La factorisation des polynômes est une transformation d'identité, à la suite de laquelle un polynôme est transformé en produit de plusieurs facteurs - polynômes ou monômes.

Il existe plusieurs façons de factoriser des polynômes.

Méthode 1. Sortir le facteur commun des parenthèses.

Cette transformation est basée sur la loi distributive de multiplication : ac + bc = c(a + b). L'essence de la transformation est d'isoler le facteur commun des deux composantes considérées et de le « retirer » des parenthèses.

Factorisons le polynôme 28x 3 – 35x 4.

Solution.

1. Trouvez un diviseur commun pour les éléments 28x3 et 35x4. Pour 28 et 35 ce sera 7 ; pour x 3 et x 4 – x 3. En d’autres termes, notre diviseur commun est 7x 3.

2. Nous représentons chacun des éléments comme un produit de facteurs, dont l'un
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Nous retirons le facteur commun des parenthèses
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Méthode 2. Utilisation de formules de multiplication abrégées. La « maîtrise » de l'utilisation de cette méthode consiste à remarquer l'une des formules de multiplication abrégées dans l'expression.

Factorisons le polynôme x 6 – 1.

Solution.

1. Nous pouvons appliquer la formule de la différence des carrés à cette expression. Pour ce faire, imaginez x 6 comme (x 3) 2 et 1 comme 1 2, c'est-à-dire 1. L'expression prendra la forme :
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Nous pouvons appliquer la formule de la somme et de la différence des cubes à l'expression résultante :
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Donc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Méthode 3. Regroupement. La méthode de regroupement consiste à combiner les composantes d'un polynôme de manière à ce qu'il soit facile d'effectuer des opérations sur elles (addition, soustraction, soustraction d'un facteur commun).

Factorisons le polynôme x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Solution.

1. Regroupons les composants de cette manière : le 1er avec le 2ème et le 3ème avec le 4ème
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Dans l'expression résultante, on sort les facteurs communs entre parenthèses : x 2 dans le premier cas et 5 dans le second.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Nous retirons le facteur commun x – 3 entre parenthèses et obtenons :
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Donc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Sécurisons le matériel.

Factoriser le polynôme a 2 – 7ab + 12b 2 .

Solution.

1. Représentons le monôme 7ab comme la somme 3ab + 4ab. L'expression prendra la forme :
une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Ouvrons les parenthèses et obtenons :
une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Regroupons ainsi les composantes du polynôme : 1er avec 2ème et 3ème avec 4ème. On a:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Sortons entre parenthèses les facteurs communs :
(une 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = une(une – 3b) – 4b(une – 3b).

4. Retirons le facteur commun (a – 3b) des parenthèses :
une(une – 3b) – 4b(une – 3b) = (une – 3b) ∙ (une – 4b).

Donc,
une 2 – 7ab + 12b 2 =
= une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= une(une – 3b) – 4b(une – 3b) =
= (une – 3b) ∙ (une – 4b).

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En général, cette tâche nécessite une approche créative, car il n'existe pas de méthode universelle pour la résoudre. Mais essayons de donner quelques conseils.

Dans l’écrasante majorité des cas, la factorisation d’un polynôme repose sur un corollaire du théorème de Bezout, c’est-à-dire que la racine est trouvée ou sélectionnée et le degré du polynôme est réduit de un en divisant par . La racine du polynôme résultant est recherchée et le processus est répété jusqu'à expansion complète.

Si la racine ne peut pas être trouvée, des méthodes d'expansion spécifiques sont utilisées : du regroupement à l'introduction de termes supplémentaires mutuellement exclusifs.

Une présentation plus approfondie est basée sur les compétences nécessaires pour résoudre des équations de degrés supérieurs avec des coefficients entiers.

Mettre entre parenthèses le facteur commun.

Commençons par le cas le plus simple, lorsque le terme libre est égal à zéro, c'est-à-dire que le polynôme a la forme .

Évidemment, la racine d’un tel polynôme est , c’est-à-dire que nous pouvons représenter le polynôme sous la forme .

Cette méthode n'est rien d'autre que mettre le facteur commun entre parenthèses.

Exemple.

Factorisez un polynôme du troisième degré.

Solution.

Évidemment, quelle est la racine du polynôme, c'est-à-dire X peut être retiré entre parenthèses :

Trouvons les racines du trinôme quadratique

Ainsi,

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Factoriser un polynôme avec des racines rationnelles.

Considérons d'abord une méthode pour développer un polynôme avec des coefficients entiers de la forme , le coefficient du degré le plus élevé est égal à un.

Dans ce cas, si un polynôme a des racines entières, alors ce sont des diviseurs du terme libre.

Exemple.

Solution.

Vérifions s'il y a des racines intactes. Pour ce faire, notez les diviseurs du nombre -18 : . Autrement dit, si un polynôme a des racines entières, alors elles font partie des nombres écrits. Vérifions ces nombres séquentiellement en utilisant le schéma de Horner. Sa commodité réside aussi dans le fait qu'au final on obtient les coefficients de dilatation du polynôme :

C'est, x=2 Et x=-3 sont les racines du polynôme d'origine et nous pouvons le représenter comme un produit :

Il reste à développer le trinôme quadratique.

Le discriminant de ce trinôme est négatif, il n’a donc pas de véritable racine.

Répondre:

Commentaire:

Au lieu du schéma de Horner, on pourrait utiliser la sélection de la racine et la division ultérieure du polynôme par un polynôme.

Considérons maintenant le développement d'un polynôme à coefficients entiers de la forme , et le coefficient du degré le plus élevé n'est pas égal à un.

Dans ce cas, le polynôme peut avoir des racines fractionnellement rationnelles.

Exemple.

Factorisez l’expression.

Solution.

En effectuant un changement de variable y=2x, passons à un polynôme de coefficient égal à un au plus haut degré. Pour ce faire, multipliez d'abord l'expression par 4 .

Si la fonction résultante a des racines entières, alors elles font partie des diviseurs du terme libre. Écrivons-les :

Calculons séquentiellement les valeurs de la fonction g(y)à ces points jusqu'à ce que zéro soit atteint.

La factorisation des polynômes est une transformation d'identité, à la suite de laquelle un polynôme est transformé en produit de plusieurs facteurs - polynômes ou monômes.

Il existe plusieurs façons de factoriser des polynômes.

Méthode 1. Sortir le facteur commun des parenthèses.

Cette transformation est basée sur la loi distributive de multiplication : ac + bc = c(a + b). L'essence de la transformation est d'isoler le facteur commun des deux composantes considérées et de le « retirer » des parenthèses.

Factorisons le polynôme 28x 3 – 35x 4.

Solution.

1. Trouvez un diviseur commun pour les éléments 28x3 et 35x4. Pour 28 et 35 ce sera 7 ; pour x 3 et x 4 – x 3. En d’autres termes, notre diviseur commun est 7x 3.

2. Nous représentons chacun des éléments comme un produit de facteurs, dont l'un
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Nous retirons le facteur commun des parenthèses
7x 3 : 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Méthode 2. Utilisation de formules de multiplication abrégées. La « maîtrise » de l'utilisation de cette méthode consiste à remarquer l'une des formules de multiplication abrégées dans l'expression.

Factorisons le polynôme x 6 – 1.

Solution.

1. Nous pouvons appliquer la formule de la différence des carrés à cette expression. Pour ce faire, imaginez x 6 comme (x 3) 2 et 1 comme 1 2, c'est-à-dire 1. L'expression prendra la forme :
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Nous pouvons appliquer la formule de la somme et de la différence des cubes à l'expression résultante :
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Donc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Méthode 3. Regroupement. La méthode de regroupement consiste à combiner les composantes d'un polynôme de manière à ce qu'il soit facile d'effectuer des opérations sur elles (addition, soustraction, soustraction d'un facteur commun).

Factorisons le polynôme x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Solution.

1. Regroupons les composants de cette manière : le 1er avec le 2ème et le 3ème avec le 4ème
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Dans l'expression résultante, on sort les facteurs communs entre parenthèses : x 2 dans le premier cas et 5 dans le second.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Nous retirons le facteur commun x – 3 entre parenthèses et obtenons :
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Donc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Sécurisons le matériel.

Factoriser le polynôme a 2 – 7ab + 12b 2 .

Solution.

1. Représentons le monôme 7ab comme la somme 3ab + 4ab. L'expression prendra la forme :
une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Ouvrons les parenthèses et obtenons :
une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Regroupons ainsi les composantes du polynôme : 1er avec 2ème et 3ème avec 4ème. On a:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Sortons entre parenthèses les facteurs communs :
(une 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = une(une – 3b) – 4b(une – 3b).

4. Retirons le facteur commun (a – 3b) des parenthèses :
une(une – 3b) – 4b(une – 3b) = (une – 3b) ∙ (une – 4b).

Donc,
une 2 – 7ab + 12b 2 =
= une 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= une 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= une(une – 3b) – 4b(une – 3b) =
= (une – 3b) ∙ (une – 4b).

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Factoriser un polynôme. Partie 1

Factorisation est une technique universelle qui permet de résoudre des équations et des inégalités complexes. La première pensée qui devrait venir à l’esprit lors de la résolution d’équations et d’inégalités dans lesquelles il y a un zéro du côté droit est d’essayer de factoriser le côté gauche.

Listons les principaux façons de factoriser un polynôme:

• mettre le facteur commun entre parenthèses
• utiliser des formules de multiplication abrégées
• en utilisant la formule de factorisation d'un trinôme quadratique
• méthode de regroupement
• diviser un polynôme par un binôme
• méthode des coefficients incertains

Dans cet article, nous nous attarderons en détail sur les trois premières méthodes, et nous examinerons le reste dans les articles suivants.

1. Retirer le facteur commun des parenthèses.

Pour sortir le facteur commun des parenthèses, il faut d’abord le trouver. Facteur multiplicateur communégal au plus grand diviseur commun de tous les coefficients.

Partie lettre le facteur commun est égal au produit des expressions incluses dans chaque terme avec le plus petit exposant.

Le schéma d'ajout d'un multiplicateur commun ressemble à ceci :

Attention!
Le nombre de termes entre parenthèses est égal au nombre de termes dans l’expression originale. Si l'un des termes coïncide avec le facteur commun, alors en le divisant par le facteur commun, nous obtenons un.

Exemple 1.

Factoriser le polynôme :

Sortons le facteur commun des parenthèses. Pour ce faire, nous allons d’abord le trouver.

1. Trouvez le plus grand diviseur commun de tous les coefficients du polynôme, c'est-à-dire les nombres 20, 35 et 15. Il est égal à 5.

2. Nous établissons que la variable est contenue dans tous les termes et que le plus petit de ses exposants est égal à 2. La variable est contenue dans tous les termes et le plus petit de ses exposants est 3.

La variable est contenue uniquement dans le deuxième terme, elle ne fait donc pas partie du facteur commun.

Le facteur total est donc

3. On sort le multiplicateur des parenthèses en utilisant le schéma donné ci-dessus :

Exemple 2. Résous l'équation:

Solution. Factorisons le côté gauche de l'équation. Retirons le facteur entre parenthèses :

On obtient donc l'équation

Assumons chaque facteur à zéro :

Nous obtenons - la racine de la première équation.

Racines:

Réponse : -1, 2, 4

2. Factorisation à l'aide de formules de multiplication abrégées.

Si le nombre de termes du polynôme que nous allons factoriser est inférieur ou égal à trois, alors nous essayons d'appliquer les formules de multiplication abrégées.

1. Si le polynôme estdifférence de deux termes, puis nous essayons d'appliquer formule de différence carrée:

ou formule de différence de cubes:

Voici les lettres et désignent un nombre ou une expression algébrique.

2. Si un polynôme est la somme de deux termes, alors peut-être peut-on le factoriser en utilisant formules de somme de cubes:

3. Si un polynôme est constitué de trois termes, alors on essaie d'appliquer formule de somme carrée:

ou formule de différence au carré:

Ou on essaie de factoriser par formule pour factoriser un trinôme quadratique:

Voici et sont les racines de l'équation quadratique

Exemple 3.Factorisez l'expression :

Solution. Nous avons devant nous la somme de deux termes. Essayons d'appliquer la formule de la somme des cubes. Pour ce faire, vous devez d'abord représenter chaque terme comme un cube d'une expression, puis appliquer la formule de la somme des cubes :

Exemple 4. Factorisez l'expression :

Décision. Nous avons ici la différence des carrés de deux expressions. Première expression : , deuxième expression :

Appliquons la formule de la différence des carrés :

Ouvrons les parenthèses et ajoutons des termes similaires, nous obtenons :

Développer des polynômes pour obtenir un produit peut parfois sembler déroutant. Mais ce n’est pas si difficile si vous comprenez le processus étape par étape. L'article décrit en détail comment factoriser un trinôme quadratique.

Beaucoup de gens ne comprennent pas comment factoriser un trinôme carré et pourquoi cela est fait. À première vue, cela peut sembler un exercice futile. Mais en mathématiques, rien n’est fait pour rien. La transformation est nécessaire pour simplifier l'expression et faciliter le calcul.

Un polynôme de la forme – ax²+bx+c, appelé trinôme quadratique. Le terme « a » doit être négatif ou positif. En pratique, cette expression est appelée équation quadratique. Par conséquent, ils le disent parfois différemment : comment développer une équation quadratique.

Intéressant! Un polynôme est appelé carré en raison de son plus grand degré, le carré. Et un trinôme - à cause des 3 composantes.

Quelques autres types de polynômes :

• binôme linéaire (6x+8) ;
• quadrinôme cubique (x³+4x²-2x+9).

Factoriser un trinôme quadratique

Tout d'abord, l'expression est égale à zéro, puis vous devez trouver les valeurs des racines x1 et x2. Il se peut qu’il n’y ait pas de racines, qu’il y en ait une ou deux. La présence de racines est déterminée par le discriminant. Il faut connaître sa formule par cœur : D=b²-4ac.

Si le résultat D est négatif, il n’y a pas de racines. Si positif, il y a deux racines. Si le résultat est zéro, la racine est un. Les racines sont également calculées à l'aide de la formule.

Si, lors du calcul du discriminant, le résultat est nul, vous pouvez utiliser n'importe laquelle des formules. En pratique, la formule est simplement raccourcie : -b/2a.

Formules pour différentes significations les discriminants diffèrent.

Si D est positif :

Si D est nul :

Calculateurs en ligne

Il y a sur Internet calculateur en ligne. Il peut être utilisé pour effectuer une factorisation. Certaines ressources offrent la possibilité de visualiser la solution étape par étape. De tels services aident à mieux comprendre le sujet, mais vous devez essayer de bien le comprendre.

Vidéo utile : Factorisation d'un trinôme quadratique

Exemples

Nous vous invitons à visionner exemples simples, comment factoriser une équation quadratique.

Exemple 1

Cela montre clairement que le résultat est deux x car D est positif. Ils doivent être remplacés dans la formule. Si les racines s'avèrent négatives, le signe dans la formule devient inverse.

Nous connaissons la formule de factorisation d'un trinôme quadratique : a(x-x1)(x-x2). On met les valeurs entre parenthèses : (x+3)(x+2/3). Il n’y a pas de nombre devant un terme dans une puissance. Cela veut dire qu'il y en a un là-bas, il descend.

Exemple 2

Cet exemple montre clairement comment résoudre une équation qui a une racine.

Nous substituons la valeur résultante :

Exemple 3

Donné : 5x²+3x+7

Tout d'abord, calculons le discriminant, comme dans les cas précédents.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Le discriminant est négatif, ce qui signifie qu’il n’y a pas de racines.

Après avoir reçu le résultat, vous devez ouvrir les parenthèses et vérifier le résultat. Le trinôme original devrait apparaître.

Solution alternative

Certaines personnes n’ont jamais pu se lier d’amitié avec le discriminateur. Il existe une autre façon de factoriser un trinôme quadratique. Pour plus de commodité, la méthode est présentée avec un exemple.

Étant donné : x²+3x-10

Nous savons que nous devrions obtenir 2 parenthèses : (_)(_). Lorsque l'expression ressemble à ceci : x²+bx+c, au début de chaque parenthèse on met x : (x_)(x_). Les deux nombres restants sont le produit qui donne « c », c'est-à-dire dans ce cas -10. La seule façon de savoir de quels chiffres il s’agit est de les sélectionner. Les nombres substitués doivent correspondre au terme restant.

Par exemple, multiplier les nombres suivants donne -10 :

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Non.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Non.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Non.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Convient.

Cela signifie que la transformation de l'expression x2+3x-10 ressemble à ceci : (x-2)(x+5).

Important! Il faut faire attention à ne pas confondre les signes.

Développement d'un trinôme complexe

Si « a » est supérieur à un, les difficultés commencent. Mais tout n’est pas aussi difficile qu’il y paraît.

Pour factoriser, vous devez d’abord voir si quelque chose peut être factorisé.

Par exemple, étant donné l'expression : 3x²+9x-30. Ici, le chiffre 3 est retiré entre parenthèses :

3(x²+3x-10). Le résultat est le trinôme déjà bien connu. La réponse ressemble à ceci : 3(x-2)(x+5)

Comment décomposer si le terme qui est dans le carré est négatif ? Dans ce cas, le chiffre -1 est retiré entre parenthèses. Par exemple : -x²-10x-8. L'expression ressemblera alors à ceci :

Le schéma diffère peu du précédent. Il y a juste quelques nouveautés. Disons que l'expression est donnée : 2x²+7x+3. La réponse est également écrite entre 2 parenthèses qui doivent être remplies (_)(_). Dans la 2ème parenthèse est écrit x, et dans la 1ère ce qui reste. Cela ressemble à ceci : (2x_)(x_). Sinon, le schéma précédent est répété.

Le chiffre 3 est donné par les nombres :

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Nous résolvons des équations en substituant ces nombres. La dernière option convient. Cela signifie que la transformation de l'expression 2x²+7x+3 ressemble à ceci : (2x+1)(x+3).

Autres cas

Il n'est pas toujours possible de convertir une expression. Avec la deuxième méthode, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation. Mais la possibilité de transformer des termes en produit n'est vérifiée qu'à travers le discriminant.

Ça vaut la peine de s'entraîner pour décider équations du second degré afin qu'il n'y ait aucune difficulté lors de l'utilisation des formules.

Vidéo utile : factoriser un trinôme

Conclusion

Vous pouvez l'utiliser de n'importe quelle manière. Mais il vaut mieux pratiquer les deux jusqu’à ce qu’ils deviennent automatiques. En outre, apprendre à bien résoudre les équations quadratiques et à factoriser les polynômes est nécessaire pour ceux qui envisagent de lier leur vie aux mathématiques. Tous les sujets mathématiques suivants sont construits sur cela.