées

Maintenant nous avons informations complètes, de sorte que la formule précédemment dérivée pour le cosinus de l'angle entre les vecteurs exprimer par des coordonnées vectorielles :

Cosinus de l'angle entre les vecteurs plans et , spécifié dans une base orthonormée, exprimé par la formule:
.

Cosinus de l'angle entre les vecteurs spatiaux, spécifié dans une base orthonormée, exprimé par la formule:

Exemple 16

Étant donné trois sommets d'un triangle. Trouver (angle du sommet).

Solution: Selon les conditions, le dessin n'est pas obligatoire, mais quand même :

L'angle requis est marqué par un arc vert. Rappelons immédiatement la désignation scolaire d'un angle : – une attention particulière à moyenne lettre - c'est le sommet de l'angle dont nous avons besoin. Par souci de concision, vous pouvez également écrire simplement .

D'après le dessin, il est bien évident que l'angle du triangle coïncide avec l'angle entre les vecteurs et, en d'autres termes : .

Il est conseillé d'apprendre à effectuer l'analyse mentalement.

Trouvons les vecteurs :

Calculons le produit scalaire :

Et les longueurs des vecteurs :

Cosinus de l'angle :

C'est exactement l'ordre d'accomplissement de la tâche que je recommande aux nuls. Les lecteurs plus avancés peuvent écrire les calculs « sur une seule ligne » :

Voici un exemple de « mauvaise » valeur de cosinus. La valeur résultante n'est pas définitive, il ne sert donc à rien de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur.

Trouvons l'angle lui-même :

Si vous regardez le dessin, le résultat est tout à fait plausible. Pour vérifier, l'angle peut également être mesuré avec un rapporteur. N'endommagez pas le couvercle du moniteur =)

Répondre:

Dans la réponse, nous n'oublions pas que interrogé sur l'angle d'un triangle(et non sur l'angle entre les vecteurs), n'oubliez pas d'indiquer la réponse exacte : et la valeur approximative de l'angle : , trouvé à l'aide d'une calculatrice.

Ceux qui ont apprécié le processus peuvent calculer les angles et vérifier la validité de l'égalité canonique

Exemple 17

Un triangle est défini dans l'espace par les coordonnées de ses sommets. Trouvez l'angle entre les côtés et

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon

Une courte section finale sera consacrée aux projections, qui font également intervenir un produit scalaire :

Projection d'un vecteur sur un vecteur. Projection d'un vecteur sur des axes de coordonnées.
Cosinus directeurs d'un vecteur

Considérons les vecteurs et :

Projetons le vecteur sur le vecteur ; pour ce faire, nous omettons le début et la fin du vecteur perpendiculaires au vecteur (lignes pointillées vertes). Imaginez que des rayons de lumière tombent perpendiculairement sur le vecteur. Ensuite, le segment (ligne rouge) sera « l’ombre » du vecteur. Dans ce cas, la projection du vecteur sur le vecteur est la LONGUEUR du segment. Autrement dit, LA PROJECTION EST UN NOMBRE.

Ce NOMBRE est noté ainsi : , « grand vecteur » désigne le vecteur LEQUEL projet, « petit vecteur d'indice » désigne le vecteur SUR qui est projeté.

L'entrée elle-même se lit comme ceci : « projection du vecteur « a » sur le vecteur « être ».

Que se passe-t-il si le vecteur « être » est « trop court » ? Nous traçons une ligne droite contenant le vecteur « être ». Et le vecteur « a » sera déjà projeté à la direction du vecteur "être", simplement - à la droite contenant le vecteur « être ». La même chose se produira si le vecteur « a » est reporté dans le trentième royaume - il sera toujours facilement projeté sur la droite contenant le vecteur « être ».

Si l'angle entre vecteurs épicé(comme sur la photo), alors

Si les vecteurs orthogonal, alors (la projection est un point dont les dimensions sont considérées comme nulles).

Si l'angle entre vecteurs émoussé(sur la figure, réorganisez mentalement la flèche vectorielle), puis (la même longueur, mais prise avec un signe moins).

Traçons ces vecteurs à partir d'un point :

Évidemment, lorsqu’un vecteur se déplace, sa projection ne change pas

Angle entre deux vecteurs , :

Si l'angle entre deux vecteurs est aigu, alors leur produit scalaire est positif ; si l'angle entre les vecteurs est obtus, alors le produit scalaire de ces vecteurs est négatif. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux.

Exercice. Trouver l'angle entre les vecteurs et

Solution. Cosinus de l'angle souhaité

16. Calcul de l'angle entre les droites, la droite et le plan

Angle entre une droite et un plan, coupant cette ligne et non perpendiculaire à elle, est l'angle entre la ligne et sa projection sur ce plan.

Déterminer l'angle entre une droite et un plan permet de conclure que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre deux droites sécantes : la droite elle-même et sa projection sur le plan. L’angle entre une droite et un plan est donc un angle aigu.

L'angle entre une droite perpendiculaire et un plan est considéré comme égal à , et l'angle entre une droite parallèle et un plan est soit non déterminé du tout, soit considéré comme égal à .

§ 69. Calcul de l'angle entre droites.

Le problème du calcul de l'angle entre deux droites dans l'espace est résolu de la même manière que dans un plan (§ 32). Notons φ la grandeur de l'angle entre les droites je 1 et je 2, et via ψ - la grandeur de l'angle entre les vecteurs directeurs UN Et b ces lignes droites.

Alors si

ψ 90° (Fig. 206.6), alors φ = 180° - ψ. Évidemment, dans les deux cas, l’égalité cos φ = |cos ψ| est vraie. Par formule (1) § 20 on a

ainsi,

Soit les droites données par leurs équations canoniques

Ensuite, l'angle φ entre les lignes est déterminé à l'aide de la formule

Si l'une des lignes (ou les deux) est donnée par des équations non canoniques, alors pour calculer l'angle, vous devez trouver les coordonnées des vecteurs directeurs de ces lignes, puis utiliser la formule (1).

17. Lignes parallèles, Théorèmes sur les lignes parallèles

Définition. Deux droites dans un plan s'appellent parallèle, s'ils n'ont pas de points communs.

Deux lignes dans un espace tridimensionnel sont appelées parallèle, s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

L'angle entre deux vecteurs.

D'après la définition du produit scalaire :

.

Condition d'orthogonalité de deux vecteurs:

Condition de colinéarité de deux vecteurs :

.

Découle de la définition 5 - . En effet, de la définition du produit d'un vecteur et d'un nombre, il découle. Par conséquent, en nous basant sur la règle d’égalité des vecteurs, nous écrivons , , , ce qui implique . Mais le vecteur résultant de la multiplication du vecteur par le nombre est colinéaire au vecteur.

Projection de vecteur sur vecteur :

.

Exemple 4. Compte tenu des points , , , .

Trouvez le produit scalaire.

Solution. on trouve en utilisant la formule du produit scalaire des vecteurs spécifiés par leurs coordonnées. Depuis

, ,

Exemple 5. Compte tenu des points , , , .

Trouvez la projection.

Solution. Depuis

, ,

Sur la base de la formule de projection, nous avons

.

Exemple 6. Compte tenu des points , , , .

Trouvez l'angle entre les vecteurs et .

Solution. Notez que les vecteurs

, ,

ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles :

.

Ces vecteurs ne sont pas non plus perpendiculaires, puisque leur produit scalaire est .

Trouvons

Coin on trouve à partir de la formule :

.

Exemple 7. Déterminer à quels vecteurs et colinéaire.

Solution. Dans le cas de colinéarité, les coordonnées correspondantes des vecteurs et doit être proportionné, c'est-à-dire :

.

D'où et.

Exemple 8. Déterminer à quelle valeur du vecteur Et perpendiculaire.

Solution. Vecteur et sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul. De cette condition on obtient : . Donc, .

Exemple 9. Trouver , Si , , .

Solution. Grâce aux propriétés du produit scalaire, on a :

Exemple 10. Trouver l'angle entre les vecteurs et , où et - vecteurs unitaires et l'angle entre les vecteurs et est égal à 120°.

Solution. Nous avons: , ,

Finalement nous avons : .

5.b. Oeuvre vectorielle.

Définition 21.Oeuvre vectorielle vecteur par vecteur est appelé vecteur, ou, défini par les trois conditions suivantes :

1) Le module du vecteur est égal à , où est l'angle entre les vecteurs et , c'est-à-dire .

Il s'ensuit que le module du produit vectoriel est numériquement égal à l'aire d'un parallélogramme construit sur les vecteurs et les deux côtés.

2) Le vecteur est perpendiculaire à chacun des vecteurs et ( ; ), c'est-à-dire perpendiculaire au plan d'un parallélogramme construit sur les vecteurs et .

3) Le vecteur est dirigé de telle manière que, vu de son extrémité, le tour le plus court d'un vecteur à l'autre se ferait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (les vecteurs , , forment un triplet droitier).

Comment calculer les angles entre vecteurs ?

Lors de l'étude de la géométrie, de nombreuses questions se posent au sujet des vecteurs. L'élève éprouve des difficultés particulières lorsqu'il s'agit de trouver les angles entre vecteurs.

Termes de base

Avant d’examiner les angles entre vecteurs, il est nécessaire de se familiariser avec la définition d’un vecteur et la notion d’angle entre vecteurs.

Un vecteur est un segment qui a une direction, c'est-à-dire un segment pour lequel son début et sa fin sont définis.

L'angle entre deux vecteurs sur un plan qui ont une origine commune est le plus petit des angles dont l'un des vecteurs doit être déplacé. point commun, vers une position où leurs directions coïncident.

Formule de solution

Une fois que vous avez compris ce qu'est un vecteur et comment son angle est déterminé, vous pouvez calculer l'angle entre les vecteurs. La formule de solution pour cela est assez simple et le résultat de son application sera la valeur du cosinus de l'angle. Selon la définition, il est égal au quotient du produit scalaire des vecteurs et du produit de leurs longueurs.

Le produit scalaire des vecteurs est calculé comme la somme des coordonnées correspondantes des vecteurs facteurs multipliées les unes par les autres. La longueur d'un vecteur, ou son module, est calculée comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Après avoir reçu la valeur du cosinus de l'angle, vous pouvez calculer la valeur de l'angle lui-même à l'aide d'une calculatrice ou d'une table trigonométrique.

Exemple

Une fois que vous aurez compris comment calculer l'angle entre les vecteurs, résoudre le problème correspondant deviendra simple et clair. À titre d'exemple, il convient de considérer le problème simple de trouver la valeur d'un angle.

Tout d'abord, il sera plus pratique de calculer les valeurs des longueurs des vecteurs et leur produit scalaire nécessaires à la solution. En utilisant la description présentée ci-dessus, nous obtenons :

En substituant les valeurs obtenues dans la formule, nous calculons la valeur du cosinus de l'angle souhaité :

Ce nombre ne fait pas partie des cinq valeurs communes du cosinus, donc pour obtenir la valeur de l'angle, vous devrez utiliser une calculatrice ou la table trigonométrique de Bradis. Mais avant d’obtenir l’angle entre les vecteurs, la formule peut être simplifiée pour supprimer le signe négatif supplémentaire :

Pour maintenir la précision, la réponse finale peut être laissée telle quelle, ou vous pouvez calculer la valeur de l'angle en degrés. Selon le tableau Bradis, sa valeur sera d'environ 116 degrés et 70 minutes, et la calculatrice affichera une valeur de 116,57 degrés.

Calculer un angle dans un espace à n dimensions

Lorsqu’on considère deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, il est beaucoup plus difficile de comprendre de quel angle on parle s’ils ne se trouvent pas dans le même plan. Pour simplifier la perception, vous pouvez dessiner deux segments qui se croisent qui forment le plus petit angle entre eux ; Même s’il existe une troisième coordonnée dans le vecteur, le processus de calcul des angles entre les vecteurs ne changera pas. Calculez le produit scalaire et les modules des vecteurs, l'arc cosinus de leur quotient sera la réponse à ce problème.

En géométrie, les espaces qui ont plus de trois dimensions posent souvent des problèmes. Mais pour eux, l’algorithme permettant de trouver la réponse semble similaire.

Différence entre 0 et 180 degrés

L'une des erreurs courantes lors de la rédaction d'une réponse à un problème conçu pour calculer l'angle entre des vecteurs est la décision d'écrire que les vecteurs sont parallèles, c'est-à-dire que l'angle souhaité est égal à 0 ou 180 degrés. Cette réponse est incorrecte.

Ayant reçu la valeur d'angle de 0 degré à la suite de la solution, la bonne réponse serait de désigner les vecteurs comme codirectionnels, c'est-à-dire que les vecteurs auront la même direction. Si 180 degrés sont obtenus, les vecteurs seront dirigés de manière opposée.

Vecteurs spécifiques

Après avoir trouvé les angles entre les vecteurs, vous pouvez trouver l'un des types spéciaux, en plus de ceux codirectionnels et dirigés de manière opposée décrits ci-dessus.

• Plusieurs vecteurs parallèles à un même plan sont dits coplanaires.
• Les vecteurs de même longueur et de même direction sont appelés égaux.
• Les vecteurs qui se trouvent sur la même ligne droite, quelle que soit leur direction, sont appelés colinéaires.
• Si la longueur d'un vecteur est nulle, c'est-à-dire que son début et sa fin coïncident, alors il est appelé zéro, et s'il est un, alors unité.

Comment trouver l’angle entre les vecteurs ?

s'il vous plaît, aidez-moi ! Je connais la formule, mais je ne peux pas la calculer ((
vecteur a (8 ; 10 ; 4) vecteur b (5 ; -20 ; -10)

Alexandre Titov

L'angle entre les vecteurs spécifiés par leurs coordonnées est trouvé à l'aide d'un algorithme standard. Vous devez d'abord trouver le produit scalaire des vecteurs a et b : (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Nous substituons ici les coordonnées de ces vecteurs et calculons :
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ensuite, nous déterminons les longueurs de chaque vecteur. La longueur ou module d'un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées :
|une| = racine de (x1^2 + y1^2 + z1^2) = racine de (8^2 + 10^2 + 4^2) = racine de (64 + 100 + 16) = racine de 180 = 6 racines de 5
|b| = racine de (x2^2 + y2^2 + z2^2) = racine de (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = racine de (25 + 400 + 100) = racine de 525 = 5 racines de 21.
On multiplie ces longueurs. On obtient 30 racines sur 105.
Et enfin, on divise le produit scalaire des vecteurs par le produit des longueurs de ces vecteurs. On obtient -200/(30 racines de 105) ou
- (4 racines de 105) / 63. C'est le cosinus de l'angle entre les vecteurs. Et l'angle lui-même est égal à l'arc cosinus de ce nombre
f = arccos(-4 racines de 105) / 63.
Si j'avais tout compté correctement.

Comment calculer le sinus de l'angle entre les vecteurs en utilisant les coordonnées des vecteurs

Mikhaïl Tkatchev

Multiplions ces vecteurs. Leur produit scalaire est égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare.
L'angle nous est inconnu, mais les coordonnées sont connues.
Écrivons-le mathématiquement comme ceci.
Soit les vecteurs a(x1;y1) et b(x2;y2)
Alors

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Parlons.
a*b-produit scalaire des vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes des coordonnées de ces vecteurs, c'est-à-dire égal à x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produit des longueurs vectorielles est égal à √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Cela signifie que le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à :

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Connaissant le cosinus d’un angle, on peut calculer son sinus. Voyons comment procéder :

Si le cosinus d'un angle est positif, alors cet angle se situe dans 1 ou 4 quadrants, ce qui signifie que son sinus est soit positif, soit négatif. Mais puisque l'angle entre les vecteurs est inférieur ou égal à 180 degrés, alors son sinus est positif. On raisonne de la même manière si le cosinus est négatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

C'est tout)))) bonne chance pour le comprendre)))

Dmitri Levichtchev

Le fait qu’il soit impossible de sinus directement n’est pas vrai.
En plus de la formule :
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Il y a aussi celui-ci :
||=|a|*|b|*péché A
Autrement dit, au lieu du produit scalaire, vous pouvez prendre le module du produit vectoriel.

Lors de l'étude de la géométrie, de nombreuses questions se posent au sujet des vecteurs. L'élève éprouve des difficultés particulières lorsqu'il s'agit de trouver les angles entre vecteurs.

Termes de base

Avant d’examiner les angles entre vecteurs, il est nécessaire de se familiariser avec la définition d’un vecteur et la notion d’angle entre vecteurs.

Un vecteur est un segment qui a une direction, c'est-à-dire un segment pour lequel son début et sa fin sont définis.

L'angle entre deux vecteurs sur un plan qui ont une origine commune est le plus petit des angles de la quantité dont l'un des vecteurs doit être déplacé autour du point commun jusqu'à ce que leurs directions coïncident.

Formule de solution

Une fois que vous avez compris ce qu'est un vecteur et comment son angle est déterminé, vous pouvez calculer l'angle entre les vecteurs. La formule de solution pour cela est assez simple et le résultat de son application sera la valeur du cosinus de l'angle. Selon la définition, il est égal au quotient du produit scalaire des vecteurs et du produit de leurs longueurs.

Le produit scalaire des vecteurs est calculé comme la somme des coordonnées correspondantes des vecteurs facteurs multipliées les unes par les autres. La longueur d'un vecteur, ou son module, est calculée comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Après avoir reçu la valeur du cosinus de l'angle, vous pouvez calculer la valeur de l'angle lui-même à l'aide d'une calculatrice ou d'une table trigonométrique.

Exemple

Une fois que vous aurez compris comment calculer l'angle entre les vecteurs, résoudre le problème correspondant deviendra simple et clair. À titre d'exemple, il convient de considérer le problème simple de trouver la valeur d'un angle.

Tout d'abord, il sera plus pratique de calculer les valeurs des longueurs des vecteurs et leur produit scalaire nécessaires à la solution. En utilisant la description présentée ci-dessus, nous obtenons :

En substituant les valeurs obtenues dans la formule, nous calculons la valeur du cosinus de l'angle souhaité :

Ce nombre ne fait pas partie des cinq valeurs communes du cosinus, donc pour obtenir la valeur de l'angle, vous devrez utiliser une calculatrice ou la table trigonométrique de Bradis. Mais avant d’obtenir l’angle entre les vecteurs, la formule peut être simplifiée pour supprimer le signe négatif supplémentaire :

Pour maintenir la précision, la réponse finale peut être laissée telle quelle, ou vous pouvez calculer la valeur de l'angle en degrés. Selon le tableau Bradis, sa valeur sera d'environ 116 degrés et 70 minutes, et la calculatrice affichera une valeur de 116,57 degrés.

Calculer un angle dans un espace à n dimensions

Lorsqu’on considère deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, il est beaucoup plus difficile de comprendre de quel angle on parle s’ils ne se trouvent pas dans le même plan. Pour simplifier la perception, vous pouvez dessiner deux segments qui se croisent qui forment le plus petit angle entre eux ; Même s’il existe une troisième coordonnée dans le vecteur, le processus de calcul des angles entre les vecteurs ne changera pas. Calculez le produit scalaire et les modules des vecteurs, l'arc cosinus de leur quotient sera la réponse à ce problème.

En géométrie, les espaces qui ont plus de trois dimensions posent souvent des problèmes. Mais pour eux, l’algorithme permettant de trouver la réponse semble similaire.

Différence entre 0 et 180 degrés

L'une des erreurs courantes lors de la rédaction d'une réponse à un problème conçu pour calculer l'angle entre des vecteurs est la décision d'écrire que les vecteurs sont parallèles, c'est-à-dire que l'angle souhaité est égal à 0 ou 180 degrés. Cette réponse est incorrecte.

Ayant reçu la valeur d'angle de 0 degré à la suite de la solution, la bonne réponse serait de désigner les vecteurs comme codirectionnels, c'est-à-dire que les vecteurs auront la même direction. Si 180 degrés sont obtenus, les vecteurs seront dirigés de manière opposée.

Vecteurs spécifiques

Après avoir trouvé les angles entre les vecteurs, vous pouvez trouver l'un des types spéciaux, en plus des types codirectionnels et opposés décrits ci-dessus.

• Plusieurs vecteurs parallèles à un même plan sont dits coplanaires.
• Les vecteurs de même longueur et de même direction sont appelés égaux.
• Les vecteurs qui se trouvent sur la même ligne droite, quelle que soit leur direction, sont appelés colinéaires.
• Si la longueur d'un vecteur est nulle, c'est-à-dire que son début et sa fin coïncident, alors il est appelé zéro, et s'il est un, alors unité.

Instructions

Soit deux vecteurs non nuls sur le plan, tracés à partir d'un point : le vecteur A de coordonnées (x1, y1) B de coordonnées (x2, y2). Coin entre eux est désigné par θ. Pour trouver la mesure en degré de l’angle θ, vous devez utiliser la définition du produit scalaire.

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est un nombre égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare, soit (A,B)=|A|*|B|*cos(θ ). Vous devez maintenant exprimer le cosinus de l'angle à partir de ceci : cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Le produit scalaire peut également être trouvé à l'aide de la formule (A,B)=x1*x2+y1*y2, puisque le produit de deux vecteurs non nuls est égal à la somme des produits de leurs vecteurs correspondants. Si le produit scalaire de vecteurs non nuls est égal à zéro, alors les vecteurs sont perpendiculaires (l'angle entre eux est de 90 degrés) et d'autres calculs peuvent être omis. Si le produit scalaire de deux vecteurs est positif, alors l'angle entre ceux-ci vecteurs aigu, et s'il est négatif, alors l'angle est obtus.

Calculez maintenant les longueurs des vecteurs A et B en utilisant les formules : |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). La longueur d'un vecteur est calculée comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Remplacez les valeurs trouvées du produit scalaire et des longueurs vectorielles dans la formule de l'angle obtenu à l'étape 2, c'est-à-dire cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Maintenant, connaissant la valeur, pour trouver la mesure en degrés de l'angle entre vecteurs vous devez utiliser la table Bradis ou en tirer : θ=arccos(cos(θ)).

Si les vecteurs A et B sont donnés dans un espace tridimensionnel et ont respectivement les coordonnées (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2), alors lors de la recherche du cosinus de l'angle, une coordonnée supplémentaire est ajoutée. Dans ce cas, cosinus : cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Conseils utiles

Si deux vecteurs ne sont pas tracés à partir du même point, alors pour trouver l'angle entre eux par translation parallèle, vous devez combiner les origines de ces vecteurs.
L’angle entre deux vecteurs ne peut pas dépasser 180 degrés.

Sources :

• comment calculer l'angle entre les vecteurs
• Angle entre une droite et un plan

Pour résoudre de nombreux problèmes, tant appliqués que théoriques, en physique et en algèbre linéaire, il est nécessaire de calculer l'angle entre les vecteurs. Cette tâche apparemment simple peut poser de nombreuses difficultés si vous ne comprenez pas clairement l'essence du produit scalaire et quelle valeur apparaît à la suite de ce produit.

Instructions

L'angle entre les vecteurs dans un espace linéaire vectoriel est l'angle minimum auquel la co-direction des vecteurs est obtenue. Dessine l'un des vecteurs autour de son point de départ. D'après la définition, il devient évident que la valeur de l'angle ne peut pas dépasser 180 degrés (voir étape).

Dans ce cas, on suppose à juste titre que dans l'espace linéaire, lors du transfert parallèle de vecteurs, l'angle entre eux ne change pas. Par conséquent, pour le calcul analytique de l’angle, l’orientation spatiale des vecteurs n’a pas d’importance.

Le résultat d’un produit scalaire est un nombre, sinon un scalaire. N'oubliez pas (c'est important de savoir) d'éviter les erreurs dans les calculs ultérieurs. La formule du produit scalaire situé sur le plan ou dans l'espace des vecteurs a la forme (voir la figure pour l'étape).

Si les vecteurs sont situés dans l'espace, effectuez le calcul de la même manière. La seule apparition d'un terme dans le dividende sera le terme pour l'appliqué, c'est-à-dire la troisième composante du vecteur. Ainsi, lors du calcul du module des vecteurs, la composante z doit également être prise en compte, puis pour les vecteurs situés dans l'espace, la dernière expression est transformée comme suit (voir Figure 6 pour l'étape).

Un vecteur est un segment avec une direction donnée. L'angle entre les vecteurs a une signification physique, par exemple lors de la recherche de la longueur de la projection d'un vecteur sur un axe.

Instructions

L'angle entre deux vecteurs non nuls en calculant le produit scalaire. Par définition, le produit est égal au produit des longueurs par l'angle qui les sépare. En revanche, le produit scalaire de deux vecteurs a de coordonnées (x1 ; y1) et b de coordonnées (x2 ; y2) est calculé : ab = x1x2 + y1y2. Parmi ces deux méthodes, le produit scalaire est facilement l’angle entre les vecteurs.

Trouvez les longueurs ou les grandeurs des vecteurs. Pour nos vecteurs a et b : |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Trouvez le produit scalaire des vecteurs en multipliant leurs coordonnées par paires : ab = x1x2 + y1y2. D'après la définition du produit scalaire ab = |a|*|b|*cos α, où α est l'angle entre les vecteurs. Nous obtenons alors que x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Alors cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Trouvez l'angle α à l'aide des tables de Bradis.

Vidéo sur le sujet

Veuillez noter

Le produit scalaire est une caractéristique scalaire des longueurs des vecteurs et de l'angle qui les sépare.

Le plan est l'un des concepts de base de la géométrie. Un plan est une surface pour laquelle l'énoncé suivant est vrai : toute droite reliant deux de ses points appartient entièrement à cette surface. Les avions sont généralement désignés par les lettres grecques α, β, γ, etc. Deux plans se coupent toujours le long d’une droite qui appartient aux deux plans.

Instructions

Considérons les demi-plans α et β formés par l'intersection de . L'angle formé par une droite a et deux demi-plans α et β par un angle dièdre. Dans ce cas, les demi-plans formant avec leurs faces un angle dièdre, la droite a le long de laquelle les plans se coupent est appelée arête angle dièdre.

L'angle dièdre, comme l'angle plan, est exprimé en degrés. Pour créer un angle dièdre, vous devez sélectionner un point arbitraire O sur sa face. Dans les deux cas, deux rayons a passent par le point O. L'angle AOB formé est appelé angle dièdre linéaire a.

Alors, donnons le vecteur V = (a, b, c) et le plan A x + B y + C z = 0, où A, B et C sont les coordonnées de la normale N. Alors le cosinus de l'angle α entre les vecteurs V et N est égal à : cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Pour calculer l'angle en degrés ou en radians, vous devez calculer l'inverse de la fonction cosinus à partir de l'expression résultante, c'est-à-dire arccosinus:α = arcscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Exemple : trouver coin entre vecteur(5, -3, 8) et avion, donné équation générale 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solution : notez les coordonnées du vecteur normal du plan N = (2, -5, 3). Remplacez tout valeurs connues dans la formule donnée : cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Vidéo sur le sujet

Créez une égalité et isolez-en le cosinus. Selon une formule, le produit scalaire des vecteurs est égal à leurs longueurs multipliées entre elles et par le cosinus angle, et de l'autre - la somme des produits de coordonnées le long de chacun des axes. En égalisant les deux formules, nous pouvons conclure que le cosinus angle doit être égal au rapport de la somme des produits des coordonnées au produit des longueurs des vecteurs.

Notez l'égalité résultante. Pour ce faire, vous devez désigner les deux vecteurs. Supposons qu'ils soient donnés dans un système cartésien tridimensionnel et que leurs points de départ soient dans une grille de coordonnées. La direction et la grandeur du premier vecteur seront données par le point (X₁,Y₁,Z₁), le second - (X₂,Y₂,Z₂), et l'angle sera désigné par la lettre γ. Alors les longueurs de chacun des vecteurs peuvent être, par exemple, en utilisant le théorème de Pythagore pour , formées par leurs projections sur chacun des axes de coordonnées : √(X₁² + Y₁² + Z₁²) et √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Remplacez ces expressions dans la formule formulée à l'étape précédente et vous obtiendrez l'égalité : cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Utilisez le fait que la somme des carrés sinus et co sinus depuis angle de la même quantité en donne toujours un. Cela signifie qu'en élevant ce qui a été obtenu à l'étape précédente pour sinus au carré et soustrait de un, puis la racine carrée résoudra le problème. Écrivez la formule requise dans vue générale: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))).

Produit scalaire de vecteurs (ci-après dénommé SP). Chers amis! L'examen de mathématiques comprend un groupe de problèmes sur la résolution de vecteurs. Nous avons déjà examiné certains problèmes. Vous pouvez les voir dans la catégorie « Vecteurs ». En général, la théorie des vecteurs n'est pas compliquée, l'essentiel est de l'étudier de manière cohérente. Calculs et opérations avec des vecteurs dans cours scolaire Le calcul est simple, les formules ne sont pas compliquées. Jetez un oeil à. Dans cet article, nous analyserons les problèmes sur SP des vecteurs (inclus dans l'examen d'État unifié). Maintenant « immersion » dans la théorie :

H Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire des coordonnées de sa finles coordonnées correspondantes de son origine

Et encore une chose :

*La longueur du vecteur (module) est déterminée comme suit :

Il faut retenir ces formules !!!

Montrons l'angle entre les vecteurs :

Il est clair qu'il peut varier de 0 à 180 0(ou en radians de 0 à Pi).

On peut tirer quelques conclusions sur le signe du produit scalaire. Les longueurs des vecteurs sont valeur positive, c'est évident. Cela signifie que le signe du produit scalaire dépend de la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs.

Cas possibles :

1. Si l'angle entre les vecteurs est aigu (de 0 0 à 90 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur positive.

2. Si l'angle entre les vecteurs est obtus (de 90 0 à 180 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur négative.

*À zéro degré, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont la même direction, le cosinus est égal à un et, par conséquent, le résultat sera positif.

A 180°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont des directions opposées, le cosinus est égal à moins un,et par conséquent le résultat sera négatif.

Maintenant le POINT IMPORTANT !

A 90°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le cosinus est égal à zéro, et donc le SP est égal à zéro. Ce fait (conséquence, conclusion) est utilisé pour résoudre de nombreux problèmes dont nous parlons position relative vecteurs, y compris dans les problèmes inclus dans banque ouverte devoirs de mathématiques.

Formulons l'énoncé : le produit scalaire est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs se trouvent sur des droites perpendiculaires.

Ainsi, les formules pour les vecteurs SP :

Si les coordonnées des vecteurs ou les coordonnées des points de leurs débuts et fins sont connues, alors on peut toujours trouver l'angle entre les vecteurs :

Considérons les tâches :

27724 Trouvez le produit scalaire des vecteurs a et b.

Nous pouvons trouver le produit scalaire des vecteurs en utilisant l’une des deux formules suivantes :

L'angle entre les vecteurs est inconnu, mais on peut facilement trouver les coordonnées des vecteurs et ensuite utiliser la première formule. Puisque les origines des deux vecteurs coïncident avec l'origine des coordonnées, les coordonnées de ces vecteurs sont égales aux coordonnées de leurs extrémités, c'est-à-dire

Comment trouver les coordonnées d'un vecteur est décrit dans.

On calcule :

Réponse : 40

Trouvons les coordonnées des vecteurs et utilisons la formule :

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire les coordonnées correspondantes de son début des coordonnées de la fin du vecteur, ce qui signifie

On calcule le produit scalaire :

Réponse : 40

Trouvez l'angle entre les vecteurs a et b. Donnez votre réponse en degrés.

Soit les coordonnées des vecteurs sous la forme :

Pour trouver l'angle entre les vecteurs, nous utilisons la formule du produit scalaire des vecteurs :

Cosinus de l'angle entre vecteurs :

Ainsi:

Les coordonnées de ces vecteurs sont égales :

Remplaçons-les dans la formule :

L'angle entre les vecteurs est de 45 degrés.

Réponse : 45