La géométrie est une science aux multiples facettes. Il développe la logique, l'imagination et l'intelligence. Bien sûr, en raison de sa complexité et du grand nombre de théorèmes et d'axiomes, les écoliers ne l'aiment pas toujours. De plus, il est nécessaire de prouver constamment vos conclusions en utilisant des normes et des règles généralement acceptées.

Connexes et angles verticaux fait partie intégrante de la géométrie. De nombreux écoliers les adorent sûrement simplement parce que leurs propriétés sont claires et faciles à prouver.

Formation de coins

Tout angle est formé en coupant deux lignes droites ou en traçant deux rayons à partir d'un point. Ils peuvent être appelés soit une lettre, soit trois, qui désignent séquentiellement les points auxquels l'angle est construit.

Les angles sont mesurés en degrés et peuvent (en fonction de leur valeur) être appelés différemment. Il existe donc un angle droit, aigu, obtus et déplié. Chacun des noms correspond à une certaine mesure de degré ou à son intervalle.

Un angle aigu est un angle dont la mesure ne dépasse pas 90 degrés.

Un angle obtus est un angle supérieur à 90 degrés.

Un angle est dit droit lorsque sa mesure en degrés est de 90.

Dans le cas où il est formé par une ligne droite continue et que sa mesure en degrés est de 180, on l'appelle étendu.

Les angles qui ont un côté commun, dont le deuxième côté se prolonge, sont appelés adjacents. Ils peuvent être pointus ou contondants. L'intersection de la ligne forme des angles adjacents. Leurs propriétés sont les suivantes :

1. La somme de ces angles sera égale à 180 degrés (il existe un théorème qui le prouve). On peut donc facilement calculer l’un d’eux si l’autre est connu.
2. Du premier point il résulte que des angles adjacents ne peuvent être formés par deux angles obtus ou deux angles aigus.

Grâce à ces propriétés, il est toujours possible de calculer la mesure en degrés d'un angle étant donné la valeur d'un autre angle, ou du moins le rapport entre eux.

Angles verticaux

Les angles dont les côtés sont le prolongement l’un de l’autre sont appelés verticaux. N'importe laquelle de leurs variétés peut agir comme une telle paire. Les angles verticaux sont toujours égaux les uns aux autres.

Ils se forment lorsque des lignes droites se croisent. A côté d'eux, les angles adjacents sont toujours présents. Un angle peut être à la fois adjacent pour l'un et vertical pour un autre.

Lors du franchissement d’une ligne arbitraire, plusieurs autres types d’angles sont également pris en compte. Une telle ligne est appelée ligne sécante et forme des angles correspondants, unilatéraux et transversaux. Ils sont égaux les uns aux autres. Ils peuvent être visualisés à la lumière des propriétés des angles verticaux et adjacents.

Ainsi, le sujet des angles semble assez simple et compréhensible. Toutes leurs propriétés sont faciles à retenir et à prouver. Résoudre des problèmes n’est pas difficile tant que les angles ont une valeur numérique. Plus tard, lorsque l'étude du péché et du cos commencera, vous devrez mémoriser de nombreuses formules complexes, leurs conclusions et leurs conséquences. En attendant, vous pouvez simplement profiter de puzzles faciles dans lesquels vous devez trouver des angles adjacents.

coinà celui déplié, c'est-à-dire égal à 180°, donc pour les trouver, soustrayez-en la valeur connue de l'angle principal α₁ = α₂ = 180°-α.

De là il y a . Si deux angles sont adjacents et égaux, alors ce sont des angles droits. Si l’un des angles adjacents est droit, c’est-à-dire 90 degrés, alors l’autre angle est également droit. Si l'un des angles adjacents est aigu, alors l'autre sera obtus. De même, si l’un des angles est obtus, le second sera donc aigu.

Un angle aigu est un angle dont la mesure en degrés est inférieure à 90 degrés, mais supérieure à 0. Un angle obtus a une mesure en degrés supérieure à 90 degrés, mais inférieure à 180.

Une autre propriété des angles adjacents est formulée comme suit : si deux angles sont égaux, alors les angles qui leur sont adjacents sont également égaux. Cela signifie que s'il existe deux angles pour lesquels la mesure en degrés est la même (par exemple, elle est de 50 degrés) et qu'en même temps l'un d'eux a un angle adjacent, alors les valeurs de ces angles adjacents coïncident également ( dans l'exemple, leur mesure en degrés sera égale à 130 degrés).

Sources :

• Grand Dictionnaire encyclopédique- Coins adjacents
• angle 180 degrés

Le mot "" a différentes interprétations. En géométrie, un angle est une partie d'un plan délimité par deux rayons émanant d'un point - le sommet. Quand nous parlons de concernant les angles droits, aigus et dépliés, il s'agit alors d'angles géométriques.

Comme toutes les figures géométriques, les angles peuvent être comparés. L'égalité des angles est déterminée par le mouvement. Il est facile de diviser l’angle en deux parties égales. La division en trois parties est un peu plus difficile, mais cela peut toujours être fait à l'aide d'une règle et d'un compas. À propos, cette tâche semblait assez difficile. Décrire qu’un angle est plus grand ou plus petit qu’un autre est géométriquement simple.

L'unité de mesure des angles est 1/180

Premiers pas avec les angles

Donnons-nous deux rayons arbitraires. Mettons-les les uns sur les autres. Alors

Définition 1

On appellera angle deux rayons qui ont la même origine.

Définition 2

Le point qui est le début des rayons dans le cadre de la définition 3 est appelé sommet de cet angle.

On désignera l'angle par ses trois points suivants : le sommet, un point sur l'un des rayons et un point sur l'autre rayon, et le sommet de l'angle est écrit au milieu de sa désignation (Fig. 1).

Déterminons maintenant quelle est la grandeur de l’angle.

Pour ce faire, nous devons sélectionner une sorte d'angle « de référence », que nous prendrons comme unité. Le plus souvent, cet angle est celui qui est égal à la partie $\frac(1)(180)$ de l'angle déplié. Cette quantité s'appelle un degré. Après avoir choisi un tel angle, on compare avec lui les angles dont il faut trouver la valeur.

Il existe 4 types d'angles :

Définition 3

Un angle est dit aigu s'il est inférieur à 90^0$.

Définition 4

Un angle est dit obtus s'il est supérieur à 90^0$.

Définition 5

Un angle est dit développé s'il est égal à 180^0$.

Définition 6

Un angle est dit droit s'il est égal à 90^0$.

En plus des types d'angles décrits ci-dessus, on peut distinguer des types d'angles les uns par rapport aux autres, à savoir les angles verticaux et adjacents.

Angles adjacents

Considérons l'angle inversé $COB$. De son sommet on trace un rayon $OA$. Ce rayon divisera celui d'origine en deux angles. Alors

Définition 7

Nous appellerons deux angles adjacents si une paire de leurs côtés est un angle déplié et que l'autre paire coïncide (Fig. 2).

Dans ce cas, les angles $COA$ et $BOA$ sont adjacents.

Théorème 1

La somme des angles adjacents est de 180^0$.

Preuve.

Regardons la figure 2.

Par définition 7, l'angle $COB$ sera égal à $180^0$. Puisque la deuxième paire de côtés d'angles adjacents coïncide, le rayon $OA$ divisera l'angle déplié par 2, donc

$∠COA+∠BOA=180^0$

Le théorème a été prouvé.

Envisageons de résoudre le problème en utilisant ce concept.

Exemple 1

Trouvez l'angle $C$ à partir de la figure ci-dessous

Par la définition 7, nous constatons que les angles $BDA$ et $ADC$ sont adjacents. Par conséquent, d’après le théorème 1, on obtient

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Par le théorème sur la somme des angles dans un triangle, on a

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Réponse : 40 $^0 $.

Angles verticaux

Considérons les angles dépliés $AOB$ et $MOC$. Alignons leurs sommets les uns avec les autres (c'est-à-dire plaçons le point $O"$ sur le point $O$) afin qu'aucun côté de ces angles ne coïncide. Ensuite

Définition 8

On appellera deux angles verticaux si les paires de leurs côtés sont des angles dépliés et que leurs valeurs coïncident (Fig. 3).

Dans ce cas, les angles $MOA$ et $BOC$ sont verticaux et les angles $MOB$ et $AOC$ sont également verticaux.

Théorème 2

Les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Preuve.

Regardons la figure 3. Montrons, par exemple, que l'angle $MOA$ est égal à l'angle $BOC$.

Deux angles sont dits adjacents s'ils ont un côté en commun, et les autres côtés de ces angles sont des rayons complémentaires. Sur la figure 20, les angles AOB et BOC sont adjacents.

La somme des angles adjacents est de 180°

Théorème 1. La somme des angles adjacents est de 180°.

Preuve. Le faisceau OB (voir Fig. 1) passe entre les côtés de l'angle déplié. C'est pourquoi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Du théorème 1, il résulte que si deux angles sont égaux, alors leurs angles adjacents sont égaux.

Les angles verticaux sont égaux

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont des rayons complémentaires des côtés de l’autre. Les angles AOB et COD, BOD et AOC, formés à l'intersection de deux droites, sont verticaux (Fig. 2).

Théorème 2. Les angles verticaux sont égaux.

Preuve. Considérons les angles verticaux AOB et COD (voir Fig. 2). L'angle BOD est adjacent à chacun des angles AOB et COD. Par Théorème 1 ∠ AOB + ∠ DBO = 180°, ∠ DCO + ∠ DBO = 180°.

De là, nous concluons que ∠ AOB = ∠ COD.

Corollaire 1. Un angle adjacent à un angle droit est un angle droit.

Considérons deux droites sécantes AC et BD (Fig. 3). Ils forment quatre coins. Si l'un d'eux est droit (angle 1 sur la figure 3), alors les angles restants sont également droits (les angles 1 et 2, 1 et 4 sont adjacents, les angles 1 et 3 sont verticaux). Dans ce cas, on dit que ces lignes se coupent à angle droit et sont dites perpendiculaires (ou mutuellement perpendiculaires). La perpendiculaire des droites AC et BD est notée comme suit : AC ⊥ BD.

Une médiatrice à un segment est une droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

AN - perpendiculaire à une ligne

Considérons une droite a et un point A qui ne s'y trouve pas (Fig. 4). Relions le point A avec un segment au point H avec la droite a. Le segment AN est appelé perpendiculaire tracé du point A à la ligne a si les lignes AN et a sont perpendiculaires. Le point H est appelé la base de la perpendiculaire.

Dessiner un carré

Le théorème suivant est vrai.

Théorème 3. A partir de tout point ne se trouvant pas sur une droite, il est possible de tracer une perpendiculaire à cette droite, et de plus une seule.

Pour tracer une perpendiculaire d'un point à une ligne droite dans un dessin, utilisez une équerre à dessin (Fig. 5).

Commentaire. La formulation du théorème se compose généralement de deux parties. Une partie parle de ce qui est donné. Cette partie est appelée la condition du théorème. L'autre partie parle de ce qui doit être prouvé. Cette partie est appelée la conclusion du théorème. Par exemple, la condition du théorème 2 est que les angles sont verticaux ; conclusion - ces angles sont égaux.

Tout théorème peut être exprimé en détail avec des mots de sorte que sa condition commence par le mot « si » et sa conclusion par le mot « alors ». Par exemple, le théorème 2 peut être énoncé en détail comme suit : « Si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. »

Exemple 1. L'un des angles adjacents est de 44°. A quoi est égal l’autre ?

Solution. Notons la mesure en degré d'un autre angle par x, alors selon le théorème 1.
44° + x = 180°.
En résolvant l’équation résultante, nous trouvons que x = 136°. L’autre angle est donc de 136°.

Exemple 2. Soit l'angle COD sur la figure 21 soit de 45°. Quels sont les angles AOB et AOC ?

Solution. Les angles COD et AOB sont verticaux, donc d'après le théorème 1.2, ils sont égaux, c'est-à-dire ∠ AOB = 45°. L'angle AOC est adjacent à l'angle COD, ce qui signifie selon le théorème 1.
∠ AOC = 180° - ∠ DCO = 180° - 45° = 135°.

Exemple 3. Trouvez les angles adjacents si l’un d’eux est 3 fois plus grand que l’autre.

Solution. Notons x la mesure en degrés du plus petit angle. Ensuite, la mesure en degrés du plus grand angle sera 3x. Puisque la somme des angles adjacents est égale à 180° (Théorème 1), alors x + 3x = 180°, d'où x = 45°.
Cela signifie que les angles adjacents sont de 45° et 135°.

Exemple 4. La somme de deux angles verticaux est de 100°. Trouvez la taille de chacun des quatre angles.

Solution. Laissez la figure 2 remplir les conditions du problème. Les angles verticaux COD à AOB sont égaux (théorème 2), ce qui signifie que leurs mesures en degrés sont également égales. Donc ∠ COD = ∠ AOB = 50° (leur somme selon la condition est de 100°). L'angle BOD (également angle AOC) est adjacent à l'angle COD, et donc, d'après le théorème 1
∠ DBO = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Dans le processus d'étude d'un cours de géométrie, les notions d'« angle », d'« angles verticaux », d'« angles adjacents » reviennent assez souvent. Comprendre chacun des termes vous aidera à comprendre le problème et à le résoudre correctement. Que sont les angles adjacents et comment les déterminer ?

Angles adjacents – définition du concept

Le terme « angles adjacents » caractérise deux angles formés par un rayon commun et deux demi-droites supplémentaires situées sur une même droite. Les trois rayons partent du même point. Une demi-ligne commune est simultanément un côté de l’un et de l’autre angle.

Angles adjacents - propriétés de base

1. En se basant sur la formulation des angles adjacents, il est facile de remarquer que la somme de ces angles forme toujours un angle inverse dont la mesure en degrés est de 180° :

• Si μ et η sont des angles adjacents, alors μ + η = 180°.
• Connaissant l'amplitude de l'un des angles adjacents (par exemple, μ), vous pouvez facilement calculer la mesure en degrés du deuxième angle (η) en utilisant l'expression η = 180° – μ.

2. Cette propriété angles nous permet de tirer la conclusion suivante : un angle adjacent à un angle droit sera également droit.

3. En considérant les fonctions trigonométriques (sin, cos, tg, ctg), basées sur les formules de réduction pour les angles adjacents μ et η, ce qui suit est vrai :

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angles adjacents - exemples

Exemple 1

Étant donné un triangle de sommets M, P, Q – ΔMPQ. Trouvez les angles adjacents aux angles ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Prolongons chaque côté du triangle par une ligne droite.
• Sachant que les angles adjacents se complètent jusqu'à un angle inversé, on découvre que :

adjacent à l'angle ∠QMP est ∠LMP,

adjacent à l'angle ∠MPQ est ∠SPQ,

adjacent à l'angle ∠PQM est ∠HQP.

Exemple 2

La valeur d'un angle adjacent est de 35°. Quelle est la mesure en degrés du deuxième angle adjacent ?

• Deux angles adjacents totalisent 180°.
• Si ∠μ = 35°, alors à côté ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemple 3

Déterminez les valeurs des angles adjacents si l'on sait que la mesure en degrés de l'un d'eux est trois fois supérieure à la mesure en degrés de l'autre angle.

• Notons la grandeur d’un angle (plus petit) par – ∠μ = λ.
• Alors, selon les conditions du problème, la valeur du deuxième angle sera égale à ∠η = 3λ.
• Sur la base de la propriété de base des angles adjacents, μ + η = 180° suit

λ + 3λ = µ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Cela signifie que le premier angle est ∠μ = λ = 45° et le deuxième angle est ∠η = 3λ = 135°.

La capacité d'utiliser la terminologie, ainsi que la connaissance des propriétés de base des angles adjacents, vous aideront à résoudre de nombreux problèmes géométriques.