Propriétés d'une droite en géométrie euclidienne.

Un nombre infini de lignes droites peuvent être tracées passant par n’importe quel point.

Passant par deux points non coïncidents, une seule ligne droite peut être tracée.

Deux lignes divergentes dans un plan se coupent en un seul point ou sont

parallèle (découle du précédent).

Dans un espace tridimensionnel, il existe trois options position relative deux lignes droites :

• les lignes se croisent ;

• les lignes sont parallèles ;

• des lignes droites se croisent.

Droit doubler— courbe algébrique du premier ordre : une droite dans le système de coordonnées cartésiennes

est donnée sur le plan par une équation du premier degré (équation linéaire).

Équation générale d'une droite.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

et constante A, B ne sont pas égaux à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle général

équation d'une droite. En fonction des valeurs des constantes A, B Et AVEC Les cas particuliers suivants sont possibles :

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- une droite passe par l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Par + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = C = 0, A ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

. A = C = 0, B ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

L'équation d'une droite peut être représentée sous la forme sous diverses formes en fonction d'une donnée

conditions initiales.

Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur avec des composantes (A, B)

perpendiculaire à la droite donnée par l'équation

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par un point UNE(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x - y + C = 0. Pour trouver le coefficient C

Remplaçons les coordonnées du point A donné dans l'expression résultante. Nous obtenons : 3 - 2 + C = 0, donc.

C = -1. Total : l'équation recherchée : 3x - y - 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points dans l'espace M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) Et M2 (x 2, y 2, z 2), Alors équation d'une droite,

en passant par ces points :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur

plan, l’équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

Si x1 ≠x2 Et x = x1, Si x1 = x2 .

Fraction =k appelé pente direct.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si équation générale direct Hache + Wu + C = 0 conduire à :

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle

équation d’une droite de pente k.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer dans la tâche

une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition. Tout vecteur non nul (α1,α2), dont les composants satisfont à la condition

Aα1 + Ba2 = 0 appelé vecteur directeur d’une droite.

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. Nous chercherons l'équation de la droite souhaitée sous la forme : Hache + Par + C = 0. D'après la définition,

les coefficients doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Hache + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

à x = 1, y = 2 nous obtenons C/A = -3, c'est-à-dire équation requise :

x + y - 3 = 0

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par -С, on obtient :

ou où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient a est la coordonnée du point d'intersection

droit avec axe Oh, UN b- coordonnée du point d'intersection de la ligne avec l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée x - y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l’équation Hache + Wu + C = 0 diviser par nombre qui s'appelle

facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 -équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que µ*C< 0.

r- la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite,

UN φ - l'angle que forme cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale de la droite est donnée 12x - 5 ans - 65 = 0. Obligatoire d'écrire différents typeséquations

cette ligne droite.

L'équation de cette droite en segments:

L'équation de cette droite avec la pente: (diviser par 5)

Équation d'une droite:

cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les lignes droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des lignes droites,

parallèle aux axes ou passant par l'origine.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes

sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k1 = k2. Deux lignes sont perpendiculaires

Si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème.

Direct Hache + Wu + C = 0 Et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallèle lorsque les coefficients sont proportionnels

A 1 = λA, B 1 = λB. Si aussi С 1 = λС, alors les lignes coïncident. Coordonnées du point d'intersection de deux lignes

sont trouvés comme solution au système d’équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par ce point perpendiculaire à cette ligne.

Définition. Ligne passant par un point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y = kx + b

représenté par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si un point est donné M(x 0, oui 0), puis la distance jusqu'à la ligne droite Hache + Wu + C = 0 défini comme :

Preuve. Laissons le point M 1 (x 1, y 1)- la base d'une perpendiculaire tombée d'un point M pour une donnée

direct. Puis la distance entre les points M Et M1:

(1)

Coordonnées x1 Et à 1 peut être trouvé comme solution au système d’équations :

La deuxième équation du système est l'équation de la droite passant par point donné M 0 perpendiculaire

ligne droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

Équation d'une droite passant par deux points. Dans l'article" " Je vous ai promis d'examiner la deuxième façon de résoudre les problèmes présentés pour trouver la dérivée, étant donné un graphique d'une fonction et une tangente à ce graphique. Nous discuterons de cette méthode dans , ne le manquez pas ! Pourquoi dans le prochain ?

Le fait est que la formule de l'équation d'une droite y sera utilisée. Bien entendu, nous pourrions simplement montrer cette formule et vous conseiller de l’apprendre. Mais il vaut mieux expliquer d’où il vient (comment il est dérivé). C'est nécessaire ! Si vous l'oubliez, vous pouvez le restaurer rapidementne sera pas difficile. Tout est décrit ci-dessous en détail. Nous avons donc deux points A sur le plan de coordonnées(x 1;y 1) et B(x 2;y 2), une ligne droite est tracée passant par les points indiqués :

Voici la formule directe elle-même :

*C'est-à-dire qu'en remplaçant des coordonnées spécifiques de points, nous obtenons une équation de la forme y=kx+b.

**Si vous « mémorisez » simplement cette formule, il y a une forte probabilité de se confondre avec les indices lorsque X. De plus, les indices peuvent être désignés de différentes manières, par exemple :

C'est pourquoi il est important d'en comprendre le sens.

Maintenant la dérivation de cette formule. C'est très simple !

Les triangles ABE et ACF sont similaires en angle aigu (premier signe de similitude des triangles rectangles). Il en résulte que les rapports des éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire :

Maintenant, nous exprimons simplement ces segments par la différence des coordonnées des points :

Bien entendu, il n'y aura pas d'erreur si vous écrivez les relations des éléments dans un ordre différent (l'essentiel est de maintenir la cohérence) :

Le résultat sera la même équation de la droite. C'est tout !

Autrement dit, quelle que soit la façon dont les points eux-mêmes (et leurs coordonnées) sont désignés, en comprenant cette formule, vous trouverez toujours l'équation d'une ligne droite.

La formule peut être dérivée en utilisant les propriétés des vecteurs, mais le principe de dérivation sera le même, puisqu'il s'agira de la proportionnalité de leurs coordonnées. Dans ce cas, le même semblant de triangles rectangles fonctionne. À mon avis, la conclusion décrite ci-dessus est plus claire)).

Afficher la sortie via les coordonnées vectorielles >>>

Soit une ligne droite construite sur le plan de coordonnées passant par deux points donnés A(x 1;y 1) et B(x 2;y 2). Marquons un point arbitraire C sur la droite avec des coordonnées ( x; oui). On note également deux vecteurs :

On sait que pour les vecteurs situés sur des droites parallèles (ou sur la même droite), leurs coordonnées correspondantes sont proportionnelles, c'est-à-dire :

— on note l'égalité des rapports des coordonnées correspondantes :

Regardons un exemple :

Trouvez l'équation d'une droite passant par deux points de coordonnées (2;5) et (7:3).

Vous n’avez même pas besoin de construire la ligne droite elle-même. On applique la formule :

Il est important que vous compreniez la correspondance lors de l'établissement du ratio. Vous ne pouvez pas vous tromper si vous écrivez :

Réponse : y=-2/5x+29/5 allez y=-0,4x+5,8

Afin de vous assurer que l'équation résultante est trouvée correctement, assurez-vous de vérifier - substituez-y les coordonnées des données dans l'état des points. Les équations devraient être correctes.

C'est tout. J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

De plus, les constantes A et B ne sont pas égales à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle équation générale d'une droite. En fonction des valeurs constante A, B et C les cas particuliers suivants sont possibles :

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – la droite passe par l'origine

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - droite parallèle à l'axe Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – droite parallèle à l'axe Oy

B = C = 0, A ≠0 – la droite coïncide avec l'axe Oy

A = C = 0, B ≠0 – la droite coïncide avec l'axe Ox

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction de conditions initiales données.

Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal

Définition. Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur de composantes (A, B) est perpendiculaire à la droite donnée par l'équation Ax + By + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation de la droite passant par le point A(1, 2) perpendiculaire à (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x – y + C = 0. Pour trouver le coefficient C, on substitue les coordonnées du point donné A dans l'expression résultante. 3 – 2 + C = 0, donc C = -1 . Total : l’équation recherchée : 3x – y – 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points

Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) dans l'espace, alors l'équation de la droite passant par ces points est :

Si l'un des dénominateurs est égal à zéro, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur le plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

si x 1 ≠ x 2 et x = x 1, si x 1 = x 2.

La fraction = k s'appelle pente direct.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite à partir d'un point et d'une pente

Si le total Ax + Bu + C = 0, on obtient la forme :

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle équation d'une droite avec pentek.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par un vecteur normal, vous pouvez saisir la définition d'une droite passant par un point et le vecteur directeur de la droite.

Définition. Chaque vecteur non nul (α 1, α 2), dont les composantes satisfont à la condition A α 1 + B α 2 = 0 est appelé vecteur directeur de la droite

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. On cherchera l'équation de la droite recherchée sous la forme : Ax + By + C = 0. Conformément à la définition, les coefficients doivent satisfaire aux conditions :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l'équation de la droite a la forme : Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. pour x = 1, y = 2 on obtient C/ A = -3, soit équation requise :

Équation d'une droite en segments

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par –С, on obtient : ou

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient UN est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b– la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.

Exemple. L'équation générale de la droite x – y + 1 = 0 est donnée. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale d'une droite

Si les deux côtés de l'équation Ax + By + C = 0 sont multipliés par le nombre qui s'appelle facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

équation normale d'une droite. Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi pour que μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemple. L'équation générale de la droite 12x – 5y – 65 = 0 est donnée. Il est nécessaire d'écrire différents types d'équations pour cette droite.

équation de cette droite en segments :

équation de cette droite avec pente : (diviser par 5)

; cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des droites parallèles aux axes ou passant par l'origine des coordonnées.

Exemple. La ligne droite coupe des segments positifs égaux sur les axes de coordonnées. Écrivez une équation d'une droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.

Solution. L'équation de la droite a la forme : , ab /2 = 8 ; ab = 16 ; une=4, une=-4. une = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemple. Écrivez une équation pour une droite passant par le point A(-2, -3) et l'origine.

Solution. L'équation de la droite est : , où x 1 = y 1 = 0 ; x2 = -2 ; oui 2 = -3.

Angle entre des lignes droites sur un plan

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes sera défini comme

.

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2. Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/ k 2.

Théorème. Les droites Ax + Bу + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 = λA, B 1 = λB sont proportionnels. Si aussi C 1 = λC, alors les droites coïncident. Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée

Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

(1)

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3 x + 7 ; y = 2 x + 1.

k 1 = -3 ; k2 = 2 ; tgφ = ; φ= π /4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

Solution. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

Solution. On retrouve l’équation du côté AB : ; 4 x = 6 oui – 6 ;

2 x – 3 oui + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3 x + 2 y – 34 = 0.

Donnons deux points M(X 1 ,U 1) et N(X 2,oui 2). Trouvons l'équation de la droite passant par ces points.

Puisque cette droite passe par le point M, alors d'après la formule (1.13) son équation a la forme

U – Oui 1 = K(X–x 1),

Où K– coefficient angulaire inconnu.

La valeur de ce coefficient est déterminée à partir de la condition que la droite souhaitée passe par le point N, ce qui signifie que ses coordonnées satisfont à l'équation (1.13)

Oui 2 – Oui 1 = K(X 2 – X 1),

De là, vous pouvez trouver la pente de cette ligne :

,

Ou après conversion

(1.14)

La formule (1.14) détermine Équation d'une droite passant par deux points M(X 1, Oui 1) et N(X 2, Oui 2).

Dans le cas particulier où les points M(UN, 0), N(0, B), UN ¹ 0, B¹ 0, se situe sur les axes de coordonnées, l'équation (1.14) prendra une forme plus simple

Équation (1.15) appelé Équation d'une droite en segments, Ici UN Et B désignent les segments coupés par une ligne droite sur les axes (Figure 1.6).

Graphique 1.6

Exemple 1.10. Écrire une équation pour une droite passant par les points M(1, 2) et B(3, –1).

. D’après (1.14), l’équation de la droite recherchée a la forme

2(Oui – 2) = -3(X – 1).

En transférant tous les termes vers la gauche, on obtient finalement l'équation souhaitée

3X + 2Oui – 7 = 0.

Exemple 1.11. Écrire une équation pour une droite passant par un point M(2, 1) et le point d'intersection des lignes X+ Oui – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Nous trouverons les coordonnées du point d'intersection des droites en résolvant ces équations ensemble

Si on additionne ces équations terme par terme, on obtient 2 X+ 1 = 0, d'où . En substituant la valeur trouvée dans n'importe quelle équation, nous trouvons la valeur de l'ordonnée U:

Écrivons maintenant l’équation de la droite passant par les points (2, 1) et :

ou .

Donc ou –5( Oui – 1) = X – 2.

On obtient finalement l'équation de la droite recherchée sous la forme X + 5Oui – 7 = 0.

Exemple 1.12. Trouver l'équation de la droite passant par les points M(2.1) et N(2,3).

En utilisant la formule (1.14), on obtient l'équation

Cela n’a aucun sens puisque le deuxième dénominateur est zéro. D’après les conditions du problème, il ressort clairement que les abscisses des deux points ont la même valeur. Cela signifie que la droite souhaitée est parallèle à l'axe OY et son équation est : x = 2.

Commentaire . Si, lors de l'écriture de l'équation d'une droite à l'aide de la formule (1.14), l'un des dénominateurs s'avère égal à zéro, alors l'équation souhaitée peut être obtenue en assimilant le numérateur correspondant à zéro.

Considérons d'autres façons de définir une ligne sur un plan.

1. Soit un vecteur non nul perpendiculaire à la ligne donnée L, et pointez M 0(X 0, Oui 0) se situe sur cette droite (Figure 1.7).

Graphique 1.7

Notons M(X, Oui) n'importe quel point sur une ligne L. Vecteurs et Orthogonal. En utilisant les conditions d'orthogonalité de ces vecteurs, on obtient ou UN(X – X 0) + B(Oui – Oui 0) = 0.

Nous avons obtenu l'équation d'une droite passant par un point M 0 est perpendiculaire au vecteur. Ce vecteur est appelé Vecteur normal à une ligne droite L. L'équation résultante peut être réécrite comme

Oh + Wu + AVEC= 0, où AVEC = –(UNX 0 + Par 0), (1.16),

Où UN Et DANS– coordonnées du vecteur normal.

On obtient l'équation générale de la droite sous forme paramétrique.

2. Une droite sur un plan peut être définie comme suit : soit un vecteur non nul parallèle à la droite donnée L et période M 0(X 0, Oui 0) se trouve sur cette ligne. Reprenons un point arbitraire M(X, y) sur une droite (Figure 1.8).

Graphique 1.8

Vecteurs et colinéaire.

Écrivons la condition de colinéarité de ces vecteurs : , où T– un nombre arbitraire appelé paramètre. Écrivons cette égalité en coordonnées :

Ces équations sont appelées Équations paramétriques Direct. Excluons le paramètre de ces équations T:

Ces équations peuvent autrement s’écrire

. (1.18)

L'équation résultante s'appelle Équation canonique direct. Le vecteur s'appelle Le vecteur directeur est droit .

Commentaire . Il est facile de voir que si est le vecteur normal à la droite L, alors son vecteur directeur peut être le vecteur puisque , c'est-à-dire .

Exemple 1.13. Écrire l'équation d'une droite passant par un point M 0(1, 1) parallèle à la ligne 3 X + 2U– 8 = 0.

Solution . Le vecteur est le vecteur normal aux lignes données et souhaitées. Utilisons l'équation d'une droite passant par un point M 0 avec un vecteur normal donné 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ou 3 X + 2у– 5 = 0. Nous avons obtenu l’équation de la droite souhaitée.

Laissez la droite passer par les points M 1 (x 1 ; y 1) et M 2 (x 2 ; y 2). L'équation d'une droite passant par le point M 1 a la forme y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Où k - coefficient encore inconnu.

Puisque la droite passe par le point M 2 (x 2 y 2), les coordonnées de ce point doivent satisfaire l'équation (10.6) : y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

De là, nous trouvons Remplacer la valeur trouvée k dans l'équation (10.6), on obtient l'équation d'une droite passant par les points M 1 et M 2 :

On suppose que dans cette équation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, alors la droite passant par les points M 1 (x 1,y I) et M 2 (x 2,y 2) est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est x = x 1 .

Si y 2 = y I, alors l'équation de la droite peut s'écrire y = y 1, la droite M 1 M 2 est parallèle à l'axe des abscisses.

Équation d'une droite en segments

Laissez la ligne droite couper l'axe Ox au point M 1 (a;0) et l'axe Oy au point M 2 (0;b). L'équation prendra la forme :
ceux.
. Cette équation s'appelle équation d'une droite en segments, car les nombres a et b indiquent quels segments la ligne coupe sur les axes de coordonnées.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné

Trouvons l'équation d'une droite passant par un point donné Mo (x O ; y o) perpendiculaire à un vecteur non nul donné n = (A ; B).

Prenons un point arbitraire M(x; y) sur la droite et considérons le vecteur M 0 M (x - x 0; y - y o) (voir Fig. 1). Puisque les vecteurs n et M o M sont perpendiculaires, leur produit scalaire est égal à zéro : c'est-à-dire

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

L'équation (10.8) est appelée équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné .

Le vecteur n= (A; B), perpendiculaire à la droite, est appelé normal vecteur normal de cette ligne .

L’équation (10.8) peut être réécrite comme suit Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

où A et B sont les coordonnées du vecteur normal, C = -Ax o - Vu o est le terme libre. Équation (10.9) est l'équation générale de la droite(voir fig. 2).

Figure 1 Figure 2

Équations canoniques de la droite

,

Où
- les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et
- vecteur de direction.

Courbes du second ordre Cercle

Un cercle est l'ensemble de tous les points du plan équidistants d'un point donné, appelé centre.

Équation canonique d'un cercle de rayon R. centré en un point
:

En particulier, si le centre du piquet coïncide avec l'origine des coordonnées, alors l'équation ressemblera à :

Ellipse

Une ellipse est un ensemble de points sur un plan dont la somme des distances de chacun d'entre eux à deux points donnés Et , appelés foyers, est une quantité constante
, supérieur à la distance entre les foyers
.

L'équation canonique d'une ellipse dont les foyers se trouvent sur l'axe Ox, et l'origine des coordonnées au milieu entre les foyers a la forme
G de un longueur du demi-grand axe ; b – longueur du demi-petit axe (Fig. 2).