Особо следует сказать о динамике движения тела, масса которого изменяется за счет присоединения или отделения частиц. Например, масса падающей дождевой капли изменяется вследствие испарения молекул или, наоборот, их конденсации, масса ракеты или самолета изменяется за счет выбрасывания продуктов сгорания; в принципе, к телам с изменяющейся массой можно отнести автомобиль, тепловоз и т.д.

2. Движение тела переменной массы в общем случае может изменяться, во-первых, за счет воздействия внешних сил, во-вторых, за счет взаимодействия тела с отделяющимися (или присоединяющимися) частицами. У одних тел решающую роль в изменении скорости играют внешние силы (автомобиль, тепловоз, винтовой самолет), у других – силы, возникающие при взаимодействии с отделяющимися частицами (реактивный самолет, ракета).

Закономерности движения тел переменной массы были подробно исследованы И.В.Мещерским и К.Э.Циолковским.

Силы, возникающие при отделении (или присоединении) частиц, называются реактивными.

Можно доказать в самом общем случае, что величина и направление реактивной силы, возникающей при отделении (или присоединении) частиц, зависит: 1) от быстроты изменения массы тела (в случае присоединения частиц масса тела увеличивается, поэтому>0, в случае отделения частиц масса тела уменьшается, поэтому<0);

2) от величины и направления скорости (относительно тела), с которой частицы покидают тело или присоединяются к нему:=. (10.1)

Как видно из этой формулы, реактивная сила, действующая на тело, совпадает по направлению с направлением , если частицы

присоединяются , и противоположна этой относительной скорости,

если частицы отделяются.

Поскольку на тело переменной массы всегда действует не только реактивная сила, но также и внешние силы (например, на ракету действует сила притяжения к Земле, Солнцу, сопротивление атмосферы и т.д.), ускорение такого тела будет определяться результирующей внешних и реактивных сил:

, (10.2)

здесь
- масса тела в данный момент времени;- внешняя сила;

- реактивная сила

Учитывая (10.1), соотношение (10.2) , можно переписать:

. (10.3)

Последнее соотношение носит название уравнения Мещерского. Оно позволяет решать ряд важных прикладных задач механики.

11 Третий закон ньютона

1. Опыт показывает, что воздействие одного тела на другое никогда не является односторонним. Если тело 1 действует на тело 2 с силой
, то, в свою очередь, тело 2 действует на тело 1 с силой, причем силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению (рис.10):

= -. (11.1)

В этом и заключается суть третьего закона Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению.

2. Одну из сил взаимодействия обычно называют силой «действия», другую – силой «противодействия». Не следует, однако, думать, что «действие» и «противодействие» чем-либо принципиально отличаются друг от друга. Обе силы совершенно равноправны и имеют одинаковую природу. Так, если «действующая» сила обусловлена упругой деформацией, то сила «противодействия » обусловлена также деформацией другого тела, с которым данное тело взаимодействует, если сила «действия» имеет гравитационное происхождение, то «противодействие» вызвано той же причиной и т.д. Любую из сил мы вправе назвать «действующей» и любую – «противодействующей».

Изучая движение какого-либо тела, мы обычно указываем только те силы, которые действуют на это тело, и отвлекаемся от сил, приложенных к другим телам. Но эти силы существуют, и забывать о них, вообще говоря, не следует. Они позволяют лучше понять происхождение той или иной силы. Следует всегда помнить, что за каждой силой стоит реальное тело, с которым данное тело взаимодействует. Указывая силу, мы тем самым всегда указываем на два тела , которые взаимодействуют друг с другом.

Так как силы действия и противодействия приложены к разным телам, то они не могут уравновесить друг друга.

Если заменить силы в формуле (11.1) в соответствии со вторым законом Ньютона произведениями масс на ускорения, то третий закон Ньютона будет иметь вид:

или
, (11.2)

т.е. ускорения, сообщаемые друг другу взаимодействующими телами, обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны.

Из третьего закона Ньютона непосредственно вытекает одно важное следствие: взаимодействие двух тел не может вызвать их перемещение в одном направлении.

Чтобы оба взаимодействующих тела пришли в движение в одном направлении, необходимо, чтобы на одно из тел или на оба одновременно подействовало третье тело.

ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ СИЛ,

РАССМАТРИВАЕМЫХ В МЕХАНИКЕ

Дадим краткую характеристику сил, рассматриваемых в механике.

1. Упругая сила – сила, возникающая при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешни х сил.

Если после прекращения действия внешней силы, вызвавшей деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, оно называется упругим. Упругими называются и деформации, возникающие в таком теле. Упругие тела обладают способностью оказывать сопротивление изменению их формы и объема. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными.

Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации (например, при сжатии или растяжении), пропорциональна величине деформации:

, (12.1)

величина смещения (растяжения или сжатия);

проекция упругой силы на направление смещения.

Знак «минус» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частиц тела (рис.11).

- так называемый коэффициент упругости – константа, характеризующая и вещество, и «геометрию» тела – его форму, размеры и т.д.

2. Сила всемирного тяготения - сила взаимногопритяжения, действующая между любыми материальными телами или частицами,

обусловлена гравитационным взаимодействием материальных тел.

Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними

(материальные точки) или имеют сферическую форму и однородны, сила тяготения между ними численно равна

, (12.2)

(закон всемирного тяготения Ньютона), где и- массы тел;- расстояние между телами (в случае шаров – расстояние между центра-ми шаров);- гравитационная постоянная.

Так как размеры обычных тел малы по сравнению с радиусом Земли и так как Земля по своей форме близка к шару, силу земного тяготения, действующую на тело массой
, можно вычислить по формуле:

, (12.3)

где
- масса Земли;- расстояние от тела до центра Земли.

3. Сила тяжести - отвесная составляющая силы земного тяготения (на Луне – лунного тяготения и т.д.).

Сила тяжести во всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, не совпадает с силой тяготения по направлению и во всех точках, кроме полюсов, меньше ее по величине.

Объяснение. Пусть некоторое тело лежит на поверхности Земли в точке, находящейся на широте (рис.12). На тело действует сила тяготенияи реакция опоры(эта сила обусловленаупругостью опоры). Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение (тело вследствие вращения Земли вокруг своей оси движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной земной оси).Реакция опоры уравновешивает не силу тяготения , а ее составляющую, которая и называется силой тяжести.

Как видно из рис.12, силы ине равны по величине и не совпадают по направлению.

4. Вес тела – это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или натягивает вертикальный подвес.

Причиной возникновения этой силы являются упругие деформации, появляющиеся при взаимодействии тела и опоры (деформации тела и опоры могут быть вызваны действием сил тяготения или каких-либо других сил).

Опыт показывает, что любое тело оказывается деформированным, если оно движется относительно Земли с ускорением ,не равным ускорению свободного падения . Это ускорение, в частности, может

быть равно нулю , т.е. тело либо покоится относительно Земли, либо равномерно и прямолинейно движется.

Будучи деформированным, стремясь восстановить свою первоначальную форму, тело давит на опору с вполне определенной силой, которую и называют весом тела - .

Численно значение веса может значительно отличаться от числен-ного значения силы тяжести (мы говорим лишь о численных значениях этих сил потому, что они приложены к разным телам!). В одних случаях вес может быть больше силы тяжести (например, в космических кораблях во время разгона), в других – меньше ее (например, в самолетах при «проваливании» в воздушные «ямы»).

Вес тела может быть равен нулю. Это особое состояние , при котором тело не оказывает давления на опору (становится невесомым), называется невесомостью . В этом состоянии тело свободно от деформаций. Единственной силой, которая продолжает действовать на тело в состоянии невесомости, является сила тяготения.

Если тело и опора покоятся относительно Земли, то сила тяжести и вес тела численно равны! Это используется при нахождении силы тяжести тела.

Определив силу, с которой тело растягивает пружину неподвижного динамометра или давит на чашку неподвижных весов, т.е. его вес , мы тем самым найдем и численное значение силы тяжести. Поэтому, когда задают вес тела, например,
10 Н, то, в конечном счете, задают его силу тяжести=10H.

5. Давление тела на опору приводит к его деформации. Будучи деформированной, опора оказывает действие на тело. Это действие проявляется в возникновении так называемой реакции опоры, которую принято раскладывать на две составляющие – нормальную реакцию опоры и силу трения. Нормальная реакция опоры - это упругая сила, действующая со стороны опоры на тело в направлении, пер-пендикулярном плоскости соприкосновения тела и опоры (Если тело подвешено, то реакция подвеса направлена вдоль подвеса). Реакция опоры зависит от степени деформации опоры.

Если опора горизонтальна , то нормальная реакция опоры и вес тела являются по отношению друг к другу силами действия и противодействия. Следовательно, определив из условий движения силу, с которой такая опора действует на тело, мы найдем, с какой силой тело давит на опору, т.е. его вес.

Рассмотрим пример.

На тело, помещенное в кабине лифта (рис.13), действует сила тяжести и реакция опоры. При движении лифта с ускорением, направленным вертикальновверх , второй закон динамики для тела запишется в виде

, (12.4)

откуда сила
, а стало быть, и вес телабудут равны

(12.5)

При таком направлении ускорения (не движения, а ускорения!) вес тела оказывается больше силы тяжести (
.

Если ускорение направлено вертикально вниз, то реакция опоры и вес тела оказы-ваются меньше силы тяжести:

. (12.6)

В состоянии невесомости вес и реакция опоры равны нулю, единственной силой, сообщающей и телу, и опоре ускорение, будут иметь вид
, но
. Следовательно, в состоянии невесомости тела двигаются с ускорением=.

6. Силы трения возникают при движении твердых тел, жидкостей и газов. Различают сухое (или внешнее) и вязкое (или внутреннее) трение. Сухое трение возникает при относительном перемещении соприкасающихся твердых тел, вязкое трение – при движении жидкостей и газов. В зависимости от характера перемещения одного твердого тела по поверхности другого различают трение скольжения и трение качения.

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Направлена эта сила по касательной к плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную направлению относительного движения.

Сила трения качения – сила, возникающая при качении одного тела по поверхности другого.

Сухое трение может возникнуть и между неподвижными телами – так называемое трение покоя.

Сила трения покоя (неполная сила трения) возникает тогда, когда внешняя сила, действующая на тело в плоскости соприкосновения, недостаточна для того, чтобы вызвать его скольжение.

Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению этой внешней силе .

Сила трения покоя максимальна, когда тело находится на грани скольжения.

Численное значение максимальной силы трения покоя определяется из закона Кулона :

, (12.7)

где - коэффициент, зависящий от свойств поверхностей соприкосновения и определяемый экспериментально (коэффициент трения);

- сила нормального давления опоры на тело (нормальная реакция опоры).

Если внешняя сила достигает значения, чуть-чуть превышающего
, начинается скольжение.

Силу трения скольжения при малых скоростях движения можно приближенно вычислить по формуле (12.7).

Существенным отличием вязкого трения от сухого является то, что в жидкостях и газах трение покоя отсутствует . Если тело, погруженное в жидкость или газ, покоится, то со стороны жидкости или газа на тело могут действовать только силы, направленные перпендикулярно к поверхности соприкосновения.

Сила вязкого трения зависит от скорости (при небольших скоростях она пропорциональна первой степени скорости, при больших скоростях – более высоким степеням скорости).

13 МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

1. Механический принцип относительности Галилея отвечает на вопрос: одинаково ли протекают механические процессы (при одинаковых условиях) в разных инерциальных системах. Иными словами, влия-ет ли равномерное и прямолинейное движение системы на ход механических процессов, происходящих внутри системы?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах. Если окажется, что законы механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и будет означать, что механические явления протекают во всех инерциальных системах одинаково.

2. Для того чтобы осуществить переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы должны знать правила , по которым осуществляется преобразование координат и времени, а также правила сложения скоростей, ускорений, сил и т.д. Преобразования координат и времени, в основе которых лежат классические представления о пространстве и времени , называются преобразованиями Галилея.

3. Рассмотрим две инерциальные декартовы системы координати
. Будем полагать условно, что одна из систем покоится (система), а другая (
) равномерно и прямолинейно движется относительно первой со скоростью. Из соображений простоты будем считать, что в начальный момент времени (t =0 ) начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают (рис.14)

Движение системы
происходит вдоль осиX неподвижной системы без поворота осей
и
(во время движения системы
` осии
,и
остаютсяпараллельными друг другу).

Найдем связь между координатами одной и той же материальной точки M в этих двух системах. Пусть положение точки относительно движущейся системы в некоторый момент времени определяется радиус-вектором , относительно неподвижной -(рис. 15), перемещение системы
относительно системыза промежуток времениt , прошедший от начального момента до рассматриваемого, определяет радиус-вектор .

По правилам векторного сложения

=+(13.1)

Перемещение подвижной системы

=. (13.2)

Тогда =+,

Откуда =-. (13.3)

Спроектировав все векторы соотношения (13.3) на оси координат, мы найдем связь между компонентами векторов и:

(Так как
);(13.4)

К этим формулам следует добавить формулу преобразования времени. Классическая механика, как уже говорилось, полагает, что время абсолютно. Это значит, что показания двух часов, связанных с системами и
, и выверенных (синхронизированных ) для начального момента, должны быть одинаковыми для любых последующих моментов:
. (13.5)

Соотношения (13.3) – (13.5) и называются преобразованиями Галилея.

4 Из преобразований Галилея вытекает закон сложения скоростей в классической механике.

Продифференцируем (13.3) по времени:

, где
- скорость точкиотносительно движущейся системы координат;
- скорость точкиотносительно «неподвижной» системы.

2.5. Уравнение движения тела переменной массы

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).

Пусть в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm , а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда или

(2.12)

где член называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:

(2.13)

Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского .

Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

где С - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m 0 , то .Следовательно,

(2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского . Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:

а) чем больше конечная масса ракеты m , тем больше должна быть стартовая масса m 0 ;

б) чем больше скорость истечения газов u , тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с .

Краткие выводы

· Динамика - раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

· В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона . Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется .

· Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной .

· Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью . Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса .

· Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

· Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела :

Или

Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил :

где - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

· Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона) :

Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.

· В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется :

где n - число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной ) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.

· Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства : при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?

2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?

3. Что такое сила, чем она характеризуется?

4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?

5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?

6. В чем заключается принцип независимости действия сил?

7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?

8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?

9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?

10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?

Примеры решения задач

Задача 1 . Грузы одинаковой массы (m 1 =m 2 =0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m 2 о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.

Дано: m 1 =m 2 =0,5 кг; µ =0,15.

Найти: а , Т .

По второму закону Ньютона уравнения

движения грузов имеют вид:

Ответ: а =4,17 м/с 2 , Т =2,82 Н.

Задача 2 . Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.

Дано: m =5 кг; v =300 м/с; m 1 =3 кг; v 1 =100 м/с.

Найти: v 2 .

По закону сохранения импульса

где м/с.

Ответ: v 2 =900 м/с.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С =2 м/с 2 , D =0,4 м/с 3 . Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с 2 ; б) опускать с тем же ускорением.

3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20 0), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.

4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.

5. Два груза с неравными массами m 1 и m 2 (m 1 > m 2 ) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.

6. Платформа с песком общей массой М =2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m =8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление - сверху вниз под углом 30 0 к горизонту.

7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60 0 к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?

9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30 0 к плоскости стенки.

10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.

ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

________________

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

Реферат

По теме: «Движение тела переменной массы»
Выполнил: студент И.О. Фамилия, гр. ____________ _________

Руководитель: должность, И.О. Фамилия _____________ _________

Сдана на проверку ________

Дата защиты ________ Оценка _________

Москва - 2012

Развитие опытных работ
МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
-Уравнение Мещерского

Уравнение Циолковского
Реактивные двигатели
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отделения ненужных частей ракеты изменения массы достигают 90-95 % общей начальной величины. Довольно значительно изменяется масса при полете современных реактивных самолетов вследствие расхода топлива при работе двигателей и в ряде других случаев. Область практического применения механики тел переменной массы далеко не ограничивается реактивными аппаратами и ракетной техникой. Случаи движения тел, когда их масса меняется, можно указать в самых различных областях промышленности. Легко понять, например, что вращающееся веретено, на которое навивается нить, изменяет свою массу в процессе движения. Рулон бумаги, когда он разматывается на валу типографской машины, также даёт нам пример тела, масса которого уменьшается с течением времени. Многочисленные примеры движения тел, масса которых изменяется с течением времени, мы можем наблюдать и в природе. Например, масса Земли возрастает вследствие падения на неё метеоритов. Масса падающего метеорита, движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что частицы метеорита отрываются или сгорают. Плавающая льдина - пример тела, масса которого убывает вследствие таяния или возрастает вследствие намерзания. Масса Солнца возрастает от налипания "космической пыли" и уменьшается от излучения и т. д. Вообще изменение массы движущихся тел может происходить вследствие сгорания, испарения, растворения, намерзания, налипания, излучения и т. д.

Механика тел переменной массы имеет большое значение для правильного описания движения планет и особенно Луны. Сравнивая прежние наблюдения над Луной с собственными и наблюдениями современников, Галлей нашёл, что период обращения Луны вокруг Земли уменьшается. Это уменьшение означает увеличение средней скорости её движения по орбите. Влияние ускорения движения Луны на положение её на орбите возрастает с течением времени (пропорционально квадрату времени), и, таким образом, даже если оно и мало, его можно сравнительно легко обнаружить по прошествии больших промежутков времени. Уменьшение периода обращения Луны вокруг Земли составляет примерно полсекунды за 2000 лет. Частично, как показал Лаплас, величина ускорения может быть объяснена уменьшением эксцентриситета земной орбиты. Вторая часть векового ускорения зависит от изменения массы Земли и Луны, вызываемого падением на них метеоритов. Оказывается, что согласие наблюдений и вычислений получается хорошим, если допустить, что радиус Земли возрастает от массы падающих метеоритов на 0,5 миллиметра в столетие.

История развития реактивной техники
Впервые теорией развития ускоренного и замедленного движения занимался Бенедетти (1587г.). Развитие этой теории было дано Галилеем (1596г.), а затем Гюйгенсом (1673г.). Последнему уже был известен принцип действия и противодействия, однако точная его формулировка была дана Ньютоном в 1687г. Ньютон первый высказал идею, что межпланетные путешествия могут быть осуществлены при помощи двигателей прямой реакции или простых ракет, которые сообщают связанному с ним телу движение путем отбрасывания массы, взятой с собой до начала движения.

О
Рисунок из книги Казимира Сименовича

дин из первых рисунков с изображением ракет был опубликован в труде военного инженера и генерала от артиллерии Казимира Сименовича, уроженца Витебского воеводства Речи Посполитой, «Artis Magnae Artilleriae pars prima» (лат. «Великое искусство артиллерии часть первая»), напечатанном в 1650 году в Амстердаме, Нидерланды. На нём - трехступенчатая ракета, в которой третья ступень вложена во вторую, а обе они вместе - в первую ступень. В головной части помещался состав для фейерверка. Ракеты были начинены твёрдым топливом - порохом.Это изобретение интересно тем, что оно более трёхсот лет назад предвосхитило направление, по которому пошла современная ракетная техника.

В 1736 г. Д.Бернули сформулировал теорию реактивного действия водяной струи. Двумя годами позже в своем сочинении "Гидродинамика" он предложил использовать истечение воды из труб для перемещения морских судов.

Вскоре после появления воздушных шаров стали предлагаться проекты установки на них ракетного двигателя. Точно так же появились предложения применить ракетный принцип движения для аппаратов тяжелее воздуха.

В проекте русского революционера Н.И. Кибальчича, написанного им в 1881 г. накануне казни описывается ракетный аппарат, в котором работа двигателя поддрживается сжиганием пороховых зарядов, послдедовательно вводимых в камеру сгорания.

Во Франции первым борцом за идею использования двигателей прямой ракции был Р. Лорэн(с 1907г.) Он выдвинул проекты ракетных самолетов, а также "воздушных торпед", управляемых на расстоянии с помощью электрических механизмов и предназначенных для военных целей и переброски почты. Для увеличения КПД ракетного аппарата Лорэн предложил применить разгон его с помощью электрической катапульты. В качестве горючего ученый предлагал использовать этиловый спирт.

Развитие опытных работ
Первая чисто реактивная турбина, так называемая эолипил - паровая турбина, изобретённая Героном Александрийским, относится к 150 г до н.э. В составе имеет подогреваемый котёл с водой, и шар с загнутыми выводными трубками, вращающийся под действием реактивной тяги выходящего через эти трубки пара.

Ракеты служили средством развлечения в Китае во время народных праздников еще в глубокой древности.

В 13 веке ракеты начали применять на полях сражений преимущественно для создания пожаров в лагерях противника.

В 1420 г. Фонтана дает описания и даже схемы ракетных экипажей, судов и торпед. В XV веке ракеты ракеты становятся еще более популярными.У Солмса (1547г.) находят упоминания о ракете с парашютом, у Нассау(1610г.) - описание подводных ракет.

Первоначально ракеты снабжались длинными древками для придания им устойчивости. Но уже в XVII в. появляются эскизы ракет, снабженных плавниковыми стабилизаторами

Области применения ракет постепенно расширялись. В XVII- XVIII вв. они применялись во время охоты для рассеивания стад зверей. В 1784 г. американец Рамзей сконструировал корабль, движимый струей отбрасываемой воды. Впервые для целей подачи условных сигналов ракета была предложена Бергштедтером (Германия) в 1786г.

В 1806г. французскому пиротехнику К.Рюжжери удалось поднять живого барашка на высоту 200м. Барашек, целый и невредимый, спустился на землю на парашюте.

В качестве боевого оружия ракеты были оценены особенно в XVIII в. Первые специальные войска для метания ракет появились в Индии, затем и в Европе. В 1813г. ракеты были применены в Лейпцигском сражении.Эти ракеты имели вес до 14.5 кг и дальность полета до 2.7 км.

После изобретения нарезного оружия и введении бездымного пороха мощность пушечной артиллерии на много опередила возможности ракет того времени и во второй половине XIX в. ракетные войска были упразднены.

Но развитие реактивной техники было уже не остановить. В 1886г. Бюиссон и Чиурку получили патент на применение ракетного двигателя для летательных аппаратов и морских судов. Этот двигатель состоял из 2-х цилиндров, в которых попеременно сжигалось топливо, продукты сгорания которого выпускались в особый приемник, откуда истекали в атмосферу через специальное отверстие, размеры которого можно было по желанию изменять.

В конце XIX в. Деннис во Франции и Рорман в Германии испытали ракету, оснащенную фотокамерой. В патенте указано,что пуск ракеты должен производиться под известным углом к горизонту, причем ракета несет с собой трос, другой конец которого привязан к установленному на земле барабану. Трос предназначался для возвращения ракеты к месту пуска. Для стабилизации фотоаппарата в определенном положении предусмотрен гироскоп.

Во время Первой мировой войны во Франции проводились испытания ракет с инжекторными насадками, с целью использования их для нужд авиации.

Первые систематические исследования ракет были опубликованы в 1919г. Годдардом. Ученый добился довольно высокого КПД ракетного двигателя (около 64%). В 1935г. жидкостные ракеты Годдарда достигли высоты полета 2.3 км и дальности полета -около 4 км.

Значительных успехов в создании пороховых ракет в Германии добился Тилинг. По его данным высота вертикального подъема разработанных ракет до 8 км, а при стрельбе под углом- до 18 км
Механика тел переменной массы
МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел, масса которых изменяется во время движения. Основные исследования по механике тел переменной массы принадлежат И. В. Мещерскому и К. Э. Циолковскому. Задачи механики тел переменной массы выдвигаются развитием авиационной и ракетной техники, а также теоретической механики и астрономии.

Термин "переменная масса" употребляется в этом разделе в совершенно ином смысле, чем в теории относительности. В теории относительности масса движущегося тела изменяется за счет изменения его скорости, причем никакого вещества во время движения тело не получает и не теряет. Напротив, в настоящем разделе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересыщенном водяными парами; масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива. В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой. Уравнения движения тел с переменной массой не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, а являются их следствиями. Тем не менее они представляют большой интерес, главным образом в связи с ракетной техникой.

Уравнение Мещерского
Иван Всеволодович Мещерский - один из крупнейших механиков конца XIX и начала XX столетий - посвятил свою жизнь созданию основ механики тел переменной массы. Частной задачей механики тела переменной массы является теория движения реактивных аппаратов, в которых изменение массы при движении обусловлено выбрасыванием (истечением) частиц сжигаемого запаса горючего. Ещё в конце XIX в. И. В. Мещерский опубликовал две работы, которые до сих пор остаются наилучшими во всей мировой литературе по реактивным способам движения. Общие его уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским "открывались" в XX в. вновь многими учёными Западной Европы и Америки (Годдар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.). Для точного исследования явлений движения тел с изменяющейся массой, доставляемых в большом числе и техникой и природой, требуется прежде всего установление основного уравнения движения точки переменной массы, так как всякое тело переменной массы можно представить как систему точек. Зная уравнение движения точки переменной массы, можно достаточно простыми методами получить основные уравнения движения любого тела. Фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы было установлено в магистерской диссертации И. В. Мещерского, опубликованной в 1897 г.

Движущееся тело при изменении массы в общем случае подвергается воздействию реактивной силы, если только относительная скорость отделяющихся частиц не равна нулю. Однако И. В. Мещерский начал разработку вопроса с того частного случая, когда реактивная сила не будет входить в расчёты. Теоретические результаты исследования движения в этом предположении были доложены И. В. Мещерским Петербургскому математическому обществу 15 января 1893 г. При этом из частных задач такого типа им была решена одна задача небесной механики, посвящённая изучению движения двух тел переменной массы. В 1893 г. основные выводы этого исследования были напечатаны в специальном астрономическом журнале.

Вывод уравнения Мещерского:
Рассмотрим движение материальной точки переменной массы. Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы можно получить, используя закон независимого действия сил и теорему об изменении количества движения системы. Известно, что действующая на точку сила сообщает ей такое ускорение, которое не зависит от действия других сил. В случае точки переменной массы кроме приложенной к точке силы , действуют силы, вызванные отделением от точки частиц массой d " М.

Считаем, что изменения скорости точки переменной массы от действия силы не зависят друг от друга, или общее изменение скорости
в течение времени dt складывается из изменения скорости
, от действия силы F при постоянной массе точки и изменения скорости
, вызванного изменением массы точки в отсутствие силы . Имеем точку переменной массы M . От действия силы скорость точки постоянной массы изменяется за время dt в соответствии с основным законом динамики точки на величину:

Изменение скорости
за время dt , вызванное изменением массы точки в отсутствие силы, определяют по теореме об изменении количества движения системы постоянной массы. Так как механическая система, состоящая из точки переменной массы и отделившихся от нее частиц, свободна от действия внешних сил, то ее количество движения является постоянной величиной Внутренние силы взаимодействия точки с отделяющимися частицами не изменяют количества движения рассматриваемой системы. Применяя закон сохранения количества движения за промежуток времени от t до dt имеем:

(2)

У
читывая только взаимодействие точки переменной массы с отделившейся от нее частицей массы d " M за время dt и пренебрегая действием на точку и эту частицу ранее отделившихся частиц. Получим:

так как в момент t имеется одна точка массой M (t ), движущаяся со скоростью относительно системы координат Oxyz .

В момент t + dt имеется точка массой M - d " M , скорость которой v + dv 2 , и отделившаяся частица массой d " M , скорость которой u , относительно той же системы координат Oxyz . Количество движения их в момент t + dt

Приравнивая согласно (2) количества движения после сокращения и отбрасывания малого члена второго порядка d " Mdv 2 по сравнению с членами первого порядка, получаем

(3)

при d " M >0, или включая знак минус в dM (тогда dM ), имеем

Общее изменение скорости

Или, учитывая (1) и (3),

После умножения обеих частей этого равенства на массу точки М и деления на dt, получаем следующее дифференциальное уравнение движения точки переменной массы в векторной форме:

Полученное дифференциальное уравнение и есть дифференциальное уравнение Мещерского , полученное им впервые в 1897г.

Если с точкой переменной массы связать подвижную систему координат, движущуюся поступательно относительно осей Oxyz , то абсолютную скорость отделившейся частицы по теореме о сложении скоростей можно представить:

Так как в данном случае
, то относительная скорость отделившейся частицы:

Таким образом, получим выражение:

(4)
Введем обозначение
,тогда выражение примет вид:

Величина
- реактивная сила. Величина
- скорость изменения массы. Она характеризует изменение массы точки за единицу времени, например за секунду. Поэтому реактивная сила равна произведению секундного изменения массы точки на относительную скорость отделения частиц массы от точки переменной массы.

В случае уменьшения массы точки с изменением времени величина является отрицательной, а при возрастании ее массы - положительной. При уменьшении массы точки вследствие отделения о нее частиц реактивная сила направлена в сторону, противоположную относительной скорости отделяющихся частиц , а при увеличении массы точки величина >0 и реактивная сила направлена в сторону относительной скорости частиц

Для реактивного двигателя скорость изменения массы является отрицательной величиной, равной секундному расходу массы, а - скорость вылета газа из сопла двигателя.

Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленной выбрасомгаза через сопло. Она направлена противоположно скорости вылета газа из сопла двигателя.

Дифференциальные уравнения движения точки переменной массы превращаются в аналогичные уравнения для точки постоянной массы если величина равна нулю.

Формула Циолковского
К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э. Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Циолковский занимался механикой управляемого полета, в результате чего им был спроектирован управляемый аэростат (слово «дирижабль» тогда ещё не придумали). Циолковский первым предложил идею цельнометаллического дирижабля и построил его модель. Первым печатным трудом о дирижаблях был «Аэростат металлический управляемый» (1892), в котором дано научное и техническое обоснование конструкции дирижабля с металлической оболочкой. Прогрессивный для своего времени проект дирижабля Циолковского не был поддержан; автору было отказано в субсидии на постройку модели. Обращение Циолковского в Генеральный штаб русской армии также не имело успеха. В 1892 году он обратился к новой и мало изученной области летательных аппаратов тяжелее воздуха. Циолковскому принадлежит идея постройки аэроплана с металлическим каркасом. В статье «Аэроплан или Птицеподобная (авиационная) летательная машина» (1894) даны описание и чертежи моноплана, который по своему внешнему виду и аэродинамической компоновке предвосхищал конструкции самолётов, появившихся через 15-18 лет. В аэроплане Циолковского крылья имеют толстый профиль с округлённой передней кромкой, а фюзеляж - обтекаемую форму. Но работа над аэропланом, так же как над дирижаблем, не получила признания у официальных представителей русской науки. На дальнейшие изыскания Циолковский не имел ни средств, ни даже моральной поддержки.

Основное место в научном творчестве К.Э.Циолковского занимают вопросы ракетодинамики и космонавтики. Наиболее ранние записи К.Э.Циолковского по вопросам межпланетных сообщений относятся к 1878-1879 годам, когда он начал составлять "астрономические чертежи", тогда же им был сконструирован прибор для изучения действия на живой организм ускорения силы тяжести. Первой научной работой, в которой ученый высказал мысль о возможности использования принципа реактивного движения для перемещения в мировом пространстве, была монография "Свободное пространство" (1883г.).

В 1903 году в журнале "Научное обозрение" № 5 К.Э.Циолковский опубликовал работу "Исследование мировых пространств реактивными приборами", в которой впервые была научно обоснована возможность осуществления космических полетов при помощи жидкостных ракет и даны основные расчетные формулы их полета. Константин Эдуардович был первым в истории науки, кто строго сформулировал и исследовал прямолинейное движение ракет как тел переменной массы. В архиве Российской Академии наук сохранился листок, датированный 10 мая 1897 года, на котором была дана формула, впоследствии получившая имя этого великого ученого.
Вывод формулы Циолковского
Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно только под действием реактивной силы. Считаем, что относительная скорость отделения частиц постоянна по величине и направлена в сторону противоположную скорости движения точки переменной массы . Тогда проектируя на ось Ox , направленную по скорости движения точки уравнение (4) дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки переменной массы примет вид:

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Где - начальная скорость, направленная по реактивной силе,
- начальная масса точки

Выполняя интегрирование получим:

(5)
Если в формулу (5) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) М р , то обозначив m массу топлива, для скорости движения в конце горения получим:

Вводя число Циолковского
получаем следующую формулу Циолковского:

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т.е. закона изменения массы. Скорость в конце горения можно изменить двумя способами. Одним из этих способов является увеличение относительной скорости отделения частиц или для ракеты увеличение скорости истечения газов из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать скорости истечения газов из сопла реактивного двигателя порядка 2-2,3 км/сек. Создание фотонного и ионного двигателей позволит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличения скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой или весовой отдачи ракеты, т.е. с увеличением числа Z. В современных многоступенчатых ракетах число Z может быть довольно большим

Реактивные двигатели
Широкое применение реактивные двигатели получили в связи с освоением космического пространства. Применяются они также для метеорологических исследований и используются в военных ракетах различной дальности. Кроме того, все современные скоростные самолеты оснащены воздушно-реактивными двигателями

В космическом пространстве использовать какие-либо другие двигатели, кроме реактивных, невозможно: нет опоры (твёрдой жидкой или газообразной), отталкиваясь от которой космический корабль мог бы получить ускорение. Применение же реактивных двигателей для самолётов и ракет, не выходящих за пределы атмосферы, связано с тем, что именно реактивные двигатели могут обеспечить максимальную скорость полёта.

Реактивные двигатели делятся на два класса: ракетные и воздушно-реактивные. В ракетных двигателях топливо и необходимый для его горения окислитель находятся непосредственно внутри двигателя или в его топливных баках.
На рисунке показана схема ракетного двигателя на твёрдом топливе. Порох или какое-либо другое твёрдое топливо, способное к горению в отсутствие воздуха, помещают внутрь камеры сгорания двигателя.

При горении топлива образуются газы, имеющие очень высокую температуру и оказывающие давление на стенки камеры. Сила давления на переднюю стенку камеры дольше, чем на заднюю, где расположено сопло. Вытекающие через сопло газы не встречают на своём пути стенку, на которую смогли бы оказывать давление. В результате появляется сила, толкающая ракету вперёд.

Суженная часть камеры – сопло служит для увеличения скорости истечения продуктов сгорания, что в свою очередь повышает реактивную силу. Сужение струи газа вызывает увеличение его скорости, так как при этом через меньшее поперечное сечение в единицу времени должна пройти такая же масса газа, что и при большем поперечном сечении

Применяются также ракетные двигатели, работающие на жидком топливе.

В жидкостно-реактивных двигателях (ЖРД) в качестве горючего можно использовать керосин, бензин, спирт, анилин, жидкий водород и др., а в качестве окислителя, необходимого для горения, – жидкий кислород, азотную кислоту, жидкий фтор, пероксид водорода и др. Горючее и окислитель хранятся отдельно в специальных баках и с помощью насосов подаются в камеру, где при сгорании топлива развивается температура до 3000 С и давление до 50 атм. В остальном двигатель работает также, как и двигатель на твёрдом топливе.

Жидкостно-реактивные двигатели используются для запуска космических кораблей.

В
оздушно-реактивные двигатели в настоящее время применяют главным образом на самолётах. Основное их отличие от ракетных двигателей состоит в том, что окислителем для горения топлива служит кислород воздуха, поступающего внутрь двигателя из атмосферы.

В
Схема турбореактивного двигателя:

1 – воздух; 2 – компрессор; 3 – газовая турбина; 4 – сопло; 5 – горячие газы; 6 – камера сгорания; 7 – жидкое топливо; 8 – форсунки
носовой части двигателя расположен компрессор, засасывающий и сжимающий воздух, который затем поступает в камеру сгорания. Жидкое горючее (обычно используется керосин) подаётся в камеру сгорания с помощью специальных форсунок. Раскалённые газы (продукты сгорания), выходя через сопло, вращают газовую турбину, приводящую в движение компрессор. Турбокомпрессорные двигатели установлены в наших лайнерах Ту-134, Ил-62, Ил-86 и др.

Используя в качестве окислителя окружающий воздух, воздушно-реактивные двигатели обеспечивают существенно большую топливную экономичность, чем ракетные двигатели, так как на борту самолёта необходимо иметь только горючее. В то же время возможность осуществления рабочего процесса с использованием окружающего воздуха ограничивает область использования воздушно-реактивных двигателей атмосферой.

Основное преимущество ракетного двигателя перед воздушно- реактивным двигателем состоит в его способности работать при любых скоростях и высотах полёта (тяга ракетного двигателя не зависит от скорости полёта и возрастает с высотой). В некоторых случаях применяются комбинированные двигатели, сочетающие в себе признаки ракетных и воздушно-реактивных двигателей. В комбинированных двигателях для улучшения экономичности воздух используется на начальном этапе разгона с переходом на ракетный режим на больших высотах полёта.
Заключение
С выходом человека в космос не только открылись возможности исследования других планет, но и представились поистине фантастические возможности изучения природных явлений и ресурсов Земли, о которых можно было только мечтать. Возникло космическое природоведение. Раньше общая карта Земли составлялась по крупицам, как мозаичное панно. Теперь снимки с орбиты, охватывающие миллионы квадратных километров, позволяют выбирать для исследования наиболее интересные участки земной поверхности, экономя тем самым силы и средства.

Из космоса лучше различаются крупные геологические структуры: плиты, глубинные разломы земной коры – места наиболее вероятного залегания полезных ископаемых. Из космоса удалось обнаружить новый тип геологических образований – кольцевые структуры, подобные кратерам Луны и Марса.

Сейчас на орбитальных комплексах разработаны технологии получения материалов, которые нельзя изготовить на Земле, а только в состоянии длительной невесомости в космосе. Стоимость таких материалов (сверхчистые монокристаллы и др.) близка к затратам на запуск космических аппаратов.

Список литературы:
В.В. Добронравов, Н. Н. Никитин, А.Л. Дворников "Курс теоретической механики", 1974г.
А.А. Штернфельд "Введение в космонавтику",изд. "Наука", 1974г.

О И. В. Мещерском: Николаи Е. Л., Некролог, "Прикладная математика и механика", М.-Л., 1936, т. III, вып. 1.
Мещерский И. В., Работы по механике тел переменной массы, 2 изд., М., 1952;
Л.В. Голованов. Формула Циолковского, журнал «Земля и Вселенная» 2002г. №2
Циолковский К. Э., Собр. соч., т. 2, М., 1954;
«Авиация: Энциклопедия». М.: Большая Российская энциклопедия, 1994

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Определение 1

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Рисунок 1

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m (t) , а ее скорость как v (t) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

(m + d m) (v + d v) .

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з. Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

(m + d m) (v + d v) + d m г а з + v г а з - m v = F d t .

Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

d m + d m г а з = 0 .

Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з - v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

d m v = v о т н d m + F d t .

Теперь разделим его на d t и получим:

m d v d t = v о т н d m d t + F .

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Определение 2

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой .

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна - v о т н. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

m d v = v о т н d m .

Тогда равенство примет вид:

d v d m = - v о т н m .

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C = v о т н ln m 0 m .

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Определение 3

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Пример 1

Условие : у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н. Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = - v о т н d m .

Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:

a = v о т н v ln m 0 m .

Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .

Пример 2

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с, а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с. Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Рисунок 2

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н - m g .

Здесь m = m 0 - μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆ v 0 = μ v о т н m 0 - μ t - g ∆ t .

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v 0 = v о т н ln m 0 m 0 - μ t - g t .

С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:

H = v о т н t - g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 - μ t m 0 ln 1 - μ t m 0 .

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H = v о т н t - g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 - μ t m 0 ln 1 - μ t m 0 = 3177 , 5 м.

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter